高中数学椭圆大题题型归纳总结(145分推荐)

高中数学椭圆大题题型归纳总结（145分推荐）一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）
1.已知椭圆M：x2
9+y2
b2
=1(b>0)的一个焦点为(2,0)，设椭圆N的焦点恰为椭圆M
短轴上的顶点，且椭圆N过点．
(1)求N的方程;
(2)若直线与椭圆N交于A，B两点，求|AB|．
2.已知椭圆E:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为√3
2
，过点
P(1,0)作直线交椭圆于点C，D(与A，B均不重合).当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|=√5．
(1)求椭圆E的方程
(2)设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1
k2
为定值．
3.已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为√2
2
，直线y=
k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M,N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为√10
3
时，求k的值．
4.已知F是椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点，焦距为4，且C过点P(√3,1)．
(1)求C的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
5.已知椭圆C1：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心
与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，
且|CD|=4
3
|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
6. 若椭圆C ：x 2
a 2+y 2
a 2=1(a >
b >0)的顶点到直线l 1：y =x 的距离分别为√2和√2
2
． (1)求椭圆C 的标准方程
(2)设平行于l 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．
7. 设椭圆C ：x 2
a 2+y
2
b 2
=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的上顶点为点B ，点A 为椭圆C 上一点，且3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． (1)求椭圆C 的离心率；
(2)若b =1，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．
8. 已知椭圆C ：x 2
a 2+y
2
b 2
=1(a >b >0)的焦距为2，
且长轴长与短轴长之比为√2：1． (Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l 与椭圆相切于点P ，O 为坐标原点，求直线OP 与直
线l的斜率之积．
9.已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√2
2
，短轴的一个端点到椭圆的一个焦
点的距离为2√2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y=x−1与椭圆C交于不同的A、B两点，求△AOB(O为坐标原点)的面积．
10.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为√2
2
.直线l过点F
且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(Ⅲ)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．
11.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值
为3，最小值为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以
AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
12.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，其左焦点到点P(2,1)的距离为
√10，过原点O作直线OP的垂线l交椭圆C于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△ABP的面积．
13. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心率为√2
2
，且经过点H(−2,1)．
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点P(−3,0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线HA ，HB 分别交x 轴于M ，N 两点，点G(−2,0)，若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1
λ+1
μ
为定值．
14. 设椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)，O 为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A 、
B ，点D(0,2)，椭圆
C 的离心率为√22
，且∠OAB =∠ODA ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)不与x 轴平行的直线l 与椭圆C 交于不同点P 、Q ，已知点P 关于x 轴对称点为点M ，点Q 关于原点的对称点为点N ，且D 、M 、N 三点共线，求证：直线l 过定点．
15. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心率为√2
2
，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线y =x −1与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，求△AOB(O 为坐标原点)的面积．
16. 已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)
的离心率为√2
2
，焦距为2． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设A ，B 为椭圆C 上两点，O 为坐标原点，k OA ⋅k OB =−1
2.点D 在线段AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接OD 并延长交椭圆C 于E ，试问|OE|
|OD|是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．
17. 设椭圆C:x 2
a 2+y
2
b 2=1(a >b >0)
过点(0,4)，离心率为3
5． (1)求椭圆C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的中点坐标．
18. 已知F(c,0)是椭圆C ：x 2
a 2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的右焦点，直线y =x −c 交椭圆C 于
M ，N 两点，交y 轴于点A ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，α1+β1=−6． (1)求椭圆C 的离心率e ；
(2)B 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α22+β22的值．
19. 已知椭圆C ：
x 24
+y 2=1，F 为右焦点，圆O ：x 2+y 2=1，P 为椭圆C 上一点，
且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 的两侧． (1)求椭圆C 的焦距及离心率． (2)求四边形OFPT 面积的最大值．
20.已知椭圆E：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆E上的
一动点，且|PF1|的最小值是1，当PF1垂直长轴时，|PF1|=3
2
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在斜率为−1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆
E相交于C、D两点，且|CD|⋅|AB|=24√2
7
若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21.已知A，B为椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆C上一点(异于
A，B)，满足k PA⋅k PB=−4
9
，且a=6.斜率为−1的直线l交椭圆C于S，T两点，且|ST|=4．
(1)求椭圆C的方程及离心率．
(2)如图，设直线l1:y=x+m与椭圆C交于M，N两点，求四边形MSNT面积的最大值．
22.已知椭圆E：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点P(0,1)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A、B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且CD⊥AB.求证：线段CD的中点在x轴上．
23.已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)长轴的两个端点分别为A(−2,0),B(2,0)，离心率
为√3
2
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)P为椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,PB分别交直线x=−6于M,N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q．
(ⅰ)求证：直线AP,AN的斜率之积为定值；
(ⅰ)判断M,B,Q三点是否共线，并说明理由．
24. 已知椭圆E ：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心率是√2
2
，点F 是椭圆E 的左焦点，点A 为椭圆E 的右顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且S ⅰABF =√2+12
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设点P(m,0)为椭圆E 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为b
a 的直线l 交椭圆E 于S ，T 两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值．
25. 已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的离心率为2√2
3
，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的上端点为P ，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−7． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点Q(1,0)且不与y 轴垂直的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，是否存在点T(t,0)，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
26.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，过椭圆C右焦点并垂直于x轴
的直线PM交椭圆C于P，M(点P位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的
面积为3
2
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B(A,B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为−9
4
，求点P到直线l距离的最大值．
27.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√2
2
，且
点(2√3
3,−√3
3
)在C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|⋅|BF1|=10
3
，求|AB|．
28.已知椭圆C：x2
m2
+y2=1(m>1)的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l 交椭圆C于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中y1>0，y2<0，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G1、G2．
(Ⅰ)若G1坐标为(1
3,1
6
)，求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设△BF1G1和△ABG2的面积为S1和S2，且4
3≤S1
S2
≤5
3
，求实数m的取值范围．
29.已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，A，B分别是它的左､右顶点，F
是它的右焦点，过点F作直线与C交于P，Q(异于A，B)两点，当PQ⊥x轴时，△APQ
的面积为9
2
.
(Ⅰ)求C的标准方程；
(Ⅱ)设直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上．
30.如图，椭圆E:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，且离心率为
√2
2
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
答案和解析
1.【答案】解：(1)由椭圆M ：x 2
9+y 2
b 2
=1(b >0)的一个焦点为(2,0)，得c =2，
且b 2=a 2−c 2=9−4=5， ∴椭圆N 的焦点为(0,−√5)，(0,√5). 又椭圆N 过点(√2
2
,√3)，
∴椭圆N 的长轴长为(√2(√2=2√6．
∴椭圆N 的半长轴长为√6，半焦距为√5，则短半轴长为1． ∴N 的方程为x 2+y 26=1；
(2)联立{
y =x −2x 2
+
y 26
=1
，得7x 2−4x −2=0．
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=4
7,x 1x 2=−2
7，
∴|AB|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2
=√2⋅√(4
7)2−4×(−2
7)=
127
．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，属于中档题．
(1)由已知可得椭圆N 的焦点坐标，再由椭圆定义求得椭圆N 的长半轴长，结合隐含条件求得短半轴长，则椭圆N 的方程可求；
(2)联立直线方程与椭圆N 的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|．
2.【答案】解：(1)当点D 与椭圆E 的上顶点重合时，有D (0,b )，
所以|AD |=√a 2+b 2=√5.① 又因为离心率e =
√a 2−b 2
a
=
√3
2
，② 由①②解得a =2，b =1，
所以E 的方程为
x 24
+y 2=1．
(2)由题意，易知直线CD 的斜率不为0，所以设直线CD 的方程为x =my +1，
联立方程组{x 2
4+y 2=1,
x =my +1,
得(m 2+4)y 2+2my −3=0，
显然Δ>0，
设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则y 1+y 2=−2m
m 2+4，y 1y 2=−3
m 2+4． 由(1)得A (−2,0)，B (2,0)，所以k 1=y 2
x
2
+2，k 2=y 1
x
1−2
，
k 1k 2=y 2(x 1−2)y 1(x 2+2)=y 2(my 1−1)y 1(my 2+3)=my 1y 2−y 2
my 1y 2+3y 1
=
my 1y 2−(y 1+y 2)+y 1
my 1y 2+3y 1
=
−m
m 2+4+y 1−3m
m 2+4
+3y 1=1
3
为定值．
【解析】本题考查椭圆方程及几何意义，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于中档题． (1)解方程√a 2+b 2=√5.①
√a 2−b 2
a
=
√3
2
，②即得解； (2)设直线CD 的方程为x =my +1，联立方程组{x 2
4+y 2=1,
x =my +1,
得(m 2+4)y 2+2my −
3=0，得到韦达定理，再利用韦达定理化简k 1
k 2
即得证．
3.【答案】解：(1)∵椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√2
2
， ∴{a =2c a =√22
a 2=
b 2+
c 2
,∴b =√2, ∴椭圆C 的方程为
x 24
+
y 22
=1；
(2)联立直线y =k(x −1)与椭圆C 的方程， 消去y 整理得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=
4k 21+2k
2
，x 1x 2=2k 2−41+2k 2
，
=
2√(1+k 2)(4+6k 2)
1+2k 2
，
∵A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离为|k|
√1+k 2
，
∴△AMN 的面积S =12
·2√(1+k
2)(4+6k 2)
1+2k 2
·
|k|√1+k
2
=|k|√4+6k 21+2k 2
，
∵△AMN 的面积为√10
3
，
∴
|k|√4+6k 21+2k 2
=
√103
， 解得
，经检验Δ>0，∴k =±1．
【解析】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，三角形面积等，属于中档题．
(1)根据椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√2
2，可建立方程组，从而可求椭圆C 的方程；
(2)直线y =k(x −1)与椭圆C 联立，消元可得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0，从而可求|MN|，A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离，利用△AMN 的面积为√10
3，可求k 的值．
4.【答案】解：(1)由题意可得{2c =4
3a 2+1
b 2=1a 2=b 2+
c 2
，解得a 2=6或2(舍)，b 2=2，
故椭圆C 的方程为
x 26
+
y 22
=1．
(2)由题意知，当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴； 当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x =my −2
x 26+y 22
=1，
化简可得(m 2+3)y 2−4my −2=0且Δ>0， 所以y 1+y 2=4m m 2+3，y 1y 2=−2
m 2+3， 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)−4=−12m 2+3，∴M (−6m 2+3,2m
m 2+3)， 同理由{x =−1
m
y −2x 26+y 22=1，可得N (−6m 23m 2+1,−2m 3m 2+1
)，
则k MN =
2m m 2+3+
2m
3m 2+1
−6m 2+3+6m 23m 2+1
=
4m
3(m 2−1)
，
所以直线MN 的方程为y −2m
m 2+3=4m
3(m 2−1)(x +6
m 2+3)，化简得y =4m
3(m 2−1)x +2m
m 2−1=
4m 3(m 2−1)
(x +3
2)，
故直线MN 恒过定点(−3
2,0). 综上，直线MN 过定点(−3
2,0)．
【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程 ，考查圆锥曲线中的定点问题，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用
(1)由已知条件得到关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；
(2)当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴；当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，求出M 坐标，用−1
k 代换k ，得到点N 的坐标，进一步得到MN 所在直线方程，得到直线MN 过定点．
5.【答案】解：(1)因为F 为C 1的焦点且AB ⊥x 轴，
可得F(c,0)，|AB|=
2b 2a
，
设C 2的标准方程为y 2=2px(p >0)，
因为F为C2的焦点且CD⊥x轴，所以F(p
2
,0)，|CD|=2p，
因为|CD|=4
3|AB|，C1，C2的焦点重合，所以{
c=p
2
2p=4
3
⋅2b2
a
，
消去p，可得4c=8b2
3a
，所以3ac=2b2，
所以3ac=2a2−2c2，
设C1的离心率为e，由e=c
a
，则2e2+3e−2=0，
解得e=1
2(−2舍去)，故C 1的离心率为1
2
；
(2)由(1)可得a=2c，b=√3c，p=2c，
所以C1：x2
4c2+y2
3c2
=1，C2：y2=4cx，
联立两曲线方程，消去y，可得3x2+16cx−12c2=0，
所以(3x−2c)(x+6c)=0，解得x=2
3
c或x=−6c(舍去)，
从而|MF|=x+p
2=2
3
c+c=5
3
c=5，
解得c=3，
所以C1和C2的标准方程分别为x2
36+y2
27
=1，y2=12x．
【解析】【试题解析】
本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
(1)由F为C1的焦点且AB⊥x轴，F为C2的焦点且CD⊥x轴，分别求得F的坐标和|AB|，|CD|，由已知条件可得p，c，a，b的方程，消去p，结合a，b，c和e的关系，解方程可得e的值；
(2)由(1)用c表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c，进而得到所求曲线方程．
6.【答案】解：(1)由直线l1：y=x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，
故长轴端点到直线l1的距离为√2
2a，短轴端点到直线l1的距离为√2
2
b，
所以√2
2a=√2，√2
2
b=√2
2
，解得a=2，b=1，
所以椭圆C 的标准方程为
x 24
+y 2=1．
(2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，
联立{y =x +t x 2
4
+y 2
=1
，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，
则△=64t 2−16×5(t 2−1)>0，解得−√5<t <√5， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8t
5，x 1x 2=
4t 2−45
， 故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=(x 1+x 2)t +x 1x 2+t 2=t 2−45
，
因为OA ⊥OB ，
即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2
−45+t 2
−45=0． 解得t =±
2√10
5
，满足−√5<t <√5且t ≠0，
所以直线l 的方程为y =x +
2√10
5
或y =x −
2√10
5
．
【解析】(1)由长轴端点到直线l 1的距离为√22a ，短轴端点到直线l 1的距离为√2
2b ，解得a =
2，b =1，即可得椭圆C 的标准方程． (2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +t
x 2
4
+y 2=1
，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，由即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2
−45+t 2
−45
=0.解得t =±2√105
，即可． 本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
7.【答案】解：(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，
由3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得{3x 0+4c =03y 0
+b =0
, {x 0=−4c
3y 0=−
b 3
，即A(−43c,−b 3)， 又∵A(x 0,y 0)在椭圆C ：x 2
a
2+
y 2b 2=1上，
∴
(−43c)a 2
2+
(−13
b)2b 2
=1，得c
a =√
2
2，
即椭圆C 的离心率为e =√2
2
；
(2)由(1)知，e =√2
2
，
又∵b =1，a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，
∴椭圆C 的方程为
x 22
+y 2=1，
当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)， 当线段MN 不在x 轴上时，
设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 代入椭圆方程
x 22
+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，
∵点F 2在椭圆内部， ∴△>0，y 1+y 2=−2m
m 2+2，
则x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4
m 2+2， ∴点P(x,y)的坐标满足x =2
m 2+2，y =−m
m 2+2， 消去m 得，x 2+2y 2−x =0(x ≠0)，
综上所述，点P 的轨迹方程为x 2+2y 2−x =0．
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程，考查动点的轨迹方程，是中档题．
(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，通过3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 求出A 的坐标，转化求解离心率；
(2)求出椭圆C 的方程为
x 22
+y 2=1，当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)，
当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，代入椭圆方程
x 22
+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，通过韦达定理，转化求解轨
迹方程即可．
8.【答案】解：(I)已知椭圆中2c =2，且2a
2b =√2，
又a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1， ∴椭圆的方程为
x 22
+y 2=1；
(Ⅱ)由题意：可设l 的方程为y =kx +m(k 存在且k ≠0) 与椭圆C 联立消去y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为(x 0,y 0)， 由判别式△=0可得m 2=1+2k 2， 解得x 0=−2k
m ,y 0=1
m ，
因此，直线OP 的斜率为k OP =−1
2k ，直线l 的斜率为k ， 即直线OP 与直线l 的斜率之积为−1
2．
【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a ，b ，然后求解椭圆方程． (Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x 0,y 0)，利用△=0，推出直线OP 的斜率为k OP =−1
2k ，直线l 的斜率为k ，然后求解即可．
9.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2
a 2+y
2
b 2
=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2e =c a
=
√2
2
，解得{a =2√2c =2 ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为
x 28
+
y 24
=1;
(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程{x 2
8+y 2
4=1
y =x −1消去y
并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1
+x 2=
4
3x 1⋅x 2=−2
， |AB|=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2
=√2[(4
3)2−4×(−2)]=
4√11
3
.即：|AB|=
4√11
3
， 又∵原点O(0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2
=
√2
2
， ∴△AOB 的面积S =1
2|AB|⋅d =1
2
×
4√11
3
×
√22
=
√22
3
．
【解析】【试题解析】
本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．
(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；
(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．
10.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，c =1，e =c a =√22
，
∵a 2=b 2+c 2，∴a =√2,b =1， ∴椭圆的方程为
x 22
+y 2=1．
(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x −1)x 22
+y 2
=1
，消去y 得，(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 则x 1+x 2=4k 2
2k 2+1
，
∵M 为线段AB 的中点，∴x M =x 1+x 22
=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k
2k 2+1，
∴k OM =
y M x M
=−
12k
，
∴k OM ⋅k l =−1
2k ×k =−1
2为定值．
(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x P =x 1+x 2=
4k 22k 2+1
，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k
2k 2+1，
∵点P 在椭圆上，∴(
4k 2
2k 2+1)2+2×(−2k
2k 2+1)2=2，解得k 2=1
2，即k =±√22
， ∴当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√2
2
．
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (Ⅰ)由题可知，c =1，e =
c a
=
√2
2
，再结合a 2=b 2+c 2，解出a 和b 的值即可得解；
(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 的方程和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M
为线段AB 的中点，利用中点坐标公式可用k 表示点M 的坐标，利用k OM =y
M
x M 可求出直
线OM 的斜率，进而得解；
(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量的线性坐标运算可以用k 表示点P 的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k 的方程，解之即可得解．
11.【答案】(1)解：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)，
由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1， 可得：a +c =3，a −c =1， ∴a =2，c =1， ∴b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆的标准方程为
x 24
+
y 23
=1；
(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立{y =kx +m x 2
4
+
y 23
=1
，消去y 可得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，
则{ Δ=64m 2k 2−16(3+4k 2)(m 2−3)=3+4k 2−m 2>0x 1+x 2=−8mk
3+4k 2
x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2, 又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=
3(m 2−4k 2)3+4k 2
，
因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，
∴y 1y 2+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=0， ∴
3(m 2−4k 2)3+4k 2
+
4(m 2−3)3+k 2
+16mk
3+4k 2+4=0，
∴7m 2+16mk +4k 2=0， 解得：m 1=−2k,m 2=−
2k 7
，且均满足3+4k 2−m 2>0，
当m 1=−2k 时，l 的方程y =k(x −2)，直线过点(2,0)，与已知矛盾； 当m 2=−
2k
7
时，l 的方程为y =k(x −27)，直线过定点(2
7,0)． 所以，直线l 过定点，定点坐标为(2
7,0)．
【解析】本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．
(1)由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a +c =3，a −c =1，从而可求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆方程联立，利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．
12.【答案】解：(1)设椭圆左焦点为F(−c,0)，
则由题意得{√(2+c)2+1=√10
c a
=
12
，
解得{a =2c =1，
则b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆方程为
x 24
+
y 23
=1．
(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由AB ⊥OP 及k OP =1
2得k l =−2， 所以直线l 为2x +y =0， 由{
2x +y =0
x 24
+
y 23
=1,
得：19x 2−12=0⇒x 1x 2=−12
19, ∴|AB |=√1+k 2|x 1−x 2|=√5√
4819
=
4√285
19
， 因为点P(2,1)到直线l 的距离为d =|OP |=√5, 所以S △ABP =1
2×d ×|AB|=1
2
×√5×
4√285
19
=
10√5719
．
【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数y ，运用韦达定理和弦长公式，考查两点间的距离公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．
(1)运用两点的距离公式以及离心率公式，可得a ，c 的值，由a ，b ，c 的关系，可得b ，进而得到椭圆方程；
(2)根据垂直直线斜率间的关系，求出直线l 的方程，联立椭圆方程，消去y ，运用韦达定理和弦长公式，及两点间的距离公式，即可得到面积．
13.【答案】解：(1)由题意知e =√1−b 2
a
2=√22
;
又椭圆C 经过点H(−2,1)，所以4a 2+1
b 2=1; 解得a 2=6，b 2=3，
所以椭圆C 的方程为
x 26
+
y 23
=1．
(2)证明：设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =my −3x 26
+y 23=1联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，
所以△=36m 2−12(m 2+2)>0，y 1+y 2=6m
m 2+2，y 1y 2=3
m 2+2， 由题意知，y 1，y 2均不为1． 设M(x M ,0)，N(x N ,0)，
由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =
x 1+2y 11−y 1;
由H ，N ，B 三点共线，同理可得X N =x 2+2y 21−y 2
;
由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG
⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x M +3,0)=λ(1,0)，即λ=x M +3; 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可得μ=x N +3; 所以1λ+1μ=1x M +3+1x N +3=1x 1+2y 11−y 1
+3+1
x 2+2y 21−y 2
+3
=
1−y 1x 1−y 1+3+1−y 2x 2−y 2+3=1−y 1(m −1)y 1+1−y 2
(m −1)y 2
=1
m−1(
1−y 1y 1
+
1−y 2y 2
)=1
m−1(y 1+y 2
y 1y 2
−2)=1
m−1(
6m m 2+23m 2+2
−2)=2，
所以1
λ+1
μ为定值．
【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系 以及圆锥曲线中的定点与定值问题，属中档题 (1)由题意根据椭圆的概念得椭圆C 的方程;
(2)设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与椭圆联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，
由题意知，y 1，y 2均不为1.设M(x M ,0)，N(x N ,0)，由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =
x 1+2y 11−y 1
;由H ，N ，B 三点共线，同理
可得X N ，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得λ，μ表达式，从而证得1
λ+1
μ
为定值．
14.【答案】解：(1)∵椭圆C 的离心率为√2
2
， ∴a =√2c ，b =c ， 又∵∠OAB =∠ODA ， ∴tan∠OAB =tan∠ODA ， ∴
b
a =a
2
，∴a 2=2b ， ∴2b 2=2b ，∴b =1，a =√2， 故椭圆的方程为
x 22
+y 2=1．
(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)， 联立方程{x =my +n x 2+2y 2
=2，得(m 2+2)y 2+2mny +n 2−2=0， ∴{
y 1+y 2=−2mn m 2+2
y 1⋅y 2=
n 2−2
m 2+2
， Δ=4m 2n 2−4(m 2+2)(n 2−2)>0，即m 2+2>n 2． DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−y 1−2)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,−y 2−2)， ∵D 、M 、N 三点共线，
∴DM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1(−y 2−2)=x 2(y 1+2)， ∴(my 1+n)(−y 2−2)=(my 2+n)(y 1+2)， ∴2my 1y 2+(2m +n)(y 1+y 2)+4n =0． ∴2m ·
n 2−2m 2+2
+(2m +n)·
−2mn m 2+2
+4n =0，
∴m =2n ．
∴直线l 过定点(0,−1
2).
【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，考查椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线中的定点值问题，属于较难题． (1)根据条件可得关于a 、b 的方程，求解可得椭圆C 的方程；
(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)，与椭圆方程联立，根据D 、M 、N 三点共线，可得m =2n ，从而可得结论．
15.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2
a 2+y
2
b
2=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2
e =c a =√22，解得 {a =2√2c =2， ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为
x 28
+
y 24
=1 ;
(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 联立方程{x 2
8
+y 2
4=1
y =x −1 ，消去y ， 并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1
+x 2=4
3
x 1·x 2=−2
， |AB |=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√2[(43)2−4×(−2)]=4√11
3
·
即：|AB|=
4√11
3
， 又∵原点O (0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2
=
√2
2
， ∴△AOB 的面积S =1
2|AB|⋅d =1
2
×
4√11
3
×
√22
=
√22
3
.
【解析】【试题解析】
本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．
(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；
(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．
16.【答案】解：(1)由已知得e =c a =√2
2且2c =2，所以a =√2，c =1，所以b =1，所
求椭圆方程为
x 22
+y 2=1．
(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)， 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x
2
3,y 3=2y 1+y 23
.
设|OE|
|OD|=λ，则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3). 将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 3
22
+y 32
)=1.
即1
λ
2=
x 3
22
+y 32
=
(
2x 1+x 23
)2
2
+(
2y 1+y 23
)2，变形，得1
λ2=4
9
，
(x 1
22+
y 12
)+49(x 1x 2
2+y 1y 1)+19(x 2
22
+y 22
)(∗)， 又因为点A ，B 均在椭圆上，且k OA ⋅k OB =−1
2，
所以{ x 1
22+y 12
=1,x 22
2
+y 22=1,k OA ⋅k OB
=y 1x 1
⋅y 2x 2
=−12
,
代入(∗)式解得λ=3√55. 所以|OE|
|OD|是定值，为
3√5
5
．
【解析】本题考查椭圆的性质和方程，圆锥曲线中的定值问题，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
(1)由题给条件求出a ，b ，进而得到方程．
(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x
23,y 3=2y 1+y 23. ，设|OE||OD|=λ， 则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3)，将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 32
2
+y 32)=1， 由此得1
λ2=4
9，由条件求出λ，进而求出答案．
17.【答案】解：(1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程得16
b 2=1，
∴b =4，
由e =c
a =3
5，得1−16
a 2=9
25，
∴a =5， ∴椭圆C 的方程为
x 225
+
y 216=1；
(2)过点(3,0)且斜率为4
5的直线为y =4
5(x −3)， 设直线与椭圆C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
将直线方程y =4
5(x −3)代入椭圆C 方程，整理得x 2−3x −8=0， 由韦达定理得x 1+x 2=3，
y 1+y 2=4
5(x 1−3)+4
5(x 2−3)=4
5(x 1+x 2)−
245=−12
5．
由中点坐标公式AB 中点横坐标为3
2，纵坐标为−6
5， ∴所截线段的中点坐标为(3
2,−6
5).
【解析】【试题解析】
本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键． (1)椭圆C ：
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)过点(0,4)，可求b ，利用离心率，求出a ，即可得到椭圆C 的方程；
(2)过点(3,0)且斜率为4
5的直线为y =4
5(x −3)，代入椭圆C 方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．
18.【答案】解：(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，
则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+c)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 1,−y 1)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2+c)，NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 2,−y 2)． 由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得， (x 1,y 1+c)=α1(c −x 1,−y 1)，(x 2,y 2+c)=β1(c −x 2,−y 2)， ∴x 1=α1(c −x 1)，x 2=β1(c −x 2)，
∴α1=x 1c−x 1，β1=x
2
c−x 2(由已知，x 1≠c ，x 2≠c)， ∴α1+β1=x 1c−x 1
+x
2c−x 2
=c(x 1+x 2)−2x 1x 2
c 2−c(x
1+x 2)+x 1x 2
．
由方程组{y =x −c,
b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2
=0.
得(a 2+b 2)x 2−2a 2cx +a 2c 2−a 2b 2=0， ∴x 1+x 2=2a 2c a 2+b
2
，x 1x 2=a 2c 2−a 2b 2a 2+b 2
．
∴a 2c 2a 2+b
2−
2a 2c 2−2a 2b 2
a 2+
b 2
=c 2+b 2+
a 2−a 2
b 2a 2+b 2
=−6 化简得，2a 2=3c 2，即e =√
6
3．
(2)设B(x,y)，由OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2， 将它们代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0并结合b 2x 12+a 2y 12−a 2b 2=0和b 2x 22+a 2y 22
−
a 2
b 2=0化简得，
(α22+β22)a 2b 2+2α2β2(b 2x 1x 2+a 2y 1y 2)=a 2b 2．
又y 1y 2=(x 1−c)(x 1−c)=x 1x 2−c(x 1+x 2)+c 2
=b 2c 2−a 2b 2a 2+b 2
， ∴b 2
x 1x 2+a 2
y 1y 2=
b 2(a 2
c 2−a 2b 2)
a 2+
b 2
+
a 2(
b 2
c 2−a 2b 2)
a 2+
b 2
=
a 2
b 2(3
c 2−2a 2)
a 2+
b 2
=0，
∴(α22+β22)a 2b 2=a 2b 2，所以，α22+β22=1．
【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，平面向量的坐标运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及向量的坐标运算可得a ，b ，c 的关系，即可求离心率．
(2)设B(x,y)，结合题意以及向量的坐标运算可得x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2，代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0，结合韦达定理化简整理即可得出答案．
19.【答案】解：(1)在椭圆C ：x 2
4+y 2=1中，a =2，b =1，
所以c =√a 2−b 2=√3， 故椭圆C 的焦距为2c =2√3， 离心率e =c
a =√3
2
；
(2)设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则
x 0
24
+y 02
=1，
故y02=1−x02
4
，
所以|TP|2=|OP|2−|OT|2=x02+y02−1=3
4
x02，
所以|TP|=√3
2x0，SΔOTP=1
2
|OT|⋅|TP|=√3
4
x0，
又O(0,0)，F(√3,0)，故SΔOFP=1
2|OF|⋅y0=√3
2
y0，
因此S
四边形OFPT =SΔOFP+SΔOTP=√3
2
⋅(x0
2
+y0)=√3
2
⋅√x02
4
+x0y0+y02=√3
2
⋅
√1+x0y0，
由x02
4+y02=1，得2√x02
4
⋅y02≤1，即x0⋅y0≤1，
所以S
四边形OFPT =√3
2
⋅√1+x0y0≤√6
2
，
当且仅当x02
4=y02=1
2
，
即x0=√2，y0=√2
2
时等号成立．
【解析】本题考查椭圆的几何性质以及椭圆的标准方程，关键是掌握椭圆的标准方程的形式．
(1)根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，据此计算可得答案；
(2)设P(x0,y0)，结合椭圆的方程分析可得四边形OFPT面积的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．
20.【答案】解：
(1)由题意，点P椭圆上的一动点，且|PF1|的最小值是1，得a−c=1，
因为当PF1垂直长轴时，|PF1|=3
2，所以b2
a
=3
2
，即2b2=3a，
又由a2=b2+c2，解得a=2，b=√3，
所以椭圆C的标准方程为x2
4+y2
3
=1．
(2)假设存在斜率为−1的直线l，不妨设为y=−x+m．
由(1)知，椭圆E左右焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，
所以以线段F1F2为直径的圆方程为x2+y2=1．
由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d=
√2
<1，即得|m|<√2，
又|AB|=2√1−d 2=2√1−m 2
2
=√2×√2−m 2，
联立方程组{x 24+y 2
3=1
y =−x +m ，消去y ，整理得7x 2−8mx +4m 2−12=0，
由题意，△=(−8m)2−4×7×(4m 2−12)=336−48m 2=48(7−m 2)>0， 解得m 2<7，又|m|<√2，所以m 2<2． 又由韦达定理，得x 1+x 2=
8m 7
，x 1x 2=
4m 2−12
7
，
所以|CD|=√1+k 2|x 2−x 1|=√2×√Δ7=4√6√7−m 2
7，
若|CD||AB|=
24√2
7
， 则√2×√2−m 2×4√67
×√7−m 2=
24√2
7
， 整理得m 4−9m 2+8=0， 解得m 2=1，或m 2=8．
又m 2<2，所以m 2=1，即m =±1.
故存在符合条件的直线l ，其方程为y =−x +1，或y =−x −1．
【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，还涉及了直线与圆方程的应用，属于中等题．
(1)根据题中条件得到a −c =1，2b 2=3a ，结合椭圆的性质：a 2=b 2+c 2，建立关于a ，b 的方程组即可求解；
(2)由题意，设出直线l 方程y =−x +m ，根据题设条件得到|m|<√2，联立直线l 与椭圆得方程组，利用韦达定理、圆中弦长公式以及两点间距离的坐标公式，依次计算得到|AB|、|CD|关于m 的表达式，由|CD |⋅|AB |=24√27
进而可求得m 的值，于是可给出相应
的结论．
21.【答案】解：(1)设点P 为(x,y )，点A ，B 的坐标分别为(−6,0)，(6,0)．
因为k PA ⋅k PB =y
x+6⋅y
x−6=−4
9，所以4x 2+9y 2=144即x 2
36+y 2
16
=1．
因为P在椭圆C上，所以x2
36+y2
b2
=1，
所以b2=16．
故椭圆C的方程为x2
36+y2
16
=1,c=√a2−b2=√62−16=2√5．
所以离心率e=c
a =2√5
6
=√5
3
．
(2)因为，所以四边形MSNT的面积S MSNT=1
2
|ST|⋅|MN|．
由题意得|ST|=4，则S MSNT=2 |MN|．
即当|MN|取到最大值时，S MSNT取到最大值．
联立直线l1与椭圆C的方程，可得13x2+18mx+9m2−144=0．由，可得m2<52．
设点M，N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
则x1+x2=−18m
13，x1x2=9m2−144
13
，
所以|MN|=√2[(−18m
13)2−4×9m2−144
13
]=12√2√−m2+52
13
．
显然当m=0时，|MN|取到最大值24√26
13
，
故S MSNT的最大值为48√26
13
．
【解析】本题考查椭圆几何性质、标准方程以及圆锥曲线中面积最值问题，属于一般题；
(1)本题考查椭圆标准方程以及几何性质，根据斜率乘积求出x、y的一个关系，再根据点在椭圆上及椭圆的性质求解即可；
(2)本题考查圆锥曲线中面积以及最值问题，对四边形MSNT面积进行正确转化，进而联立直线与椭圆方程，再利用弦长公式求解即可．
22.【答案】解：(1)由椭圆E 经过点P(0,1)，得b =1，
由短轴长等于焦距，得2b =2c ，则c =1， 所以a =√b 2+c 2=√12+12=√2， 故椭圆E 的方程为
x 22
+y 2=1．
(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)， A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 0,y 0)，
联立直线与椭圆方程：{x =ty +1
x 2+2y 2
=2，得(t 2+2)y 2+2ty −1=0， 由题意，得△>0，且y 1+y 2=−2t
t 2+2，y 1y 2=−1
t 2+2， 则y 0=
y 1+y 22
=−
t t 2+2
，x 0=ty 0+1=2t 2+2，即C (2t 2+2,−t
t 2+2)， 设D (0,u )，由得：
u+
t
t 2+2−2t 2+2
·1t
=−1，解得u =t
t 2+2，
所以y 0+u =0，所以
y 0+u 2
=0，
故线段CD 的中点在x 轴上．
【解析】本题主要考查了直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程，考查运算能力，属于中档题．
(1)根据题目条件，可得b =c =1，进而可求出a ，可求方程．
(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)，联立直线与椭圆方程，消去x 得(t 2+2)y 2+2ty −1=0，由韦达定理可得y 1+y 2=−2t
t 2+2，y 1y 2=−1
t 2+2，则可求C 点坐标，设D (0,u )，由
建立等式解得u ，由
y 0+u 2=0，可证结果．
23.【答案】解：(1)由题意得a =2,e =c a
=
√3
2
， 所以c =√3,b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆C 的方程为
x 24
+y 2=1．
(2)(ⅰ)证明：设P(x 0,y 0)，因为P 在椭圆C 上，所以
x 0
24
+y 02=1．
因为直线AP 的斜率为y 0
x 0+2，直线BP 的斜率为y 0
x 0−2， 所以直线BP 的方程为y =y 0
x 0−2(x −2)． 所以点N 的坐标为N(−6,−8y 0
x
0−2
)．
所以直线AN 的斜率为
−8y 0x 0−2
−6+2
=2y 0
x
0−2
． 所以直线AP,AN 的斜率之积为：y 0
x 0+2⋅
2y 0
x 0−2
=
2y 0
2x 0
2−4=
2(1−
x 0
24
)x 0
2−4=−1
2
．
(ⅰ)M,B,Q 三点共线．
因为点P 异于A ，B 两点，可知直线AP 的斜率存在且不为零．
设直线AP 斜率为k(k ≠0)，则直线AP ：y =k(x +2)，可得M(−6,−4k)． 由(ⅰ)可知直线AP,AN 的斜率之积为−1
2，所以直线AN 的斜率为−1
2k ， 所以直线AN 的方程为y =−1
2k (x +2)．
联立直线AN 与椭圆方程得，{x 2+4y 2−4=0,
x =−2ky −2,可得(4+4k 2)y 2+8ky =0．
解得Q 点的纵坐标为
−2k 1+k
2，所以
Q 点的坐标为Q(2k 2−21+k 2
,−2k 1+k 2)．
所以，直线BQ 的斜率为
−2k
1+k 2−02k 2−2
1+k 2
−2=k
2，直线BM 的斜率为
−4k−0−6−2
=k
2
． 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率，所以M,B,Q 三点共线．
【解析】本题考查椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率与直线的方程，属于中档题．
(1)结合条件和椭圆的几何性质可求得a ，b ，c ，即可求得椭圆的方程；
(2)(ⅰ)设P(x 0,y 0)，求得直线AP 的斜率并求出直线BP 方程，求得点N 的坐标，再求得直线AN 的斜率，根据点P 在椭圆上，可证明直线AP,AN 的斜率之积为定值； (ⅰ)根据直线AP 的斜率存在且不为零，设直线AP 斜率为k ，则可得直线AP 方程，求出点M ，根据(ⅰ)中的直线AP,AN 的斜率之积为−1
2，求出直线AN 的斜率为−1
2k ，可得直线AN 的方程，联立直线AN 与椭圆方程，求得点Q 坐标，根据直线BQ ，BM 斜率相等，可判定结论．
24.【答案】解：(1)F(−c,0)，A(a,0)，B(0,b)，
则S △ABF =√2+1
2
=1
2(a +c)b ， 即(a +c)b =√2+1，即(a +c)√a 2−c 2=√2+1． 又e =c
a =√22，a =√2c ，代入上式中得到，
(√2c +c)√2c 2−c 2=√2+1， 解得c =1，于是a =√2，b =1．。