人教A版 圆4.2.2.圆与圆的位置关系
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把圆C2的方程化为标准方程，得
x 2 y 2
2
2
10.
2 2
圆C2的圆心是点（2，2）,半径长r2= 10 圆C1与圆C2的连心线长为
1 2 4 2 圆C1与圆C2的半径之和是 r1 r2 5 10, 两半径之差是 r1 r2 5 10,
x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0②
A ( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y ( F1 F2 ) 0 （-1,1） 2 2
C2（2，2）
.
O
x . C（-1，-4） 1
B （3,-1） x+2y-1=0
消去y（或x）
圆心距d （两点间距离公式）
px 2 qx r 0
比较d和r1+r2与 lr1-r2l 的 大小，下结论
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
作业：
习题4.2 A组 4题、9题、11题。
2 3 即4 x 6 y 5 0x 2 NhomakorabeaA
.
.N
F
.
M
20 15 845 所以所求圆的方程为 x y 7 14 196
2
2
1.圆：x2+y2-2x-2y+1=0 与 圆：x2+y2-4x-4y-17=0的
位置关系是（C ） A . 相切 B. 相离 C.内含 D. 相交
判断圆和圆的位置关系 几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法） 圆心距d （两点间距离公式）
代数方法
( x a1 )2 ( y b1 )2 r12 ( x a2 )2 ( y b2 )2 r22
消去y（或x）
px 2 qx r 0
比较d和r1+r2与 lr1-r2l 的 大小，下结论
例1：已知圆 C : x
1
2
y 2 2x 8 y 8 0
与圆 C2 : x 2 y 2 4 x 4 y 2 0 试判断圆 C1 与圆 C 2 的位置关系
解法一
把圆C1的方程化为标准方程，得
x 1
2
y 4 25.
2
圆C1的圆心是点（-1，-4）,半径长r1=5
2.若圆：x2+y2-2x-5=0与圆：x2+y2+2x-4y-4=0 的 交点为 A,B ，则线段AB的垂直平分线方程是 （A ） A x+y-1=0 B 2x-y+1=0 C x-2y+1=0 D x-y+1=0
3.过两圆x2 + y2 + 6x –4 = 0 和 x2 + y2 + 6y –28 = 0的交点且圆心在直线x-y-4=0上 的圆方程是 ( C ) A.x2+y2-x-5y+2=0 。 B.x2+y2-x-5y-2=0 C.x2+y2-x+7y-32=0 D.x2+y2+x+7y+32=0
4、已知圆 C1: x2+y2 +4x– 3=0与 圆 C2: x2+y2 –4y –3 =0
(1)求过两圆交点的直线方程 x+y=0 (2)求公共弦的长 2 5
小结：判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
代数方法
( x a1 )2 ( y b1 )2 r12 ( x a2 )2 ( y b2 )2 r2 2
y 1 x 2,
①
② ③
把上式代入①,并整理,得 x2 2 x 3 0.
④
方程④的判别式 2 4 1 3 16 0,
2
所以,方程④有两个不相等的实数根x1,x2分别代入方程 ③,得到y1,y2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2). 所以圆C1与圆C2相交
圆与圆的位置关系
圆与圆的 五 种 位置关系
外离 外切
O1O2>R+r
R O1
R O1
r
O2 r
O2 r O2
O1O2=R+r
R-r<O1O2<R+r
相交
内切
R O1
O1O2=R-r
0≤O1O2<R-r
R
O1 O2 r
内含
R
O1 O2 r
复习 判断 直线和圆的位置关系 几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
弦所在直线方程为 x1 1 x2 3 两圆方程相减的一 , y1 次方程1 y2 1
解得x1 1, x2 3
所以交点A,B坐标分别为（-1,1），（3，-1)
所以经过A,B两点的直线方程是 x+2y-1=0
[ 跟 踪 练 习 ] 已 知 两 圆 x2 ＋ y2 － 2x ＋ 10y － 24 ＝ 0 和 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)求公共弦所在的直线方程； (2)求公共弦的长度．
圆C的标准形式为(x+5)2+(y+5)2=50,所以圆C的 解： y A 圆心B坐标是（-1,3）半径长是 5 2 （0,6） 直线BO的方程为x-y=0 线段OA的垂直平分线的方程 是y=3 所以圆心是F(3,3) OF2=32+32=18 所以所求的圆的方程为 (x-3)2+(y-3)2=18
直线AN的方程为x+2y-5=0 线段MN的垂直平分线的 1 2 方程是
y
联立x 2 y 5 0与4 x 6 y 1 0 20 15 20 15 ,y 所以圆心F ， 7 14 7 14 2 2 845 2 20 15 又因为 FN - 1 - 2 7 14 196 解得x
内切或外切 （2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？ 内含或相离
1．(2012· 山东卷)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝ 9的位置关系为( B ) A．内切 C．外切 B．相交 D．相离
变式：求经过两圆 2 2
C1 : x 2 y 2 2 x 8 y 8 0
3 5,
.
而5 10 3 5 5 10, 即r1 r2 3 5 r1 r2，
所以圆C1与圆C2相交
解法二： 1与圆C2的方程联立,得到方程组 圆C x 2 y 2 2 x 8 y 8 0, 2 2 x y 4 x 4 y 2 0, ①-②,得 x+2y-1=0, 由③,得
F
例2、求过点A（0,6）且与圆C： x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程
o
B (-5,-5)
x
例2、求经过点M(3,-1)且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0 相切于点 N (1,2 ) 的圆的方程。
解：圆C的标准形式为(x+1)2+(y-3)2=5所以圆C的 圆心A坐标是（-1,3）半径长是 5
y
2 x y 2 D2 x E2 y F2 0 交点的直线方程. 则两圆相交弦方程为 解：联立两圆方程得方程组
C2 : x 2 y 2 4 x 4 y 2 0 x y D1 x E1 y F1 0
③ ①-②得 x+2y-1=0 把上式代入① x 2 2 x 3 0 两圆相交时，相交
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
反思
判断两圆位置关系
几何方法 代数方法
各有何优劣，如何选用？
几何方法 直观，但不能 求出交点； 代数方法 能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判断 圆的位置关系
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？
x 2 y 2
2
2
10.
2 2
圆C2的圆心是点（2，2）,半径长r2= 10 圆C1与圆C2的连心线长为
1 2 4 2 圆C1与圆C2的半径之和是 r1 r2 5 10, 两半径之差是 r1 r2 5 10,
x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0②
A ( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y ( F1 F2 ) 0 （-1,1） 2 2
C2（2，2）
.
O
x . C（-1，-4） 1
B （3,-1） x+2y-1=0
消去y（或x）
圆心距d （两点间距离公式）
px 2 qx r 0
比较d和r1+r2与 lr1-r2l 的 大小，下结论
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
作业：
习题4.2 A组 4题、9题、11题。
2 3 即4 x 6 y 5 0x 2 NhomakorabeaA
.
.N
F
.
M
20 15 845 所以所求圆的方程为 x y 7 14 196
2
2
1.圆：x2+y2-2x-2y+1=0 与 圆：x2+y2-4x-4y-17=0的
位置关系是（C ） A . 相切 B. 相离 C.内含 D. 相交
判断圆和圆的位置关系 几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法） 圆心距d （两点间距离公式）
代数方法
( x a1 )2 ( y b1 )2 r12 ( x a2 )2 ( y b2 )2 r22
消去y（或x）
px 2 qx r 0
比较d和r1+r2与 lr1-r2l 的 大小，下结论
例1：已知圆 C : x
1
2
y 2 2x 8 y 8 0
与圆 C2 : x 2 y 2 4 x 4 y 2 0 试判断圆 C1 与圆 C 2 的位置关系
解法一
把圆C1的方程化为标准方程，得
x 1
2
y 4 25.
2
圆C1的圆心是点（-1，-4）,半径长r1=5
2.若圆：x2+y2-2x-5=0与圆：x2+y2+2x-4y-4=0 的 交点为 A,B ，则线段AB的垂直平分线方程是 （A ） A x+y-1=0 B 2x-y+1=0 C x-2y+1=0 D x-y+1=0
3.过两圆x2 + y2 + 6x –4 = 0 和 x2 + y2 + 6y –28 = 0的交点且圆心在直线x-y-4=0上 的圆方程是 ( C ) A.x2+y2-x-5y+2=0 。 B.x2+y2-x-5y-2=0 C.x2+y2-x+7y-32=0 D.x2+y2+x+7y+32=0
4、已知圆 C1: x2+y2 +4x– 3=0与 圆 C2: x2+y2 –4y –3 =0
(1)求过两圆交点的直线方程 x+y=0 (2)求公共弦的长 2 5
小结：判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
代数方法
( x a1 )2 ( y b1 )2 r12 ( x a2 )2 ( y b2 )2 r2 2
y 1 x 2,
①
② ③
把上式代入①,并整理,得 x2 2 x 3 0.
④
方程④的判别式 2 4 1 3 16 0,
2
所以,方程④有两个不相等的实数根x1,x2分别代入方程 ③,得到y1,y2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2). 所以圆C1与圆C2相交
圆与圆的位置关系
圆与圆的 五 种 位置关系
外离 外切
O1O2>R+r
R O1
R O1
r
O2 r
O2 r O2
O1O2=R+r
R-r<O1O2<R+r
相交
内切
R O1
O1O2=R-r
0≤O1O2<R-r
R
O1 O2 r
内含
R
O1 O2 r
复习 判断 直线和圆的位置关系 几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
弦所在直线方程为 x1 1 x2 3 两圆方程相减的一 , y1 次方程1 y2 1
解得x1 1, x2 3
所以交点A,B坐标分别为（-1,1），（3，-1)
所以经过A,B两点的直线方程是 x+2y-1=0
[ 跟 踪 练 习 ] 已 知 两 圆 x2 ＋ y2 － 2x ＋ 10y － 24 ＝ 0 和 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)求公共弦所在的直线方程； (2)求公共弦的长度．
圆C的标准形式为(x+5)2+(y+5)2=50,所以圆C的 解： y A 圆心B坐标是（-1,3）半径长是 5 2 （0,6） 直线BO的方程为x-y=0 线段OA的垂直平分线的方程 是y=3 所以圆心是F(3,3) OF2=32+32=18 所以所求的圆的方程为 (x-3)2+(y-3)2=18
直线AN的方程为x+2y-5=0 线段MN的垂直平分线的 1 2 方程是
y
联立x 2 y 5 0与4 x 6 y 1 0 20 15 20 15 ,y 所以圆心F ， 7 14 7 14 2 2 845 2 20 15 又因为 FN - 1 - 2 7 14 196 解得x
内切或外切 （2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？ 内含或相离
1．(2012· 山东卷)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝ 9的位置关系为( B ) A．内切 C．外切 B．相交 D．相离
变式：求经过两圆 2 2
C1 : x 2 y 2 2 x 8 y 8 0
3 5,
.
而5 10 3 5 5 10, 即r1 r2 3 5 r1 r2，
所以圆C1与圆C2相交
解法二： 1与圆C2的方程联立,得到方程组 圆C x 2 y 2 2 x 8 y 8 0, 2 2 x y 4 x 4 y 2 0, ①-②,得 x+2y-1=0, 由③,得
F
例2、求过点A（0,6）且与圆C： x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程
o
B (-5,-5)
x
例2、求经过点M(3,-1)且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0 相切于点 N (1,2 ) 的圆的方程。
解：圆C的标准形式为(x+1)2+(y-3)2=5所以圆C的 圆心A坐标是（-1,3）半径长是 5
y
2 x y 2 D2 x E2 y F2 0 交点的直线方程. 则两圆相交弦方程为 解：联立两圆方程得方程组
C2 : x 2 y 2 4 x 4 y 2 0 x y D1 x E1 y F1 0
③ ①-②得 x+2y-1=0 把上式代入① x 2 2 x 3 0 两圆相交时，相交
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px 2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
反思
判断两圆位置关系
几何方法 代数方法
各有何优劣，如何选用？
几何方法 直观，但不能 求出交点； 代数方法 能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判断 圆的位置关系
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？