电路(第五版).-邱关源原著-电路教案

第5章含有运算放大器的电阻电路
●本章重点
1、理想运算放大器的两个特性；
2、节点法分析含理想运算放大器的电阻电路。

●本章难点
分析电路时理解虚断、虚短的含义。

●教学方法
本章是通过一些典型电路讲述了含运算放大器的电阻电路的分析方法。

采用讲授为主，自学为辅的教学方法。

共用2课时。

通过讲例题加以分析，深入浅出，举一反三，理论联系实际，使学生能学会学懂。

●授课内容
运算放大器是一种电压放大倍数很高的放大器，不仅可用来实现交流信号放大，而且可以实现直流信号放大，还能与其他元件组合来完成微分、积分等数学运算，因而称为运算放大器。

目前它的应用已远远超出了这些范围，是获得最广泛应用的多端元件之一。

5.1运算放大器的电路模型
a端—－反相输入端：在o端输出时相位相反。

b端—－同相输入端：在o端输出时相位相同。

o b
a
a
u
_
+
o 端—－输出端
A —－放大倍数，也称作“增益”（开环放大倍数：输入端不受o 端影响）。

'''
'''
()o a
o b
o o o b a u Au u Au u u u A u u =-=⇒=+=-差动输入方式
二、端口方程：()o b a u A
u u =- 三、电路模型：
i o i
o
R R R R ----输入电阻输出电阻
高输入，低输出电阻，
0,
""0000,""a i b o b a b a i R i R u u u u a b A ≈⎫
→
∞⎬≈⎭
→⎫
-≈≈⎬→∞⎭理想状态下，虚断电流可以为，但不能把支路从电路里断开。

虚短，但不能在电路中将、两点短接。

四、常用接法
理想化：u a ≈0。

“虚地”：可把a 点电位用0代入，但不能直接作接地处理。

5.2含理想运放的电路分析
分析方法：节点电压法。

采用概念：“虚短”，“虚断”，“虚地”。

避免问题：对含有运放输出端的节点不予列方程。

_
o a
o u
a
o。

+
_
_
+
a u
b u
0i ≈
i R R
0u
+
_
_ +
a u
b u
a i
i R R
0u
求解次序：由最末一级的运放输入端开始，逐渐前移。

例1：.
2.1
v
U K U =求传输电压比，。

解：.
.
.
.
.
.
12
0,0,0,a b a I I U I I ====由“虚断”
由“虚地”则
......
.
1212
22
.
1212
1
1
a a v U U U U U U
U Z K Z Z Z Z Z U --==-=
=-
∴即
则
.22122.
1
1
.
.
.2221
.1210,,11
1
,,1()v v t
U R R Z R K R U U R Z K U U j C j RC j RC U u u d RC
ωωωξξ===
=-
====-
=-=-
⎰11取Z 则比例器
取Z 则积分电路
写成时域表达式
.
22122.111
11 , ,U R R Z R PI j C R j R C U ωω⎡⎤==+
=-+⎢⎥⎣⎦1取Z 则 调节器
例5： o s
U
U 求 电压传输比。

解：
431
5
445
""4,,o
U U U R U U R R ===+由虚短节点分压器原理
s U o
322323
3524
23451111
3,(
)0""()
o o
U U U R R R R R R R R U U R R R +--=-=+节点虚断
1211134
513524111
,(
)""()s s s
o s S
U U U R R R R U R R R R U R R R R R R +-=+=+节点1虚断
第6章 一阶电路
本章重点
1、暂态及其存在原因的理解；
2、初值求解；
3、利用经典法求解暂态过程的响应；
4、利用三要素法求响应；
5、理解阶跃响应、冲激响应。

● 本章难点
1、存在两个以上动态元件时，初值的求解；
2、三种响应过程的理解；
3、含有受控源电路的暂态过程求解；
4、冲激响应求解。

● 教学方法
本章主要是RC 电路和RL 电路的分析，本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法，共用6课时。

课堂上要讲解清楚零输入响应、零状态响应、全响应、稳态分量、暂态分量、阶跃响应、冲激响应等重要概念，还列举大量例题加以分析和求解。

使学生理解动态电路响应的物理意义并牢固掌握响应的求解方法。

● 授课内容
6.1 动态电路的方程及其初始条件
一、暂态及其存在原因
暂态：从一种稳态到达另一种稳态的中间过程（动态过程、过渡过程）。

存在原因：1）含有动态元件⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==dt di C u C dt
di L u L ::
2）存在换路：电路结构或参数发生变化
描述方程：微分方程
一阶电路：能够用一阶微分方程描述电路； 二阶电路：能够用二阶微分方程描述电路； n 阶电路：能够用n 阶微分方程描述电路。

解决方法：经典法、三要素法。

二、换路：电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。

换路时刻0t （通常取0t ＝0），换路前一瞬间：0_t ，换路后一瞬间：0t +。

换路定则 c 0c 0()()u t u t +-= L 0L 0()()i t i t +-=
C 0C 0()()i t i t +-≠， L 0L 0()()u t u t +-≠， R 0R 0()()i t i t +-≠， R 0R 0()()u t u t +-≠
三、初始值的计算： 1. 求C 0L 0(),()u t i t --： ①给定C 0L 0(),()u t i t --；
②0t t <时，原电路为直流稳态 ： C —断路 L —短路
③0t t -=时，电路未进入稳态 ： 0C 0C ()()|t t u t u t --==， 0L 0L ()()|t t i t i t --== 2. 画0t +时的等效电路： C 00()()u t u t +-=，L 0L 0()()i t i t +-= C —电压源 L —电流源 3. 利用直流电阻电路的计算方法求初始值。

例1
已知：0t <时，原电路已稳
定, 0t =时，打开开关S 。

求：0t +=时，各物理量的初
始值。

解：1. 求
C L
(0),(0)
u i
--
：
t
-
=时，
C L
(0)7.5V,(0)0.25A
u i
--
==
2. 画0
t
+
=时的等效电路：
3. 0
t
+
=时：
R1
(0)0.2510
u
+
=⨯=
R2
7.5
(0)0.5A
15
i
+
==
L R1C
(0)(0)10(0)0
u u u
+++
=-+-=
2
C L R
(0)(0)(0)0.25
i i i A
+-+
=-=-
例2：已知：0
t<时，原电路已稳定，
t=时，打开开关S。

求：0
t
+
=时，
1
(0),(0)
i i
++。

解：1. 求
C
(0)
u
-
：
t
-
=时：
C
(t)
_
7.5V
+
_
C 1111C (0)14(0)10(0)4(0)(0)(0)4(0)(0)2A (0)28V
u i i i i i i i u ------
---==+⎧⎪+=⎪⎨
==⎪⎪=⎩ 2. 作0t +=时的等效电路：
0t +=时：
11(0)(0)4
14(0)7(0)28
i i i i +++++=⎧⎨
=+⎩ 184
(0)A,(0)A 33
i i ++∴==
6.2 一阶电路的零输入响应
R C S KVL :()()(0)u t u t u t ++=≥
C C C R C VAR :,du du
i C
u Ri RC dt dt
=== C C S C (0)
(0)?
du RC u u t dt u +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩
零输入响应：指输入为零，初始状态不为零所引起的电路响应。

一、RC 放电过程
已知：0t -=时，电容已充电至0U
求0t +≥后的C R C (),(),()u t u t i t 。

1. 定性分析：
0t -=时，C 0(0)u U -=，R S 0(0)u U U -=-，S 0
C (0)U U i R --=
0t +=时，C C 0(0)(0)u u U +-== R 0(0)u U +=-0(0)C U
i R
+=-
10i 1(0+
) +
_ + _
U u C
+
_
C U
C ,t u ，R C ,u i ； C R C ,0,0,0t u u i →∞→→→
2. 定量分析：
0t +≥时，C C C 0
0(0)(0)du RC u t dt u U +⎧
+=≥⎪⎨⎪=⎩ C ()e
t RC
u t K -
=
令0t +=，C 0(0)1u K U +=⋅=
C 0()e
(0)t
RC
u t U t -+∴=≥
R C 0()()e (0)t RC
u t u t U t -+=-=-≥
0R C ()
()e
(0)t
RC U u t i t t R R
-+==-≥
()(0)e (0)t
RC
f t f t -++=≥
3. 时间常数： RC τ
R
[]τ⋅⎡⎤⎡⎤
=⋅⎡⎤⎣⎦
⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
伏特库仑安培秒＝＝秒安培伏特安培
C 0:()u t τ的物理意义
衰减到36.8％C 0()u t 所需时间
C 0()e
(0)t RC u t U t -+=≥
0C 00()e
t RC
u t u -
=
_ u (t )
+ C _
u C (t 0+τ)=36.8%
00C 000C 0()e
e
e
()0.368t t RC
RC
RC
u t u U u t τττ+-
-
-
+===⨯
τ的几何意义：由0C 0[,()]t u t 点作C ()u t 的切线所得的次切距。

4t τ≥时，电路进入新的稳态,
4C 0C 0C 0(4)()e 1.82%()0u t u t u t τ-+==≈
2
114
22()4e V (0)2s ()4e V (0)4s
t t u t t u t t ττ-
+-+=≥==≥=
τ越小，物理量变化越快。

二、RL 放磁过程
已知0t -=时，L 0(0)i I -=，求0t +≥时的L L (),()i t u t . 利用对偶关系：L
C L
C i u L C u i G
R
RC 串联：C C C 00
(0)(0)du RC u t dt u U ++⎧+=⎪≥⎨
⎪=⎩ RL 并联：L
L L 0
0(0)(0)di GL
i t dt
i I ++⎧+=⎪≥⎨⎪=⎩
L 0()e
(0)t
GL
i t I t -
+=≥ L GL R
τ==
0L ()e
(0)t
GL
I u t t G
-+=-≥ ()(0)e
(0)t
f t f t τ
-++=≥
综上所述，一阶电路的零输入响应变化模式相同，即()(0)e
(0)t
f t f t τ
-++=≥故求
一阶电路的零输入响应时，确定出(0)f +和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式。

6.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应：指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。

_ u L (t ) + _
(t )
1、RC 充电过程
已知C (0)0u =，求0t ≥时的C R C ,,u u i 。

1. 定性分析：
0t +=时，(0)0C u += R S (0)u U += S
C (0)U i R
+= C
,t
u ，R C ,u i ； C S R C ,,0,0t u U u i →∞→→→
2. 定量分析： C C S C (0)
(0)0du RC
u U t dt
u +⎧
+=≥⎪⎨⎪=⎩
C Cp Ch ()()()u t u t u t =+
Cp ()u t 为非齐次微分方程任一特解， Ch ()u t 为对应齐次微分方程的通解， cp u —强制响应，与输入具有相同形式， cp S ()u t A A U =⇒=，cp S ()u t U ∴=
/ch ()e t RC u t K -=—固有响应，与电路结构有关。

∴ C S ()e
t
RC
u t U K -=+
0t +令＝ C S S (0)0u U K K U +=+=⇒=-
C S S S ()e
(1e
)(0)t t RC
RC
u t U U U t -
-
+∴=-=-≥
R S C S ()()e
t RC
u t U u t U -=-= (0)t +≥ S R C ()e t
RC
U u i t R R
-== (0)t +≥ C Cp Ch S C ()()()e
()(1e )(0)t
t
RC
u t u t u t U K u t τ
-
-
+=+=+=∞-≥
U S U
+ _
C (t ) + _
U +
_
_
其中：S U 为稳态响应（C ()u ∞），e
t
RC
K -
为暂态响应（必将衰减为0）
RC τ=为时间常数
C 0S ()(1e
)t u t U τ
-=-
0C 0S ()(1e
)t u t U τ
τ
τ+-+=-
01
S S S (1e )(1e )(1e )t t
U U U τ
τ-
--⎡
⎤=-+---⎢⎥⎣⎦
[]C 0S C 0()63.2%()u t U u t =+-
即充电过程中时间常数的物理意义为由初始值上升了稳态值与初始值差值的63.2%处所需的时间。

4t τ≥ 时，电路进入新的稳态。

3. 充电效率η ()
100%()()
C R C W W W η
∞⨯∞+∞
22
C C S
1()()22
C W Cu U ∞=∞= 2
22S R C S 0
()(e )2
t
RC U C W Ri dt R dt U R -∞
∞
∞===⎰⎰
50%η∴=
例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时合上S ，
求0t +≥时的C 0(),()u t u t 。

u C (t 0t 0)
Ω
解：已知(0)0C u =
1. C ()u ∞： t →∞时，
C 2
()V 3
u ∞=
2. 求τ eq 2
3
R =Ω
2
s 3τ∴=
1.5C 2
()(1e )V (0)3
t u t t -+∴=
-≥
1.50C 12
()1()e V (0)33
t u t u t t -+=-=+≥
二、RL 充磁过程
已知：L (0)0i =。

求：0t +≥时的L ()i t 利用对偶关系
RL 充磁过程 L
L S L (0)(0)0di GL
i I t dt
i +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ L S L ()(1e
)()(1e )
(0)t t
GL
i t I i t τ
--
=-=∞-≥
例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时合上S 求0t +≥时的L o (),()i t i t )
5(t )
i 0(L (∞)
L (t )
I S =U S /
解：已知L (0)0i =
1. 求L ()i ∞ t →∞时 L ()3A i ∴∞=
2. 求τ
10
2s 5
L R τ∴=
==
2
L ()3(1)A
(0)t i t e t -+∴=-≥
L L 2o 410()20.5e A (0)6
t
di
i dt i t t -
++==+≥
6.4 一阶电路的完全响应
完全响应：指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。

已知C 0(0)u U =，0t =时合上S ，
求0t ≥时的C ()u t
C C S C 0
(0)(0)du RC u U t dt u U +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ C Cp Ch S ()()()e
e
t t RC
RC
u t u t u t A K U K -
-
=+=+=+
令0t +=，C S 00S (0)1u U K U K U U +=+⋅=⇒=- C S 0S ()()e
(0)t RC
u t U U U t -+∴=+-≥
稳态响应 暂态响应 完全响应＝稳态响应＋暂态响应 C 0S ()e
(1e
)t t RC
RC
u t U U --∴=+-
零输入响应 零状态响应
5
R eq =5Ω
C (t ) U +
_
完全响应＝零输入响应＋零状态响应
[]C C C C ()()(0)()e (
t RC
u t u u u t -
+=∞+-∞≥
一阶电路的三要素法： 前提：① 一阶电路
② 直流激励
p h ()()()e t
f t f t f t A K τ
-=+=+
令t →∞：()0()f A A f ∞=+⇒=∞
()()e
t
f t f K τ
-=∞+
令0t +=：(0)()1f f K +=∞+⋅ (0)()K f f +=-∞
[]()()(0)()e
(0)t
f t f f f t τ
-
++=∞+-∞≥ 一阶电路三要素公式
(0)f +－初始值 C L (0),(0)u i ++—— 由0t -=的等效电路中求，
C L R R (0),(0),(0),(0)i u i u ++++ 必须由0t +=的等效电路求。

0t +=时：C －电压源 零状态下：C －短路
L －电流源 L －断路
()f ∞－稳态值 t →∞时，C －断路，L －短路
τ－时间常数 ， ,L
RC R
ττ==
， R －由动态元件两端看进去的戴维南等效电阻。

例1：已知0t <时已稳定，求0t +>时，L o ,i i C
解：1. 求o (0),(0)L i i ++
0t -=时，3
9A 2823
i =
=+ o 9
(0)A 8
i -=-
L 923
(0)A 834
i -∴=-
⨯=-
0t +=时，o 3133
(0)()A 4248
i +=+-=
2. 求L o (),()i i ∞∞。

L o 39()A,()A 48
i i ∞=
∞= 3.
求τ。

1
s 2
L R τ==
2L 33
()e A 42t i t -∴=- (0)t +≥
2o 93
()e A 84
t i t -=- (0)t +≥
例2：已知：0t <时原电路已稳定，0t =时合上开关S 。

求0t +≥时，C (),()u t i t
解：1. 求C (0),(0)u i ++。

0t -=时，C (0)2011010V u -=⨯-= C (0)10V u +∴=
C (t )
10V i L (0-)
C (0_) 10V + _
0t +=时，20
(0)1mA 20
i +=
=
2. 求C (),()u i ∞∞。

t →∞时，
101
()1mA 30104
i ∞=
⨯=+ C 1
()20105V 4
u ∞=⨯-=-
3. 求τ。

1010C ()5(105)e
515e V (0)t t u t t --+∴=-++=-+≥10101113
(
)(1)e e mA (0)4444
t t i t t --+=+-=+≥ 又：10C 1013()e mA (0)2044t
u i t t -++==+≥
直接用此式求(
)i t 可免去作0t +=的等效电路。

例3：已知：0t <时，原电路稳定，0t =时，合上S ，
求0t +≥时的L ()i t 。

u C (∞) _ 10V + _
R eq =10K Ω
36101010100.1s τ-∴=⨯⨯⨯=
1
4+ _ Ω
5H
L (t )
+ _
Ω
5H
L (t )
解：1. 求(0)L i +。

0t -=时：
(0)6(0)8(0)16
L i i i ---=⎧⎨=⎩
L L (0)2A,(0)12A,(0)12A i i i --+∴=== 2. 求L (i ∞9.6A =
3. 求τ。

1eq 111122251184
i i u i i R i i i i ⨯-===-=-=Ω-
eq
4s L
R τ∴== 4
4
L ()9.6(129.6)e
9.6 2.4e A t t i t -
-
∴=+-=+
例4：已知：0t <时，原电路稳定，0t =时，打开开关S 。

求0t +≥时的u + _
Ω
L (∞)
Ω
外加激励 2L
开关打开后，利用理想电压源的基本特性，可将原二阶电路分解成两个一阶电路处理，利用三要素法求出C u 和L i 后，
2ab C L ()41e 4e V
(0)t t u t u i t --+=-=---≥
6.5 一阶电路的阶跃响应 一、单位阶跃函数 1. 定义：
00
()10
t t t ε<⎧=⎨
>⎩
S S S
00
()()0t u t U t U t ε<⎧=⋅=⎨>⎩
2. 作用：
① 起开关作用。

② 起起始作用。

2C ()42e V (0)t u t t -+=-≥
2C 20
(0)()(42e )()V 42e V (0)t t
t u t t t ε--<⎧=-=⎨->⎩ 二、一阶电路的单位阶跃响应：
指一阶电路在唯一的单位阶跃激励下所产生的零状态响应。

例：求如图所示电路的单位阶跃响应C ()S t ，R ()S t 。

S (t t
解：利用三要素法：
1.求
C R
(0),(0)
S S
++
C R
(0)0,(0)1V
S S
++
==
2.求
C R
(),()
S S
∞∞
C R
12
()V,()V
33
S S
∞=∞=
3.求τ：2s
τ=
2
C
1
()(1e)()
3
t
S t t V
ε
-
∴=-2
R
21
()(e)()V
33
t
S t t
ε
-
=+
零状态（输入）响应是线性响应，全响应不是
S S
()()
u t U t
ε
=⋅
C S C
()()
u t U S t
=⋅
R S R
()()
u t U S t
=⋅
三、延时单位阶跃函数：
()
1
t t
t t
t t
ε
<
⎧
-=⎨
>
⎩
S
()()(1)3(2)(4)
u t t t t t
εεεε
=+---+-
四、一阶电路的延时单位阶跃响应
指一阶电路在唯一的延时单位阶跃激励下
所引起的零状态响应。

如前例电路在延时单位阶跃函数激励下，
2
C00
1
()(1e)()V
3
t t
S t t t t
ε
-
-
-=--
C
(t)
_
S R(t) _
由于零状态响应为线性响应，满足齐性原理和叠加定理，所以前例电路在上述分段函数作用下的零状态响应为：
124222
2C 1111()(1e )()(1e )(1)(3)(1e )(2)(1e )(4)V
3333
t t t t u t t t t t εεεε-------=-+--+-⨯--+--若该电路中已知：C (0)2V u =，'
"
C C C ()u t u u =+，"2
C
2e t
u -=，'u 为上述所示。

6.6 一阶电路的冲激响应 一、单位冲激函数
0()00t t t δ-
+<⎧=⎨>⎩ 00()1t dt δ+
-
=⎰
单位脉冲函数P ∆
00100t P t t ∆<⎧⎪⎪=<<∆⎨∆⎪
>∆⎪⎩
()()(0)()f t t f t δδ=
()()(0)()(0)f t t dt f t dt f δδ+∞
+∞-∞
-∞
==⎰
⎰ 筛分性质
00()()10t
t t dt t t δε-∞
<⎧==⎨>⎩
⎰ 所以 ()
()d t t dt εδ= 二、一阶电路的单位冲激响应
求图示电路的冲激响应：
C C
KCL :()du u C
t dt R δ+= 000C C 000()du
u C dt dt t dt dt
R δ+++---
+=⎰⎰⎰
(t δC (t ) _
（0C
00u dt R
+
-
=⎰
，若非0，则是u c 冲激函数，不满足KCL ） []C C (0)(0)1C u u +--= C 1
(0)u C +=
换路定则不成立 0t +>，则C 1()e ()t RC
u t t C
ε-=
即 C 1()e ()t
RC
h t t C
ε-=
例：求图示电路中的冲激响应C ()u t 。

21
2
C 211()e e ()V 3123
t t
u t t ε--⨯=⨯=⨯
注意：该电路的单位冲激响应 2
C 1()e ()V 6t
h t t ε-=
而单位阶跃响应： 2C 1
()(1e )()V 3
t S t t ε-=-
C 222
C ()11
e ()(1e )()63
1e ()0
6()
t t
t dS t t t dt t h t εδε---=+-=+= 若激励为原激励的一阶导数，则其响应为原响应的一阶导数。

又如：2
R 21()(e )()V 33
t
S t t ε-=+
222
R 11211()e ()(e )()e ()1()V 23336
t t t
h t t t t t εδεδ---∴=-⨯++=-+⋅
例：求0t +≥时的L ()i t ()t ε起换路作用
C (t ) δC (t ) C ()t
C (t )
解：1. 求L (0)i +。

0t -=时：L
i 2. 求L ()i ∞。

t →∞时：由齐性原理得：3. 求τ。

eq 31281
331215R ⨯=+
=Ω+ 1
s 2
L R τ∴==
2L ()(32e )()A t i t t ε-=-
第7章 二阶电路
● 本章重点
1、二阶电路初值求解；
2、利用经典法求解PLC 电路的零输入响应。

● 本章难点
二阶电路冲激响应求解。

● 教学方法
本章主要讲授PLC 电路的零输入响应的求解过程。

因用经典法分析二阶电路的过
R
6Ω
Ω
渡过程较繁琐，占用课时较多，故二阶电路的零状态响应、完全响应、阶跃响应、冲激响应的求解过程以自学为主，课堂上主要给学生理清各响应之间的区别与联系，以及在掌握PLC 电路的零输入响应的基础上，如何求得其它响应的思路。

培养学生分析问题和解决问题的能力。

本章共用4课时。

授课内容
7.1 二阶电路的零输入响应
用二阶微分方程描述的电路为二阶电路。

二阶电路的零输入响应的定义和一阶电路相同, 本节仅讨论PLC 电路的零输入响应。

C 0(0)u U = L 0(0)0i I == L R C KVL :0(0)u u u t +++=≥
2C C C L
L L R L 2VAR :,,du d u du di i C u L LC u Ri RC dt dt dt dt
=====
2C C
C 2
C 0
L C 000(0)(0)(0)0t d u du LC RC u t dt dt du I i u U dt C C +=⎧++=≥⎪⎪
⎨
⎪====⎪⎩
2
10LCP RCP ++=
1,2p =
1. 12,p p 为一对不相等的负实根
（R >， 12C 12()e e p t p t u t K K =+——过阻尼非振荡工作状态 2．12,p p 为一对相等的负实根
（R =， C 12()e e pt pt u t K K t =+——临界阻尼非振荡工作状态 3. 12,p p 为一对共轭复根
（R <，
1,2d j p αω-±
C 1α2d ()e (cos sin )t u t K t K t αωω-=+——欠阻尼振荡工作状态
一、R >
112R p L α=-
-
222R p L α=--
102R L α=
>
202R L α=
> 121
LC
αα=
，21αα> 1. 表达式 12C 12()e e t t u t K K αα--=+
12C
1122e e t t du K K dt αααα--=--
令0t =
C 120(0)u K K U =+=
C
11220
0t du K K dt
αα==--=
2010
1221
21
U U K K αααααα-∴=
=
-- 1
2
2010C 2121
()e e
(0)t t
U U u t t αααααααα--+=
-≥--
1
2
C 120120L 2121
()e e t t du CU CU
i t C dt αααααααααα---==+-- 1200
2121()()
t t U U e e L L αααααα---=
+--
121020L L 2121()()e e (0)()()
t t U U di t u t L
t dt αααααααα--+==-≥--
2、曲线
1
2
2010C 2121
()e e
(0)t t
U U u t t αααααααα--+=
-≥--
前项 后项 初值为正 初值为负 初值绝对值大 初值绝对值小 衰减慢 衰减快
2
11211
221
211
1
:ln 2
ln 2t t t t αααααααα=
-==-
3、能量转换：1C L 1C L
0,
,
t t u i t t u i
<<>
二、R = 122R p p L
α==-
-
C 12()e e t t u t K K t αα--∴=+
C
1122e e e t t t du K K t K dt
ααααα---=--+ 令C 1010
C 122
000,(0)0t t u K U K U du K K K U dt αα====⎫
=⎧⎪
⇒⎬
⎨=-+==⎩⎪⎭
C 0()(1)e (0)t
u t t U t αα-+∴=+≥
C 0()e (0)t L du U
i t C
t t dt L
α-+==-≥
L
L
-
L
C 0()(1)e (0)t di u t L
t U t dt
αα-+==--≥ 变化曲线与（一）相类似 1211
2
,
2t t t α
α
==
=
能量转换与（一）相类似
三．R < 221,2
d 1()(
)22R R p j j L L LC
αω-
±--±
d ,2R L
αω=
=0ω=
——固有频率 1. 表达式 C 1d 2d ()e (cos sin )t u t K t K t αωω-=+
C
1d 2d 1d d d 2d e (cos sin )(sin cos )t t du K t K t e K t K t dt
αααωωωωωω--=-++-+ 101020
12d d 0,0K U t K U K U K K α
αωω=⎧==⎫
⎪
⇒⎬
⎨=-+=⎭
⎪⎩
令 则： C 0d 0d d
()e (cos sin )t u t U t U t αα
ωωω-=+
00d d d d 00e (cos sin )t U t t αωωαωωωωω-=
+ （其中d 0sin ωβω=，0
cos α
βω=） 00d d
e sin()(0)
t
U t t αωωβω-+=
+≥C 00L d d d d ()e sin()e cos()t t
du U i t C
C t t dt ααωαωβωωβω--⎡⎤==-+++⎣
⎦ 200
d d d d
00e sin()cos()t C U t t αωω
αωβωβωωω-⎡⎤=-
+-+⎢⎥⎣⎦
0d d sin()(0)t
U e t t L αωπω-+=
+≥ （其中
0sin d ωβω=，0
cos αβω=） 0
L L 0d d
()e sin()(0)t di u t L
U t t dt αωωβω-+==-≥
β
α
ωd ω
2. 曲线 00C d d
()e sin()(0)t
U u t t t αωωβω-+=
+≥
零值点： d d sin()0(1,2,3)t t k ωβωβπ+=+=±=
即d ,2,3t ωπβπβπβ
=--
-
极值点，应为L ()i t 的零值点，即：d d sin()0
(1,2,3)t t k k ωπωππ+=+=±=
d 0,,2t ωππ
=
同理可作L ()i t ，L ()u t 的变化曲线
3、能量转换 d C
L
d C
L
0,;
0,
t u i t u i ωβωπβ
<<<<-
d C L
,
t u i πβωπ-<<
L
L
-L
7.2 二阶电路的零状态响应、完全响应、阶跃响应、冲激响应
零状态响应：指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。

二阶电路的初始状态为零，指的是电容电压和电感电流的初始值同时为零。

完全响应：指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。

二阶电路的初始状态不为零，指的是电容电压和电感电流的初始值不同时为零。

阶跃响应：指二阶电路在单位阶跃激励下所产生的零状态响应。

冲激响应：指二阶电路在单位冲激激励下所产生的零状态响应。

例：已知S 10V U =，C (0)1V u =，
L (0)1A i =，求0t +≥时的C ()u t 。

解： L C KCL :i i i =+
1L C C S KVL :()R i i u U ++= （1） L C L (0)di u Ri L
t dt
+=+≥ （2） 由（1）得到： S C C L 11U u du
i C R R dt
=
-- （3） （3）代入（2）： 2C C C S 2111()(1)du du L R R
LC RC u U dt R dt R R ++++=
即：2
C C C 21111100
(0)du du
u t dt dt
+++=≥， C (0)1V u =，
C
C 0
(0)
8V /s t du i dt
C
+==
= C Cp Ch ()()()u t u t u t =+
任一特解 齐次通解
令Cp 100()V 11u t A A =⇒= 即Cp 100
()V 11u t = 21211110
1.12,9.89p p p p ++=⇒=-=-
1.129.89Ch 12()e e t t u t K K --∴=+
1.129.89C 12100
()e e 11
t t u t K K --∴=
++
U +
_
C
t=0+时
U +
_
C
_ 8A
1V
0t +=时： C 121C
212100(0)18.2
11
0.11
1.129.898u K K K du K K K dt +⎫
=
++=⎪
=-⎧⎪⇒⎬
⎨=⎩⎪
=--=⎪⎭
1.129.89C 100
()8.2e 0.11e V (0)11
t t u t t --+∴=
-+≥
第8章 相量法
● 本章重点
1、正弦量的两种表示形式；
2、相量的概念；
3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。

● 本章难点
1、正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；
2、三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。

● 教学方法
本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。

讲述中对重点内容
不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。

本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。

本章共用4课时。

授课内容
8.1复数
1. 复数的三种表示
bj a A += 直角坐标
=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式
θ
θ
θsin cos 22r b r a a b arctg
b a r ==⇒=+=⇒直
极极直
θθsin cos jr r A += 三角表示形式
欧拉公式：θθθsin cos j e j +=
2. 复数的运算
已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A 求：2
1
2121,,A A A A A A ⋅±
()()212121b b j a a A A ±+±=± 212
1
2
1
2
12121θθθθ+∠=
+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量
一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值
称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。

i
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。

周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。

显然，周期和频率互为倒数，即f =1/T 。

交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。

可见，正弦量不仅是周期量，
而且还是交变量。

二、正弦量的表达式
1. 函数表示法：m ()cos()f t F t ωψ=+m F —化过程中所能达到的最大值；
t ωψ+—相位，反映正弦量变动的进程；
ω—角频率（rad /s ），反映正弦量变化的快慢。

22,2T f T
π
ωπωπ==
= ()ψπψπ-≤≤—初相位，反映正弦量初值的大小、正负。

m F ，ω，ψ—正弦量的三要素。

已知m 10A,50Hz,15o I f ψ===-， 则()10cos(31415)A o i t t =-。

2. 波形表示法
0t ωψ+=， t ωψ=-。

当0>ψ时，最大值点由坐标原点左移ψ。

如下图。

t
三、两个同频率正弦量的相位差ϕ
设 m u ()cos()u t U t ωψ=+ )cos()(i m t I t i ψω+=
则u (t )与i (t )的相位差 i u i u t t ψψψωψωϕ-=+-+=)()(
可见，对两个同频率的正弦量来说，相位差在任何瞬时都是一个常数，即等于它们的初相之差，而与时间无关。

φ的单位为rad(弧度)或˚ (度)。

主值范围为|φ|≤π。

如果φ＝Ψu −Ψi >0 (如下图所示)，则称电压u 的相位超前电流i 的相位一个角度度φ，简称电压u 超前电流i 角度φ，意指在波形图中，由坐标原点向右看，电压u 先到达其第一
个正的最大值，经过φ，电流i 到达其第一个正的最大值。

反过来也可以说电流i 滞后电压u 角度φ。

如果φ＝Ψu −Ψi ＜0，则结论刚好与上述情况相反，即电压u 滞后电流i 一个角度|φ|，或电流i 超前电压u 一个角度|φ|。

又设 m ()cos()u t U t ωψ=+
（1）1m11()cos()u t U t ωψ=+ 当1ψψ=，则10ϕψψ=-=，1u 与u 同相。

如下图φ＝Ψu −Ψi =0 。

（2）2m22()cos()u t U t ωψ=+ 当22
π
ψψ=±，22
π
ϕψψ=-=
，2u 与u 正交。

如
下图（这里φ=Ψ－Ψ2＝+π/2t
（3）3m33()cos()u t U t ωψ=+ 当3ψψπ=±,3ϕψψπ=-=,3u 与u 反相。

注意：1. 函数表达形式应相同，均采用cos 或sin 形式表示。

如 ()100cos(15)V u t t ω=+
()10sin(30)10cos(60)A i t t t ωω=+=-
15(60)75ϕ=--=
2. 函数表达式前的正、负号要一致。

当0,""0,""ψπψπ>-<-取取+－，。

3. 当两个同频率正弦量的计时起点(波形图中的坐标原点)改变时，它们的初相也跟着改变，但它们的相位差却保持不变。

所以两个同频率正弦量的相位差与计时起点的选择无关。

四、正弦量的有效值
()f t —任意周期函数 ⎰
=
T
dt t f T
F 0
2)(1
—方均根值
可见，周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值取平方根。

因此，有效值又称为方均根值。

t
φ=－2＝π
当周期量为正弦量时，将m ()cos()f t F t ωψ=+代人上式得
F =
=
其中
⎰
⎰=+
+=
+
T
i
i
T
T dt t dt t 0
02
2
2
)(2cos 1)(cos
ϕϕ
ωω
所以
0.707
m
F F =
==
m m ,F F F =
= 只适用于正弦量 这样正弦量的数学表达式写为 ()cos()f t t ωψ=+。

因此，正弦量的有效值可以代替最大值作为它的一个要素。

对于正弦电流i ＝I m cos(ωt+φi ) 的有效值为
I =I m /2=0.707I m
同理，正弦电压u ＝U m cos(ωt+φu )的有效值为
U ＝U m /2＝0.707U m
在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。

例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。

我国所使用的单相正弦电源的电压U =220V ，就是正弦电压的有效值，它的最大值U m ＝2U ＝1.414×220＝311V 。

应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。

例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。

8.3 相量法的基本概念
一、 相量：可以表示一个正弦量的复值常数称为相量。

令正弦量m ()cos()cos()f t F t t ωψωψ=+=+，根据欧拉公式，可知
j e cos jsin x x x =+，取x t
ωψ=+ 则 ()cos()jsin()j t e t t ωψωψωψ+=+++
j()cos()Re t t e ωψωψ+⎡⎤+=⎣⎦ j ()
sin()Im t t e ωψωψ+⎡⎤+=⎣⎦
于是 j()j()
m m ()Re Re t t f t F e F e ωψωψ++⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦j j j m m Re Re t t F e e F e ψωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦
j m m m F F e F ψψ==∠ —最大值相量。

m ()30)V 220230V u t t U =+⇔=∠ F F ψ=∠ —有效值相量 m 2F F =
上述表明，可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个复数域的复指数函数一一对应起来，而复指数函数的复常数部分是用正弦量的有效值（最大值）和初相结合成一个复数表示出来的。

运用相量进行正弦稳态电路的分析和计算，可同时将正弦量（最大值）的有效值和初相计算出来。

有效值（最大值）上方加的小圆点是用来与普通复数相区别的记号，在数学运算上与一般复数的运算并无区别。

相量既然是复数，它也可以在复平面上用一条有向线段表示。

如下图所示为正弦电流i ＝2I cos (ωt +Ψi )的相量，其中Ψi ＞0。

相量。

I 的长度是正弦电流的有效值I ，相量。

I
与正实轴的夹角是正弦电流的初相。

这种表示相量的图称为相量图。

为了简化起见，相量图中不画出虚轴，而实轴改画为水平的虚线，如下图所示。

i I I ψ=∠
二、
+1
+j
I
--I
--j I
j I
复指数函数的另一部分e jωt ，是一个随时间变化的旋转因子，它在复平面上是一个以原点为中心、以角速度ω等速旋转、模为l 的复数。

j 1()cos jsin t e t t t ωωωω=∠=+ 取j
2
,j 2
t e
ππ
ω=
= ； 取j()2
,j 2
t e
π
π
ω-=-
=- ； 于是j,1±-—旋转因子。

三、正弦量为旋转相量在实轴上的投影
相量(。

F ＝F e jφ
)乘以旋转因子e
jωt
再乘以2，即2。

F e jωt ，所以将它称为旋转相
量，2。

F 称为旋转相量的复振幅相量，如图(a)所示。

j m ()Re t f t F e ω⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
旋转相量。

(a)
(b)
旋转相量与正弦波
一个正弦量在任何时刻的瞬时值，等于对应的旋转相量该时刻在实轴上的投影。

这个关系可以用图(a)、(b)分别所示的旋转相量2。

F e jωt 和正弦量f (t )的波形图之间的对应关系来说明。

对于任何正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数，建立起一一对应关系，从而得到表示这个正弦量的相量。

由于这种对应关系非常简单，因而可以直接写出。

四、 同频率正弦量的相量运算
1 同频率正弦量的加减法
例1：11m 1()cos()u t U t ωψ=+，22m 2()cos()u t U t ωψ=+。

求12()()u t u t +。

解：j 1m 11m 1()cos()Re t u t U t U e ωωψ⎡⎤=+=⎢⎥
⎣⎦
j 2m 22m 2()cos()Re t u t U t U e ωωψ⎡⎤
=+=⎢⎥⎣⎦
j 12m m ()()cos()Re t u t u t U t U e ωωψ⎡⎤
+=+=⎢⎥⎣⎦
j j 1m 2m 12()()()Re Re t t u t u t u t U e U e ωω⎡⎤⎡⎤
=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
j j 1m 2m m Re ()Re t t U U e U e ωω⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
m 1m 2m U U U =+
上述计算也可以根据平行四边形法则在相量图上进行。

相量的加减法只对应同频率正弦量的加减法。

2相量的微分运算 设m ()cos()f t F t ωψ=+ 则
[]m m ()
sin()cos(90)df t F t F t dt
ωωψωωψ=-+=++ 而j m ()Re t f t F e ω⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
则 j j j m m m ()(Re )Re ()Re j t t t df t d d F e F e F e dt dt dt ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
于是 ()
m df t j F dt
ω⇔
m (j 90)m F F ωωψ=∠+ 当()(-1)0
1-1
sm (-1)
()()
()
()cos()n n n n s n n d f t d f t df t a a a a f t U t dt dt dt
ωψ++++=+ 其中，稳态响应p m ()cos()f t F t ωψ=+ p m m ()f t F F ψ⇒=∠
()p m ()
(j )k k k d f F dt ω⇒
Sm S Sm S ()u t U U ψ⇒=∠
(1)Sm 0m 1m 1m m (j )(j )(j )n n n n a F a F a F a F U ωωω--++++=
(1)Sm m 011/[(j )(j )j ]n n n n F U a a a a ωωω--=++
++
8.4 电路定律的相量形式 一、KCL 的相量形式
KCL 时域形式∑=m
k 1i k =0
当线性正弦稳态电路的电流都是同频率的正弦量时，
j m m i ()cos()Re t k k k k i t i t I e ωωψ⎡⎤
=+=⎢⎥⎣⎦
因此，在所有时刻，对任一节点的KCL 可表示为
j j j j m
m ()Re[]Re[()]Re[2()]Re[0]0t t t t k
i t I
e I e I e e ωωωω====⨯=∑∑∑∑
于是很容易推导出KCL 的相量形式，即
m 0 0k
k I
I ==∑∑ KCL 的相量形式
其中 。

I m k = I m k ik
j
e ψ = I m k /ψik 。

I k = I k ik
j
e ψ = I k /ψik
为流出该节点的第k 条支路正弦电流i k 对应的相量。

二、 KVL 的相量形式
同理，在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL 可表示为
∑
=m
k 1。

U
m k = 0
∑
=m
k 1。

U k = 0 KVL 的相量形式
式中。

U
m k 、。

U k 为回路中第
k 条支路的电压相量。

必须强调指出，KCL 、KVL 的相量形式所表示的是相量的代数和恒等于零，并非是有效值的代数和恒等于零。

三、R 、L 、C 的相量模型
在正弦稳态电路中，三种基本电路元件R 、L 、C 的电压、电流之间的关系都是同
频率正弦电压、电流之间的关系，所涉及的有关运算都可以用相量进行，因此这些关系的时域形式都可以转换为相量形式。

1、 正弦交流电路中的电阻元件
在电压和电流的参考方向关联时，电阻R 的伏安关系的时域形式
R R ()()u t R i t =⋅
当正弦电流i R ＝2I R cos(ωt +ψi )通过电阻R 时， 则 R Rm i u ()cos()cos()Rm u t RI t U t ωψωψ=+=+
Rm Rm R R U RI U RI =⎫
⎬=⎭
电压、电流的最大值(有效值)之间符合欧姆定律；
u i u i 0ψψϕψψ=⎫
⎬=-=⎭
R u 与R i 同相 令：
R R R i R
R R R u R i ()()i t I I u t U U RI R I ψψψ⇒=∠⇒=∠=∠= 则在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为
R R U R I = Rm Rm U R I =
线性电阻的相量电路、相量图如下。

2、正弦交流电路中的电感元件：
当电压和电流参考方向关联时，电感L 伏安关系的时域形式为
L
L di u L
dt
= 当正弦电流m i ()cos()L L i t I t ωψ=+通过电感L 时
[]m i m i m i m u [cos()] sin() cos()
2
cos()
L L L L L L di d
u L
L I t dt dt
LI t LI t U t ωψωωψπ
ωωψωψ==+=⨯-+=++=+
u R (t )
L R R U R I
R I 与R U 共线
可见
m m L L L L U LI U LI ωω=⎫
⎬=⎭
电压、电流的最大（有效）值之间符合欧姆定律。

感抗值
Lm L
L Lm L
U U L X I I ω==。

X L 随ω的变化成线性，如下图。

可见，电感具有
通低频阻高频的特性。

u i u i 22π
ψψπϕψψ⎫
=+
⎪⎪⎬⎪
-=
⎪⎭
电压超前电流90 Lm L Lm i ()i t I I ψ⇒=∠
Lm L Lm u Lm i Lm i ()j 2
u t U U LI LI π
ψωψωψ⇒=∠=∠+
=∠
Lm Lm L L j j U L I U L I ωω⎫
=⎪
⎬⎪=⎭
伏安关系的相量形式
上述式表明：
★在正弦电流电路中，线性电感的电压和电流在瞬时值之间不成正比，而在有效值之间、相量之间成正比。

★此时电压与电流有效值之间的关系不仅与L 有关，还与角频率ω有关。

当L 值不变，流过的电流值I L 一定时，ω越高则U L 越大；ω越低则U L 越小。

当ω＝0(相当于直流激励)时，U L ＝0，电感相当于短路。

★在相位上电感电压超前电流90˚。

线性电感的相量电路如下。

线性电感中正弦电压和电流的波形图、相量图分别如下图(a)、(b)所示。

U
(a) (b)
3、正弦交流电路中的电容元件
当电压和电流参考方向关联时，电容C 的伏安关系的时域形式为
C C du i C dt
=
当正弦电压C cm u ()cos()u t U t ωψ=+加于电容C 上时，
m u m u m i ()cos() cos()
2
cos()
C C C C C d d
i C
u t C U t dt dt
CU t I t ωψπ
ωωψωψ==+=++=+
可见 Cm Cm Cm
Cm C C 11I C U U I c U I C ωωω⎫⎪=⋅⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪
⎭
电流最大（有效值）之间也符合欧姆定律。

Cm C C Cm C 1
U U X I I C
ω== —容抗值。

|X C |随ω的变化如下图。

可见，电容是通高频
阻低频的器件，具有隔直作用。

i u u i 22π
ψψπϕψψ⎫
=+
⎪
⎪⎬
⎪
=-=-
⎪⎭
C u 滞后C i 90 Cm C Cm u
Cm Cm
C Cm i Cm u ()()90j u t U U i t I I cU CU ψψωψω⇒=∠⇒=∠=∠+=
C
u C (t )
+ _
i C (t ) i ψ
u ψ
L U
L I
ω |X C |
Cm Cm
Cm Cm Cm j 11
j j I C U U I I C C
ωωω===- 伏安关系的相量形式 线性电容的相量电路如下。

线性电容中正弦电压和电流的波形图、相量图分别如下图(a)、(b)所示。

(a) (b)
至此，可以根据给定的用u 、i 、R 、L 、C 表示的时域电路，分别用。

U 、。

I 、R 、jωL 、1/jωC 替代，得到对应的相量电路。

在选定的电压、电流的参考方向下，写出KCL 和KVL
方程的相量形式，再将元件伏安关系的相量形式代入，便得到一组以待求量(电压或电流)的相量为未知量的复数代数方程组。

解此方程组就可求得待求正弦电压或电流的相量，最后根据相量与正弦时间函数的对应关系，写出待求量在时域中的瞬时值表达式。

这种方法就是求解正弦电流电路的相量法。

1
j c
ω- +
_
C U
C
I i ψ
u
ψC
I C
ri +
_
R 2
R 1
C L
u (t )
i
+ _ R 2
m r I +
_
R 1
j ωL
1j C
ωSm
U m I
第9章正弦稳态电路分析
●本章重点
1、阻抗和导纳的概念及电路阻抗的计算；
2、相量法分析计算电路；
3、平均功率、无功功率、视在功率及复功率的理解；
4、最大功率；
5、谐振的条件及特点的理解。

●本章难点
1、相量图求解电路；
2、提高功率因数的计算；
3、含有谐振电路的计算。

●教学方法
本章是正弦稳态电路分析的重要内容，通过举例较详细地讲述了相量法的解析方法和几何方法；对阻抗和导纳的概念、如何求解及两者间的关系也要详细讲解；对正弦稳态电路有关功率的概念、公式以及所代表的含义要讲解透彻，通过例题讲清楚提高功率因数的方法和意义；对谐振这部分内容主要讲述串联谐振，并联谐振按两者间的对偶关系加以理解。

本章主要采用课堂讲授的教学方法，共用8课时。

●授课内容
9.1 阻抗和导纳
一、阻抗
1．定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为Z，
注意：此时电压相量U与电流相量I的参考方向向内部关联。

u
i
U U Z I I
ψψ∠
=
=
∠
（复数）阻抗()Ω
z j Z R X ψ=∠=+ 其中 ()U
Z I
=
Ω —阻抗Z 的模，即阻抗的值。

Z u i ϕψψ=- —阻抗Z 的阻抗角 z cos ()R Z ϕ=Ω —阻抗Z 的电阻分量
z sin ()X Z ϕ=Ω —阻抗Z 的电抗分量 阻抗三角形
电阻元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为
R R U R I = R I 与R U 共线
则 R R R
U Z R I ==
电感元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为
L L j U L I ω= 则 L L L L
j j U Z L X I ω==
=
电容的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为
R
X
|Z |
Z ϕ
R
U R I
U
1j - C U
C C
C C
C
j
11
j
j
I C U
U I I
C C
ω
ωω
=
==-
则C
C C
C
1
j j
U
Z X
C I
ω
=-=
C
1
X
C
ω
=-—容抗
2. 欧姆定律的相量形式U Z I
=
电阻、电感、电容的串联阻抗：在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容
的串联，得到等效阻抗
eq
Z
R L C
eq R L C
1
L C Z
Z I Z I Z I
U
Z Z Z Z
I I
R j L R jX jX R jX Z
j C
ωϕ
ω
++
===++
=++=++=+=∠
其中：阻抗Z的模为||Z=
阻抗角分别为1/
L C
Z
X L C
arctg arctg arctg
R R R
X Xωω
ϕ+-
===。

可见，电抗X是角频率ω的函数。

当电抗X＞0(ωL＞1/ωC)时，阻抗角φZ＞0，阻抗Z呈感性；
当电抗X＜0(ωL＜1/ωC＝时，阻抗角φZ＜0，阻抗Z呈容性；
当电抗X＝0(ωL＝1/ωC)时，阻抗角φZ＝0，阻抗Z呈阻性。

3. 串联阻抗分压公式：
引入阻抗概念以后，根据上述关系，并与电阻电路的有关公式作对比，不难得知，
若一端口正弦稳态电路的各元件为串联的，则其阻抗为∑
=
=
n
k
k
Z
Z
1
串联阻抗分压公式
eq
k
k
Z
U U
Z
=
二、导纳
1．定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网
C
_。