北师大版九年级数学上册第二章达标检测卷附答案

北师大版九年级数学上册第二章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列等式中是关于x的一元二次方程的是()
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.1
x2＋
1
x－2＝0
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1
2．一元二次方程x2－6x＋5＝0配方后可化为()
A．(x－3)2＝－4 B．(x＋3)2＝－14 C．(x－3)2＝4 D．(x＋3)2＝14 3．关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是()
A．m≥0 B．m＞0
C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1
4．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为()
A．4，－2 B．－4，－2 C．4，2 D．－4，2
5．已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0，那么x2＋3x的值为() A．1 B．－3或1 C．3 D．－1或3
6．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有()
A．7队B．6队C．5队D．4队
7．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是() A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
8．已知x＝2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC 的腰长和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为()
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
9．若关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则n m的值为() A．－8 B．8 C．16 D．－16
10．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则AA′等于()
A．0.5 cm B．1 cm
C．1.5 cm D．2 cm
二、填空题(每题3分，共24分)
11．一元二次方程x(x－7)＝0的解是________．
12．若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a＝________.
13．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1
x1＋1
x2＝3，则
k＝________.
14．某市加大了对雾霾的治理力度，第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为________________________．
15．关于x的两个方程x2－4x＋3＝0与
1
x－1
＝
2
x＋a
有一个解相同，则a＝________.
16．已知线段AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形ABCD，取AB边上一点E(不与点A，B重合)，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作EF⊥CD，垂足为点F，如图．若正方形AENM与四边形EFCB的面积相等，则AE的长为________．
17．已知(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝19，则a＋b＝________.
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 2 cm/s的速度向点D运动．设△ABP 的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0<t<8)，则t＝________时，S1＝2S2.
三、解答题(19题12分，20～23题每题8分，24题10分，25题12分，共66
分)
19．用适当的方法解下列方程．
(1)x2－x－1＝0; (2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－22x＋1＝0; (4)(x＋8)(x＋1)＝－12.
20．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
21．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.请利用这种方法求方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解．
22．关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．
23．一个矩形周长为56 cm.
(1)当矩形的面积为180 cm2时，长和宽分别为多少？
(2)这个矩形的面积能为200 cm2吗？请说明理由．
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．
(1)问几秒后，△PBQ的面积为8 cm2?
(2)出发几秒后，线段PQ的长为4 2 cm?
(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．
25．某中学九年级准备组织学生去方特梦幻王国进行春游活动．方特梦幻王国给出了学生团体门票的优惠价格：如果学生人数不超过30名，那么门票为每张240元；如果人数超过了30名，则每超过1名，每张门票就降低2元，但每张门票最低不能少于200元．
(1)若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？
(2)若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？
(3)若三班交了门票费9 450元，请问该班参加春游的学生有多少名？
答案
一、1.A 2.C 3.C 4.D 5.A 6.C
7．D8.B9.C
10．B【点拨】设AC交A′B′于H.
∵∠DAC＝45°，∠AA′H＝90°，
∴△AA′H是等腰直角三角形．
设AA′＝x cm，则A′H＝x cm，A′D＝(2－x)cm.
∴x(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1，
即AA′＝1 cm.故选B.
二、11.x1＝0，x2＝712.－1
13．2【点拨】∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k.
∴1
x1＋1
x2＝
x1＋x2
x1x2＝
6
k＝3.
解得k＝2.经检验，k＝2满足题意．
14．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260
【点拨】根据题意知，第二季度投入资金100(1＋x)万元，第三季度投入资金100(1＋x)2万元，
∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260.
15．1【点拨】由方程x2－4x＋3＝0，得
(x－1)(x－3)＝0，
∴x－1＝0或x－3＝0.
解得x1＝1，x2＝3.
当x＝1时，分式方程
1
x－1
＝
2
x＋a
无意义；
当x＝3时，
1
3－1
＝
2
3＋a
，解得a＝1.
经检验，a＝1是方程
1
3－1
＝
2
3＋a
的解．
16.5－1【点拨】本题主要考查了根据几何图形列一元二次方程，解题的关键
是根据已知条件和图形找出等量关系，列出方程．
17．±5 【点拨】设t ＝2(a ＋b )，则原方程可化为(t ＋1)(t －1)＝19，整理，得
t 2＝20，解得t ＝±25，则a ＋b ＝t 2＝±5.
换元法的一般步骤是：(1)设新元，即根据问题的特点或关系，引进适当的辅助元作为新元；(2)换元，用新元去代替原问题中的代数式或旧元；(3)求解新元，将解出的新元代回所设的换元式，求解原问题的未知元．
18．6 【点拨】∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝8 2 cm.
又∵AP ＝2t cm ，
∴S 1＝12AP ·BD ＝12×2t ×82＝8t (cm 2)，PD ＝(82－2t )cm.易知PE ＝AP ＝2t cm ，∴S 2＝PD ·PE ＝(82－2t )·2t cm 2.
∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2(82－2t )·2t .
解得t 1＝0(舍去)，t 2＝6.
三、19.解：(1)(公式法)a ＝1，b ＝－1，c ＝－1，
∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5.
∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a
＝1±52， 即原方程的根为x 1＝
1＋52，
x 2＝1－52.
(2)(因式分解法)移项，得3x (x －2)－(x －2)＝0，
即(3x －1)(x －2)＝0，
∴x 1＝13，x 2＝2.
(3)(配方法)配方，得(x －2)2＝1，
∴x －2＝±1，
∴x1＝2＋1，x2＝2－1.
(4)(因式分解法)原方程可化为x2＋9x＋20＝0，
即(x＋4)(x＋5)＝0，
解得x1＝－4，x2＝－5.
20．解：(1)∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，
∴m－2≠0且Δ＝(2m)2－4(m－2)(m＋3)＝－4(m－6)＞0，
解得m＜6且m≠2.
∴m的取值范围是m＜6且m≠2.
(2)在m＜6且m≠2的范围内，最大整数为5.
此时，方程化为3x2＋10x＋8＝0，
解得x1＝－2，x2＝－4 3.
21．解：设2x＋5＝y，则原方程可化为y2－4y＋3＝0，所以(y－1)(y－3)＝0，解得y1＝1，y2＝3.当y＝1时，即2x＋5＝1，解得x＝－2；当y＝3时，即2x＋5＝3，解得x＝－1，所以原方程的解为x1＝－2，x2＝－1.
22．解：(1)由题意得Δ＝9－4(m－1)≥0，∴m≤13 4.
(2)由根与系数的关系得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1. ∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，
∴－6＋(m－1)＋10＝0，∴m＝－3，
∵m≤13
4，∴m的值为－3.
23．解：(1)设矩形的长为x cm，则宽为(28－x)cm，
由题意列方程，得x(28－x)＝180，
整理，得x2－28x＋180＝0，
解得x1＝10(舍去)，x2＝18.
答：矩形的长为18 cm，宽为10 cm.
(2)不能．理由如下：设矩形的长为y cm，则宽为(28－y) cm，由题意列方程，得y(28－y)＝200，
整理，得y2－28y＋200＝0，
则Δ＝(－28)2－4×200＝784－800＝－16＜0.
∴该方程无实数解．
故这个矩形的面积不能为200 cm 2.
24．解：(1)设t s 后，△PBQ 的面积为8 cm 2，则PB ＝(6－t )cm ，BQ ＝2t cm ， ∵∠B ＝90°，
∴12(6－t )×2t ＝8，
解得t 1＝2，t 2＝4，
∴2 s 或4 s 后，△PBQ 的面积为8 cm 2.
(2)设出发x s 后，PQ ＝4 2 cm ，由题意，得(6－x )2＋(2x )2＝(42)2，解得x 1＝25，
x 2＝2，故出发25 s 或2 s 后，线段PQ 的长为4 2 cm.
(3)不能．理由：设经过y s ，△PBQ 的面积等于10 cm 2，则12×(6－y )×2y ＝10，即
y 2－6y ＋10＝0，
∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4×10＝－4＜0，
∴该方程无实数解．
∴△PBQ 的面积不能为10 cm 2.
25．解：(1)240－(40－30)×2＝220(元)，
220×40＝8 800(元)．
答：若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费8 800元．
(2)240－(52－30)×2＝196(元)，
∵196＜200，∴每张门票200元．
200×52＝10 400(元)．
答：若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费10 400元．
(3)∵9 450不是200的整数倍，且240×30＝7 200(元)＜9 450元，
∴每张门票的价格高于200元且低于240元．
设三班参加春游的学生有x 名，则每张门票的价格为[240－2(x －30)]元， 根据题意，得[240－2(x －30)]x ＝9 450，
整理，得x 2－150x ＋4 725＝0，
解得x 1＝45，x 2＝105，
∵240－2(x －30)＞200， ∴x ＜50.∴x ＝45.
答：若三班交了门票费9 450元，则该班参加春游的学生有45名．
北师大版九年级数学上册期末达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1. 下列方程中，不是一元二次方程的是( )
A.3y 2＋2y ＋1＝0
B.12x 2＝1－3x
C.110a 2－16a ＋2
3＝0 D ．x 2＋x －3＝x 2 2．如图放置的几何体的左视图是( )
3．下列命题为真命题的是( )
A ．四边相等的四边形是正方形
B ．对角线相等的四边形是菱形
C ．四个角相等的四边形是矩形
D ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4．若反比例函数y ＝k
x
的图象经过点(m ，3m )，其中m ≠0，则反比例函数的图象在( )
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限
5．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是
( ) A ．k ≤－2
B ．k ≤2
C ．k ≥2
D ．k ≤2且k ≠1
6．有三张正面分别标有数－2，3，4的不透明卡片，它们除数不同外，其他全部相同．现
将它们背面朝上洗匀后，从中任取两张，则抽取的两张卡片上的数之积为正偶数的概率是( ) A.4
9
B.1
12
C.13
D.16
7．如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DE∥AB，且CE：EB ＝2：3，则DE AB等于()
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．4：5
8．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB的中点，折叠该纸片使点C落在点C′处，且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的度数为()
A．30°B．40°C．45°D．60°
9．设△ABC的一边长为x，这条边上的高为y，y与x之间的反比例函数关系如图所示．当△ABC为等腰直角三角形时，x＋y的值为()
A．4 B．5 C．5或3 2 D．4或3 2
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，DE与BM相交于点N，EF⊥AC于点F，有以下结论：
①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE<S四边形BMFE；③CD·EN＝BN·BD；④AC＝2DF.
其中正确结论的数量是()
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分，共24分)
11．已知一元二次方程(m－2)x2－3x＋m2－4＝0的一个根为0，则m＝________.
12．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24 cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间带小孔的纸板应放在离蜡烛________的地方．
13．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有________个．
14．为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，y与x成正比例，燃烧完后y与x成反比例．现测得药物10 min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.当每立方米空气中含药量低于 1.6 mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过________min后教室内的空气才能达到安全要求．15．已知三角形纸片(△ABC)中，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线AC上，记为点B′，折痕为EF.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是________．
16．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中捕获10条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞100条鱼．如果在这100条鱼中有2条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条．
17．如图，以▱ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
顶点A ，C 的坐标分别为(2，4)，(3，0)，过点A 的反比例函数y ＝k
x 的图象交BC 于点D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是________．
18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E ，F ，G ，H 分别为
AD ，AB ，BC ，CD 的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为________． 三、解答题(19～22题每题8分，23，24题每题11分，25题12分，共66分) 19．解方程：
(1)x 2－6x －6＝0; (2)(x ＋2)(x ＋3)＝1.
20．已知关于x 的一元二次方程kx 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且满足(x 1＋x 2)2＋x 1·x 2＝3，求k 的值．
21．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除所标数字外其他完全相同，小明从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y.
(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率．
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，
y满足xy＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．若不公平，请写出公
平的游戏规则．
22．如图，九(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆DE的高度，已知直立在地面上的竹竿AB的长为3 m．某一时刻，测得竹竿AB在阳光下的投影BC的长为2 m.
(1)请你在图中画出此时旗杆DE在阳光下的投影，并写出画图步骤；
(2)在测量竹竿AB的影长时，同时测得旗杆DE在阳光下的影长为6 m，请你计算
旗杆DE的高度．
23．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，－2)，反
比例函数y ＝k
x 的图象经过点C ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过A ，C 两点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面
积，求点P 的坐标．
24．如图①，在正方形ABCD 中，P 是BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且P A
＝PE ，PE 交CD 于F . (1)求证：PC ＝PE ； (2)求∠CPE 的度数；
(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，
连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．
25．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 延长线上一点，E 是AC 上一点，DE 交
BC 于点F .
(1)如图①，若BD ＝CE ，求证：DF ＝EF .
(2)如图②，若BD ＝1
n CE ，试写出DF 和EF 之间的数量关系，并证明．
(3)如图③，在(2)的条件下，若点E 在CA 的延长线上，那么(2)中的结论还成立吗？
试证明．
答案
一、1.D 2.C 3.C
4．B 【点拨】把点(m ，3m )的坐标代入y ＝k
x ，得到k ＝3m 2，因为m ≠0，所以k >0.所以图象在第一、三象限． 5．D 6.C 7.B 8.C
9．D 【点拨】由题意得xy ＝4，当等腰直角三角形ABC 的斜边长为x 时，x ＝2y ，所以2y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝22，所以x ＋y ＝32；当等腰直角三角形ABC 的一条直角边长为x 时，x ＝y ，所以y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝2，所以x ＋y ＝4.故x ＋y 的值为4或3 2.故选D. 10．C 【点拨】设∠EDC ＝x ，则∠DEF ＝90°－x ，从而可得到∠DBE ＝∠DEB ＝180°－(90°－x )－45°＝45°＋x ，∠DBM ＝∠DBE －∠MBE ＝45°＋x －45°＝x ，从而可得到∠DBM ＝∠CDE ，所以①正确．
可证明△BDM ≌△DEF ，然后可证明S △DNB ＝S 四边形NMFE
，所以S △DNB ＋S △BNE ＝S
四边形NMFE
＋S △BNE ，即S △BDE ＝S 四边形BMFE .所以②错误．
可证明△DBC ∽△NEB ，所以CD BD ＝BN
EN
，即CD ·EN ＝BN ·BD .所以③正确．
由△BDM ≌△DEF ，可知DF ＝BM ，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM ＝1
2AC ，
所以DF ＝1
2AC ，即AC ＝2DF .所以④正确．故选C. 二、11.－2 12.8 cm
13．5 【点拨】综合左视图和主视图知，这个几何体有两层，底层最少有2＋1＝3(个)小正方体，第二层有2个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3＋2＝5(个)． 14．50 【点拨】设药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝k
x ，把点(10，8)的坐标
代入y ＝k x ，得8＝k 10，解得k ＝80，所以药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝80
x .当y ＝1.6时，由y ＝80
x 得x ＝50，所以从消毒开始，经过50 min 后教室内的空气才能达到安全要求． 15．4或40
13 16.500
17．9 【点拨】由题易知OC ＝3，点B 的坐标为(5，4)，▱ABCO 的面积为12.设直线
BC 对应的函数表达式为y ＝k ′x ＋b ，则⎩⎨⎧3k ′＋b ＝0，
5k ′＋b ＝4，
解得⎩
⎨⎧k ′＝2，b ＝－6.
∴直线BC 对应的函数表达式为y ＝2x －6.∵点A (2，4)在反比例函数y ＝k
x 的图象上，∴
k ＝8.∴反比例函数的表达式为y ＝8x .由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝2x －6，y ＝8x
解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－1，
y ＝－8
(舍去)．
∴点D 的坐标为(4，2)． ∴△ABD 的面积为12×2×3＝3. ∴四边形AOCD 的面积是9.
18．12 【点拨】易知EF ∥BD ∥HG ， 且EF ＝HG ＝1
2
BD ＝3，
EH ∥AC ∥GF 且EH ＝GF ＝1
2AC ＝4.
∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．
∴四边形EFGH 的面积＝EF ·EH ＝3×4＝12. 三、19.解：(1)x 2－6x －6＝0， x 2－6x ＋9＝ 15， (x －3)2＝ 15， x －3＝ ±15，
∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (2)(x ＋2)(x ＋3)＝1， x 2＋5x ＋6＝ 1， x 2＋5x ＋5＝ 0， ∵a ＝1，b ＝5，c ＝5，
∴b 2－4ac ＝52－4×1×5＝5. ∴x ＝－5±52.
∴x 1＝－5＋52，x 2＝－5－52
. 20．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12＋8k ＞0， ∴k ＞－18. 又∵k ≠0，
∴k 的取值范围是k ＞－1
8且k ≠0.
(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－1k ，x 1·x 2＝－2
k . ∵(x 1＋x 2)2＋x 1·x 2＝3，
∴⎝⎛⎭
⎫－1k 2
－2
k ＝3，即3k 2＋2k －1＝0， 解得k ＝1
3或k ＝－1. 由(1)得k ＞－1
8且k ≠0， ∴k ＝13.
21．解：(1)画树状图如图．
由树状图可知共有12种等可能的结果．
其中在函数y ＝－x ＋5的图象上的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， ∴点(x ，y )在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率为412＝1
3.
(2)不公平．理由：∵x ，y 满足xy ＞6的有(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种结果，x ，y 满足xy ＜6的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种结果， ∴P (小明胜)＝412＝1
3，
P (小红胜)＝612＝12
. ∵13≠12，∴游戏不公平．
公平的游戏规则为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(规则不唯一)
22．解：(1)如图，线段EF 就是此时旗杆DE 在阳光下的投影．
作法：连接AC ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BE 于点F ，则线段EF 即为所求．
(2)∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE .
又∠ABC ＝∠DEF ＝90°，
∴△ABC ∽△DEF .∴AB DE ＝BC EF .
∵AB ＝3 m ，BC ＝2 m ，EF ＝6 m ，
∴3DE ＝26
. ∴DE ＝9 m.
即旗杆DE 的高度为9 m.
23．解：(1)∵点A 的坐标为(0，1)，点B 的坐标为(0，－2)，
∴AB ＝1＋2＝3，即正方形ABCD 的边长为3，
∴点C 的坐标为(3，－2)．
将点C 的坐标代入y ＝k x
可得k ＝－6， ∴反比例函数的表达式为y ＝－6x .
将C (3，－2)，A (0，1)的坐标分别代入y ＝ax ＋b ，得⎩
⎨⎧3a ＋b ＝－2，b ＝1， 解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，
∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋1.
(2)设P ⎝⎛⎭
⎫t ，－6t ， ∵△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，
∴12×1×|t |＝3×3，解得t ＝±18.
∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫18，－13或⎝⎛⎭
⎫－18，13. 24．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .
又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP .
∴P A ＝PC .
又∵P A ＝PE ，∴PC ＝PE .
(2)解：由(1)知△ADP ≌△CDP ，
∴∠DAP ＝∠DCP .
∵P A ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E .
∴∠FCP ＝∠E .
又∵∠PFC ＝∠DFE ，∠EDF ＝90°，
∴∠CPE ＝∠EDF ＝90°.
(3)解：AP ＝CE .理由如下：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .
又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP .
∴P A ＝PC ，∠DAP ＝∠DCP .
又∵P A ＝PE ，
∴PC ＝PE ，∠DAP ＝∠DEP .
∴∠DCP ＝∠DEP .
又∵∠PFC ＝∠DFE ，
∴∠CPF ＝∠EDF .
∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，
∴∠ADC ＝120°.∴∠EDC ＝60°.
∴∠CPE ＝∠EDF ＝60°.
又∵PC ＝PE ，
∴△PCE 是等边三角形．
∴PE ＝CE .
又∵P A ＝PE ，∴AP ＝CE .
25．(1)证明：在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G ， 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG .
∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C .
∴∠EGC ＝∠C .∴EG ＝EC .
∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG .
又∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ，
∴△BFD ≌△GFE .∴DF ＝EF .
(2)解：DF ＝1n EF .
证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG . 同(1)可得EG ＝EC .
∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ，
∴△BFD ∽△GFE .∴BD EG ＝DF EF
. ∵BD ＝1n CE ＝1n
EG ， ∴DF ＝1n EF .
(3)解：成立．
证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G ， 则仍有EG ＝EC ，△BFD ∽△GFE .
∴BD EG ＝DF EF .
∵BD ＝1n CE ＝1n EG ，
∴DF ＝1n
EF .。