高二数学(人教版)选修4-5教案：第11课时 不等式的证明方法之——放缩法与贝努利不等式

课 题： 第11课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：
所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。

这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

二、典型例题：
例1、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n
Λ 证明：.,,4,3,2,1
11)1(112
n k k k k k k
ΛΘ
=--=-< ∴
n n n
⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112
222ΛΛ =)1
11()3121()2111(1
1n n --++-+-+Λ
=.21
2<-n
注意：实际上，我们在证明21
3121112222<++++n
Λ的过程中，已经得到一个更强
的结论n n
1
213121112222-<++++Λ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

例2、求证：.33211
3211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n ΛΛ
证明：由,21
2221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k ΛΛ（k 是大于2的自然数）
得n
⨯⨯⨯⨯+
+⨯⨯+⨯++ΛΛ3211
3211211111 .32132
11211121212121111132<-=--+
=++++++<--n n
n Λ
例3、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<
c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a
证：记m =c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a +++
++++++++
三、小结：
四、练习：
1、设n 为大于1的自然数，求证.2
121312111>+++++++n n n n Λ
2、设n 为自然数，求证.!
1
)122()52)(32)(12(n n n n n n ≥-----Λ
五、作业：
A 组
1、对于任何实数x ，求证：
（1）4312
≥
+-x x ；（2）.4
1112
≤--x x
2、设b a ≠，求证：
（1）)(232
2
b a b b a +>+；（2）).(462
2
4
2
2
4
b a ab b b a a +>++ 3、证明不等式3
344ab b a b a +≥+.
4、若c b a ,,都是正数，求证：.)())((2
22
2
3
3
3
c b a c b a c b a ++≥++++ 5、若,0>>>c b a 求证 .222b a c a c b c
b
a
c b a c
b a +++>
6、如果b a ,同号，且均不为0. 求证：
2≥+a
b
b a ，并指出等号成立的条件. 7、设
c b a ,,是互不相等的正数，求证：.3>-++-++-+c
c
b a b b a
c a a c b
8、已知三个正数c b a ,,的和是1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9. 9、若2
0πθ<
<，则2cos sin 1<+<θθ.
10、设+
∈R y x ,，且,1=+y x 求证：.9)1
1)(11(≥++
y
x 11、已知0≠x ，求证：（1）11122
>++x x ；（2）22
3
22>++x x .
12、设b a ,是互不相等的正数，求证：.81122>⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a a b b a a b
13、已知b a ,都是正数，求证：
（1）;9)1)(1(2
2
ab b a b a >++++（2）.9))((2
2
2
2
2
2
b a b a ab b a b a >++++ 14、已知,1,12
2
2
2
2
2
=++=++z y x c b a 求证：.1≤++cz by ax 15、已知,1,12
2
2
2
=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax
16、已知d c b a ,,,都是正数，且有2222,d c y b a x +=+=
求证：))((bc ad bd ac xy ++>
17、已知n a a a a Λ,,,321都是正数，且1321=⋅⋅⋅⋅n a a a a Λ，
求证：n
n a a a a 2)1()1)(1)(1(321≥++++Λ
18、设ABC ∆的三条边为,,,c b a 求证)(22
22ca bc ab c b a ca bc ab ++<++≤++.
19、已知y x b a ,,,都是正数，设.,,1ay bx v by ax u b a +=+==+ 求证：.xy uv ≥
20、设n 是自然数，利用放缩法证明不等式
.231312111<+++++++n
n n n Λ 21、若n 是大于1的自然数，试证.1
1131211121222n n
n -<+++<+-Λ
B 组
22、已知z y x c b a ,,,,,都是正数，且,c z b y a x <<求证：.c z
c b a z y x a x <++++< 23、设0>>b a ，试用反证法证明b
x a b x a -+sin sin 不能介于b a b a +-与b a b
a -+之间。

24、若n 是自然数，求证.47
131********<++++n
Λ
链接：放缩法与贝努利不等式
在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。

就是说，如果在和式e d c b a ++++里e d 和都是正数，可以舍掉e d 和，从而得到一个明显成立的不等式c b a e d c b a ++>++++.
例如，对于任何0>x 和任何正整数n ，由牛顿二项式定理可得
.3
21)2)(1(21)1(1)1(2
2n n
x x n n n x n n nx x ++⨯⨯--+⨯-+
+=+Λ
舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： nx x n
+>+1)1(. 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。

该不等式不
仅当n 是正整数的时候成立，而且当n 是任何大于1的有理数的时候也成立。

这就是著名的贝努利不等式。

在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1->x ，则在1>α或
0<α时，x x αα+≥+1)1(，在10≤≤α时，.1)1(x x αα+≤+
阅读材料：贝努利家族小史
在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli ）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。

其中，又以第一代的雅各布•贝努利（Jacob Bernoulli ，1654.12-1705.8）、
约翰•贝努利（Johann Bernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔•贝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，约翰•贝努利的儿子）最为著名。