简解二次曲线上的四点共圆问题
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． ．
Ｌ，
２
系数相等 ， 得 一
， 此时曲线（ １ ） 即
（ ２ ）
它 与椭 圆 ． ２ ７ ２ 一 一 的交 点 Ａ， Ｂ， ｃ， Ｄ 的坐
厶
ｚ ＋ｖ ０ ＋ｃ ＇ ｘ＂ ｑ － ｄ＇ ｙ＋ ｅ 一０
标 即方程 组
的形 式 ， 这 种形 式 表 示 的 曲线 有且 仅 有 ３种
６ ４
数学教学研 究
第３ ４卷第 ８期
２ ０ １ ５年 ８月
简解 二 次 曲线 上的 四点 共 圆 问题
甘志 国
（ 北京丰台二中 １ ０ ０ ０ ７ １ ）
竞赛题
． ．
（ ２ ０ １ ４ 年全国高中数学联赛湖
再结合 （ Ｉ） 的答案 知 ， 当 ＞ １ ２时， 点
Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ共圆（ 且在圆（ ＊） 上） ． 这道 竞赛题 的一般 情形 是二 次 曲线上 的 ４点共 圆 问题 ， 该 问题 的一 般结 论是 ： 定理 １ ） 若 两 条 二 次 曲线 口 ｚ 。 ＋ｂ ｙ ＋
题２ （ ２ ０ １ １ 年高考 全国大纲卷理科第
２ １ 题（ 文科 ２ ２题 ） ） 已知 ０为 坐标 原 点 ， Ｆ为
． ．
２
椭圆Ｃ ： 。 －普一１ ４ 在 轴正半轴上的焦点，
厶
必要性． 若４ 个交点共 圆， 则存在 ， 使方程
（ ３ ） 表示 圆 ， 所 以式 （ ３ ） 左 边 的展 开式 中含 ｘ ｙ 项 的系数 （ 以 １ ｂ ２ ＋ａ ２ ｂ １ ） 一０ ． 而 ≠ ０ （ 否 则 （ ３ ） 表 示 曲线 工 １ ， 不表 示 圆 ） ， 所 以
（ ｚ＋ ３ ） ０ ＋（ 一 ６ ） ＝４ ２ ＋３ ６ ．
２ ） 由ｚ ， ｚ ２ 组成 的曲线即
（ ｎ １ Ｘ＋６ １ ＋ ｃ １ ） （ ａ ｚ ｚ＋ ｂ ｚ ｙ＋ ｃ ２ ） 一０ ，
即 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ ４点必 在 圆（ ＊） 上．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ — ０ ４ — ２ ６
Ｃ Ｄ 组成 的曲线方 程 为
（ ｚ— ＋ １ ） （ ｚ＋ 一 ３ ） 一０ ，
式（ １ ） 左 边 的展开 式 中不含 ｘ ｙ的项 ， 选 ＝ ＝ ＝ １ 时， 再令 式 （ １ ） 左边 的展 开式 中含 。 ， Ｙ 。 项 的
，
一
即
Ｘ 一 － ２ ｘ ＋６ 一８ 一Ｏ ，
Ｄ瓣 点．
（ Ｉ） 确定 的取值范围；
（ １ Ｉ ） 试 判 断 Ａ， Ｂ， Ｃ ， Ｄ ４点 是 否 共 圆？
＋ 一Ｏ 有４ 个交点 ， 则这 ４ 个交点共 圆；
２ ） 若两 条 直 线 ｚ ： ａ ｉ ｘ＋ｂ Ｙ＋ Ｃ 一０ （ 一 １ ， ２ ） 与二 次 曲线 ｒ： ａ ｘ 。 ＋ｂ ｙ ＋∞ ＋ ｄ ｙ ＋ —
． ．
并说 明理 由．
简解
（ Ｉ ） 用点差法求得直线 Ａ Ｂ的方
２
Ｏ （ ａ ≠６ ） 有４ 个交点 ， 则这 ４ 个交点共圆的充
要条 件是 ａ １ ｂ ２ ＋ａ ２ ｂ １ ： ＝ ＝ Ｏ ；
３ ） 设 两条 直 线 ： Ｙ —Ｙ 。 一ｋ （ ｚ－ －Ｘ 。 ） （
程是 ｙ ＝ｘ ＋１ ， 由直 线 ＡＢ 与 双 曲线 ｚ 。 一
一
交 于不 同的两 点 ， 可得 ＞ 一 １ 且 ≠０ ．
得 直线 Ｃ Ｄ 的 方 程 是 Ｙ＝ ＝ ＝ 一ｚ＋ ３ ， 由直
． ．
一１ ， ２ ） 与 二 次 曲线 ｒ： Ａ ｘ ＋Ｂ ｙ ＋Ｃ ｘ ＋Ｄ ｙ ＋Ｅ＝０ （ Ａ≠ Ｂ） 有 ４个 交 点 ， 则 这 ４个 交 点 共 圆 的充 要条 件是 ｋ ＋忌 ｚ —Ｏ ． 证 明 １ ） 过这 ４个 交点 的二 次 曲线一定 能 表示成 以下 形式 （ ， 不 同时为 Ｏ ） ：
２ （ ａ ｘ。 ＋ｂ ｙ ＋ ＋ ｄ ｙ ＋Ｂ ） ＋ （ ｎ
＋６ ｖ 。 ＋ｃ ＋ ｖ＋ ８ ） 一Ｏ ． （ １ ）
２
线 ｃ Ｄ 与 双 曲线 ｚ。 一 一 交 于 不 同 的 两
厶
点， 可 得 ＞ 一９且 ≠０ ．
所以 的取值范围是（ 一１ ， Ｏ ） Ｕ（ Ｏ ， ＋。 。 ） ． （ １ ） 在（ 工） 的解答 中已求 出 ＡＢ ： ＿ ｚ — ＋１ ＝０ ， Ｃ Ｄ： ． ７ １ ７ ＋３ ， 一３ 一Ｏ ， 所 以由直线 Ａ Ｂ，
ｆ ３ ｘ 。 －３ ｙ 。 －６ ｘ ＋１ ２ 一９ —０ ，
ｌ ４ ｘ。 －２ ｙ 一４ ２
情形 ： 一个圆 ， 一个点 ， 无轨迹． 而题 中的 ４ 个 交点 都在 曲线 （ ２ ） 上， 所 以曲线 （ ２ ） 表示 圆． 这
就证 得 了 ４个 交点共 圆．
（＊）
的解 ， 把 这两 方程 相减 并整 理得
Ｃ Ｘ＋ｄ ｙ＋ ８ ＝０（ ｎ ≠６ ） ， 盘 ＋６ ｙ ＋Ｃ ＂ Ｘ＋ Ｙ
北赛区预赛第 １ ３ 题） 设 Ａ， Ｂ为双曲线 Ｘ 。 一
２
／ ． Ｊ
一 上 的两点 ， 点 Ｎ（ １ ， ２ ） 为线 段 ＡＢ 的 中
点， 线段 Ａ Ｂ的垂直平分线与双 曲线交于 Ｃ，
ａ ｌ ｂ ｚ －ａ ４ ２ ｂ １ 一Ｏ ．
过 Ｆ且斜率为 一√ ２ 的直线 ｚ 与 Ｃ交 于 Ａ， Ｂ
两Ｉ） 证明： 点 Ｐ在 Ｃ上 ； （ Ⅱ） 设 点 Ｐ关 于 点 Ｏ 的对 称 点 为 Ｑ， 证
第３ ４卷第 ８期
２ ０ １ ５年 ８月
数学教 学研 究
６ ５
所 以经 过 它与 ｒ的 ４个 交点 的二 次 曲线 一定 能表示 成 以下形 式 （ ， 不 同时为 Ｏ ） ：
Ａ （ ａ ｘ ＋ｂ ｙ 。 ＋Ｃ Ｘ４ －ｄ ｙ４ － ） ＋ （ 口 １ Ｘ ＋ｂ ｌ ＋ Ｃ １ ） （ ａ ２ ｘ４ －ｂ ｚ ｙ＋ Ｃ ２ ） 一Ｏ ． （ ３ ）
Ｌ，
２
系数相等 ， 得 一
， 此时曲线（ １ ） 即
（ ２ ）
它 与椭 圆 ． ２ ７ ２ 一 一 的交 点 Ａ， Ｂ， ｃ， Ｄ 的坐
厶
ｚ ＋ｖ ０ ＋ｃ ＇ ｘ＂ ｑ － ｄ＇ ｙ＋ ｅ 一０
标 即方程 组
的形 式 ， 这 种形 式 表 示 的 曲线 有且 仅 有 ３种
６ ４
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第３ ４卷第 ８期
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简解 二 次 曲线 上的 四点 共 圆 问题
甘志 国
（ 北京丰台二中 １ ０ ０ ０ ７ １ ）
竞赛题
． ．
（ ２ ０ １ ４ 年全国高中数学联赛湖
再结合 （ Ｉ） 的答案 知 ， 当 ＞ １ ２时， 点
Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ共圆（ 且在圆（ ＊） 上） ． 这道 竞赛题 的一般 情形 是二 次 曲线上 的 ４点共 圆 问题 ， 该 问题 的一 般结 论是 ： 定理 １ ） 若 两 条 二 次 曲线 口 ｚ 。 ＋ｂ ｙ ＋
题２ （ ２ ０ １ １ 年高考 全国大纲卷理科第
２ １ 题（ 文科 ２ ２题 ） ） 已知 ０为 坐标 原 点 ， Ｆ为
． ．
２
椭圆Ｃ ： 。 －普一１ ４ 在 轴正半轴上的焦点，
厶
必要性． 若４ 个交点共 圆， 则存在 ， 使方程
（ ３ ） 表示 圆 ， 所 以式 （ ３ ） 左 边 的展 开式 中含 ｘ ｙ 项 的系数 （ 以 １ ｂ ２ ＋ａ ２ ｂ １ ） 一０ ． 而 ≠ ０ （ 否 则 （ ３ ） 表 示 曲线 工 １ ， 不表 示 圆 ） ， 所 以
（ ｚ＋ ３ ） ０ ＋（ 一 ６ ） ＝４ ２ ＋３ ６ ．
２ ） 由ｚ ， ｚ ２ 组成 的曲线即
（ ｎ １ Ｘ＋６ １ ＋ ｃ １ ） （ ａ ｚ ｚ＋ ｂ ｚ ｙ＋ ｃ ２ ） 一０ ，
即 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ ４点必 在 圆（ ＊） 上．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ — ０ ４ — ２ ６
Ｃ Ｄ 组成 的曲线方 程 为
（ ｚ— ＋ １ ） （ ｚ＋ 一 ３ ） 一０ ，
式（ １ ） 左 边 的展开 式 中不含 ｘ ｙ的项 ， 选 ＝ ＝ ＝ １ 时， 再令 式 （ １ ） 左边 的展 开式 中含 。 ， Ｙ 。 项 的
，
一
即
Ｘ 一 － ２ ｘ ＋６ 一８ 一Ｏ ，
Ｄ瓣 点．
（ Ｉ） 确定 的取值范围；
（ １ Ｉ ） 试 判 断 Ａ， Ｂ， Ｃ ， Ｄ ４点 是 否 共 圆？
＋ 一Ｏ 有４ 个交点 ， 则这 ４ 个交点共 圆；
２ ） 若两 条 直 线 ｚ ： ａ ｉ ｘ＋ｂ Ｙ＋ Ｃ 一０ （ 一 １ ， ２ ） 与二 次 曲线 ｒ： ａ ｘ 。 ＋ｂ ｙ ＋∞ ＋ ｄ ｙ ＋ —
． ．
并说 明理 由．
简解
（ Ｉ ） 用点差法求得直线 Ａ Ｂ的方
２
Ｏ （ ａ ≠６ ） 有４ 个交点 ， 则这 ４ 个交点共圆的充
要条 件是 ａ １ ｂ ２ ＋ａ ２ ｂ １ ： ＝ ＝ Ｏ ；
３ ） 设 两条 直 线 ： Ｙ —Ｙ 。 一ｋ （ ｚ－ －Ｘ 。 ） （
程是 ｙ ＝ｘ ＋１ ， 由直 线 ＡＢ 与 双 曲线 ｚ 。 一
一
交 于不 同的两 点 ， 可得 ＞ 一 １ 且 ≠０ ．
得 直线 Ｃ Ｄ 的 方 程 是 Ｙ＝ ＝ ＝ 一ｚ＋ ３ ， 由直
． ．
一１ ， ２ ） 与 二 次 曲线 ｒ： Ａ ｘ ＋Ｂ ｙ ＋Ｃ ｘ ＋Ｄ ｙ ＋Ｅ＝０ （ Ａ≠ Ｂ） 有 ４个 交 点 ， 则 这 ４个 交 点 共 圆 的充 要条 件是 ｋ ＋忌 ｚ —Ｏ ． 证 明 １ ） 过这 ４个 交点 的二 次 曲线一定 能 表示成 以下 形式 （ ， 不 同时为 Ｏ ） ：
２ （ ａ ｘ。 ＋ｂ ｙ ＋ ＋ ｄ ｙ ＋Ｂ ） ＋ （ ｎ
＋６ ｖ 。 ＋ｃ ＋ ｖ＋ ８ ） 一Ｏ ． （ １ ）
２
线 ｃ Ｄ 与 双 曲线 ｚ。 一 一 交 于 不 同 的 两
厶
点， 可 得 ＞ 一９且 ≠０ ．
所以 的取值范围是（ 一１ ， Ｏ ） Ｕ（ Ｏ ， ＋。 。 ） ． （ １ ） 在（ 工） 的解答 中已求 出 ＡＢ ： ＿ ｚ — ＋１ ＝０ ， Ｃ Ｄ： ． ７ １ ７ ＋３ ， 一３ 一Ｏ ， 所 以由直线 Ａ Ｂ，
ｆ ３ ｘ 。 －３ ｙ 。 －６ ｘ ＋１ ２ 一９ —０ ，
ｌ ４ ｘ。 －２ ｙ 一４ ２
情形 ： 一个圆 ， 一个点 ， 无轨迹． 而题 中的 ４ 个 交点 都在 曲线 （ ２ ） 上， 所 以曲线 （ ２ ） 表示 圆． 这
就证 得 了 ４个 交点共 圆．
（＊）
的解 ， 把 这两 方程 相减 并整 理得
Ｃ Ｘ＋ｄ ｙ＋ ８ ＝０（ ｎ ≠６ ） ， 盘 ＋６ ｙ ＋Ｃ ＂ Ｘ＋ Ｙ
北赛区预赛第 １ ３ 题） 设 Ａ， Ｂ为双曲线 Ｘ 。 一
２
／ ． Ｊ
一 上 的两点 ， 点 Ｎ（ １ ， ２ ） 为线 段 ＡＢ 的 中
点， 线段 Ａ Ｂ的垂直平分线与双 曲线交于 Ｃ，
ａ ｌ ｂ ｚ －ａ ４ ２ ｂ １ 一Ｏ ．
过 Ｆ且斜率为 一√ ２ 的直线 ｚ 与 Ｃ交 于 Ａ， Ｂ
两Ｉ） 证明： 点 Ｐ在 Ｃ上 ； （ Ⅱ） 设 点 Ｐ关 于 点 Ｏ 的对 称 点 为 Ｑ， 证
第３ ４卷第 ８期
２ ０ １ ５年 ８月
数学教 学研 究
６ ５
所 以经 过 它与 ｒ的 ４个 交点 的二 次 曲线 一定 能表示 成 以下形 式 （ ， 不 同时为 Ｏ ） ：
Ａ （ ａ ｘ ＋ｂ ｙ 。 ＋Ｃ Ｘ４ －ｄ ｙ４ － ） ＋ （ 口 １ Ｘ ＋ｂ ｌ ＋ Ｃ １ ） （ ａ ２ ｘ４ －ｂ ｚ ｙ＋ Ｃ ２ ） 一Ｏ ． （ ３ ）