14.不等式恒成立

第十四讲：不等式恒成立问题
1．()()()f x g a ≥或≤，求参
（1）若x ∀∈R ，不等式21
21222
x x a a -++++≥恒成立，则a ∈_________．
（2）已知函数()2,01
1sin ,13236x x x f x x x ππ⎧-+<⎪
=⎨⎛⎫
-< ⎪⎪⎝⎭⎩
≤≤，若x ∀∈R ，不等式()212f x m m -≤恒成立， 则实数m 的取值范围是_________．
（3）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()222f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，
()()
[]2,0,11,1,2x x x f x x x
⎧-∈⎪
=⎨∈⎪
⎩．若(]0,4x ∀∈，不等式()2732t t f x t --≤≤恒成立，则t ∈________．
1．若x ∀∈R ，不等式2412log x x a -+-≥恒成立，则a ∈_________．
2．已知函数()233,11,1
2x
x x x f x x ⎧++-⎪
=⎨
⎛⎫<-⎪ ⎪⎝⎭
⎩
≥，若x ∀∈R ，不等式()2f x m m >-恒成立，则实数m
的取值范围是_________．
3．已知函数()()2,0
1
,0x a x f x x a x x ⎧-⎪
=⎨++>⎪
⎩
≤，若x ∀∈R ，不等式()()0f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．
4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，
()[)[)2 1.5
,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪
⎝⎭⎩
，若[)4,2x ∀∈--，不等式()1
42t f x t -≥成立，则t ∈________．
2．参变分离
【示例1】已知()21f x x =-，不等式()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤在区间上3,2⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是_________．
【例2】
（1）已知()1,x ∀∈+∞，不等式2
201
x m x ++>-恒成立，则m 的取值范围是__________．
（2）若()0,x ∀∈+∞，不等式2211110a x x a x x ⎛
⎫⎛⎫+-++> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭恒成立，则a ∈_________．
（3）已知()2f x x =，若()()()22431a f x a f x f x ⋅++≤在区间[)1,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
（4）已知函数()()2x f x x =∈R ，可以表示为一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，若[]2,3x ∀∈，不等式()()20a g x h x ⋅+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．（选讲）
练习2：
1．若(]0,2x ∀∈，不等式2210x ax -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．
2．若[]2,6x ∀∈，不等式()23110ax a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．
3．关于x 的不等式144x x a
+>在区间[]1,2上恒成立，则a ∈_________．
4．已知()()232,2log 1,2
x x f x x x -⎧<⎪
=⎨-⎪⎩≥，若x ∀∈R ，不等式()()241a f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a
的最小值是_________．
5．已知函数()1
f x x x
=-
，若(]0,1x ∀∈，不等式()221x x t f ⋅-≥恒成立，则实数t 的取值范围是_________．（选做）
【示例2】已知a ∈R ，函数()2222,0
22,0
x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩≤，若[)3,x ∀∈-+∞，若不等式
()f x x ≤在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
【例3】已知函数()20
4,0x f x x x x >=-⎪⎩
≤，若不等式()1f x ax -≥恒成立，则a ∈_________．
练习3：
1．已知函数(
)01
1,1
x f x x x
⎧⎪
=⎨>⎪⎩≤≤，若关于x 的不等式()14f x x a -+≥在区间[)0,+∞上恒
成立，则实数a 的取值范围是__________．
2．若x ∀∈R ，不等式23
324
x ax x --≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．
3．已知a ∈R ，设函数()222,1
ln ,1
x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩≤．若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒
成立，则实数a 的取值范围是__________．
2．含参讨论
2.1 单调函数
【例4】
（1）若[]1,2x ∀∈-，不等式20ax +>恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
（2）已知[]1,1a ∀∈-，不等式()24240x a x a +--+>恒成立，则x ∈__________．
（3）若函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间()0,a 上恒有()0f x >成立，则实数a 的取值范围是__________． 练习4：
1．已知1,42a ⎛⎫
∀∈ ⎪⎝⎭
，不等式2log 10a x a +->恒成立，则x 的取值范围是_________．
2．若1,32m ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，则x 的取值范围是__________．
3．若[]1,1
a
∀∈-，不等式2
21
x ax a
->-恒成立，则实数x的取值范围是_________．
4．若
1
0,
3
x
⎛⎫
∀∈ ⎪
⎝⎭
，不等式32log1
x
a
x+
≤恒成立，则实数a的取值范围是_________．（选做）
2.2 非单调函数
【例5】
（2）已知函数()21f x x x =+-，若x ∀∈R ，不等式()()21f x m x +-≥恒成立，则实数m 的取值范围是_________．
（2）已知()f x 是R 上的奇函数，当0x <时，()()2
97a f x x a x
=++∈R ，当[)0,x ∈+∞时，
不等式()1f x a +≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．（选讲） 练习5：
1．若()0,x ∀∈+∞，不等式2
2944a x a x
+-≥恒成立，则a ∈_________．
2．已知函数()()f x x x a a a =--∈R ，若[]3,5x ∀∈，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．
3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x >时，()2
1m f x x x
=+-，若(],0x ∀∈-∞，
不等式()2f x m -≤恒成立，则实数m 的取值范围是_________．（选做）
3．任意与存在问题 3.1 1x A ∀∈，2x D ∃∈ 展现条件 示例图形 不等式转化
()()12f x g x ≥
()()()1min min f x g x f x c →≥≥
()()12f x g x ≤
()()()2max max f x g x f x c →≤≤
()()12f x g x =
()()()()()()1
min min 2max max f x g x f x c f x g x f x c ⎧⎧⎪⎪→⎨⎨
⎪⎪⎩⎩
≥≥≤≤ 答题步骤
①．分析()f x 和()g x 之间最值的关系；
当()()12f x g x =时，需分析值域之间的关系； ②．转化为不等式恒成立问题处理．
问题难点 ①．求确定函数的最值； ②．处理不等式恒成立问题
【例6】
（1）已知函数()4
3f x x x
=+
-，()2g x kx =+，若()11,4x ∀∈，[]21,2x ∃∈-． ①．若()()12g x f x >，则k ∈__________． ②．若()()12g x f x <，则k ∈__________．
（2）已知函数()2124,0,411log 3,,124x x f x x x ⎧⎡⎤
-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦
=⎨⎛⎤
⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()2232g x x a x a =--，若[]10,1x ∀∈，
[]20,1x ∃∈，使得()()21f x g x =成立，则a 的最大值为_________．
（3）已知函数()221
x
f x x =
+，()()520g x ax a a =+->，若1x ∀∈R ，[]20,1x ∃∈，使得方程()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________．
练习6：
1．已知函数()1
2
f x x k =
-，()13g x x x =-+-．若[]10,2x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12g x f x =成立，则实数k 的取值范围是_________．
2．已知函数()21f x x =-，()232g x ax a =-+．若[]10,1x ∀∈，21,22x ⎡⎤
∃∈⎢⎥⎣⎦
，使得不等式
()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是__________．
3．已知函数()[)1,2,112,1,211,,22x x x f x x x x x ⎧+∈--⎪
⎪⎪⎡⎫
=-∈-⎨⎪⎢⎣⎭⎪
⎪⎡⎤-∈⎪⎢⎥
⎣⎦⎩
，设函数()2g x ax =-，若[]12,2x ∀∈-，[]02,2x ∃∈-，
使得()()01g x f x =成立，则a ∈__________．
4．已知函数()1
1
f x x x =-
+，()224g x x ax =-+，若[]10,1x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得不等式()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________．
3.2 双任意及双存在问题 I ．1x A ∀∈，2x D ∀∈
展现条件 示例图形 不等式转化
()()12f x g x ≥
()()()1min max f x g x f x c →≥≥
()()12f x g x ≤
()()()2max min f x g x f x c →≤≤
()()12f x g x =
()()()()()()1
min min 2max max f x g x f x c f x g x f x c =⎧⎧=⎪⎪→⎨⎨
==⎪⎪⎩⎩
II ．1x A ∃∈，2x D ∃∈
展现条件 示例图形 不等式转化 ()()12f x g x ≥
()()max min f x g x ≥
()()12f x g x ≤
()()min max f x g x ≤
()()12f x g x =
()()()()max min
min
max f x g x f x g x ⎧⎪⎨
⎪⎩≥≤（交集非空） 【例7】
（1）已知函数()21
3,1
log ,1x x x f x x x ⎧-+⎪
=⎨>⎪⎩
≤，()1g x x k x =-+-，若12x x ∀∈R 、，不等式
()()12f x g x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是_________．
（2）已知函数()()sin
2336
f x a x a a π
=-+>，()2
22
x
g x x x =
++，若存在[]120,1x x ∈、，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________．
（3）已知函数()2,1
37,1x ax x f x ax x ⎧-+=⎨->⎩
≤，若存在12x x ∈R 、且12x x ≠，使()()12f x f x =成立，
则实数a 的取值范围是_________．
（4）已知函数()f x 的定义域为D ，若c D ∃∈，使得12x x D ∀∈、，c =称()f x 为D 上的“c 平均函数”，已知()[]3,1,2f x x x =∈，若()f x 是区间[]1,2上的“c 平均函数”，则实数c 的值为_________．
（5）已知函数()[]2ln ,0,1x f x a x x a x =+-∈，若[]120,1x x ∀∈、，不等式()()121f x f x a --≤恒成立，则实数a 的取值范围是_________．
4．运用图像解含参不等式
问题描述 已知()0f x ≥（解析式中含参数a ），将不等式分离为()()g x h x ≥（其中
一个含参，另一个不含参）
，则()g x 的图像在()h x 图像的上方．为了便于讨论，下面所有的讲解中，()h x 含参数，()g x 不含参数．
分离函数 I ．()()()h x kx b
h x kx b h x k x b
⎧=+⎪
=+⎨⎪
=+⎩（一次函数模型）
II ．()()h x g x a =±（左右平移模型）
备注 在处理这种问题时，需保证两点：①．将不等式分离成一个含参及一个不含参的函数；②．需保证不含参函数的图像比较“好画”．
4.1 一次函数模型问题
问题描述 所分离的含参函数()h x 为一次函数或含绝对值的一次式，求参数取值范围
图形变换
I ．()h x 过定点，旋转变换（k 未知） II ．()h x 平移变换（b 未知）
答题步骤
①．不等式分离成()()()g x h x ≥或≤，注意()h x 需分离成含参一次函数； ②．画出()g x （确定函数）的图像；
③．旋转（或平移）()h x ，确定临界情况（一般为相切时）； ④．求出临界值（求导或用0∆=），写出参数取值范围．
【示例3】已知函数()ln f x x =，若(]0,x e ∀∈，不等式()()()11f x f c x --≥恒成立，则实数c 的取值范围是_________．
解：()10f =，则()()1f x c x -≥可得()f x 的图像在
()()1g x c x =-图像的上方
I ．确定函数及其图像高低关系．()g x 过点()1,0旋转．
画出()()[]
ln ,0,1ln ,1,x x f x x x e ⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩的图像，且()g x 恒过()1,0点 II ．画出()f x 图像，旋转
()g x 找临界．
①．若()y g x =在()0,1上满足()()g x f x ≤恒成立，则临
界情况为()g x 与()f x 相切于点()1,0； 此时()1
f x x
'=-，则()11c f '==-；
∴当()0,1x ∈时，()()g x f x ≤可得1c -≥；
②．若()y g x =在[]1,e 上满足()()g x f x ≤恒成立，则临
界情况为11
c e =
- ∴当[]1,x e ∈时，()()g x f x ≤可得11
c e -≤ III ．分段分析临界情况，
并分别求出对应的c 的取值范围．
综上，11,1c e ⎡
⎤∈-⎢⎥-⎣⎦
IV ．求出c 的范围
【例8】
（1）已知()1f x x =-，若x ∀∈R ，不等式()1f x ax -≥恒成立，则a ∈_________．
（2）若x ∀∈R ，不等式()24a x x x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．
（3）已知函数()1,1
2
,1
x x f x x x x ⎧+<⎪
=⎨+⎪⎩
≥．设a ∈R ，若关于x 的不等式()2x f x a +≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
（4）已知函数()()121x f x x e mx +=++，若有且仅有两个整数使得()0f x ≤，则实数m 的取值范围是__________．（选讲） 练习8：
1．已知函数()()22
log 1,02,0
x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨-+⎪⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围是_________．
2．已知函数()2,04,0
x f x x x x ⎧>⎪
=⎨-⎪⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()1f x ax -≥恒成立，则a ∈______．
3．已知()23,0
32,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩
≤，若[]1,1x ∀∈-，不等式()f x ax >恒成立，则实数a 的取值范
围是_________．
4．若[)0,x ∃∈+∞，使得不等式242x x m --≤成立，则实数m 的取值范围是_________．
5．已知(]0,1x ∀∈，函数()2f x x x a =--的值恒为负值，则实数a 的取值范围是_______．
6．已知函数()23,1
2
,1
x x x f x x x x ⎧-+⎪
=⎨+>⎪⎩
≤．设a ∈R ，若关于x 的不等式()2x f x a +≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
7．若关于x 的不等式20x xe ax a -+<的非空解集中无整数解，则a ∈_________．
4.2 原函数平移问题（选讲） 问题描述 不等式()()()f x t f x +≤或≥在指定区间A 上恒成立，求参数取值范围．
需要注意的是，参数即有可能在解析式中，也有可能为平移幅度（即t ）
示例图像
核心思想 这类问题解决的关键在于找“特定点”．图像平移，图形形态不变．只需找
出平移的临界点及其坐标（一般为横坐标）即可求解．
核心步骤 ①．画出原函数()f x 的图像，并确定平移方向；
②．将()f x 平移至满足()()()f x t f x +≤或≥；
③．确认临界点，并求出该点横坐标；
④．求出参数取值范围．
【例9】
（1）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221232f x x a x a a =-+--，若x ∀∈R ，不等式()()1f x f x -≤，则实数a 的取值范围是_________．
（2）已知函数()()1f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A ，若 11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦
, 则实数a 的取值范围是_________．（选讲）
练习9：
1．定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()()32ln 1x f x e x x =+++，若()1,x ∀∈-+∞， 不等式()()f x t f x +>恒成立，则实数t 的取值范围是_________．
2．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数t ，使得()x M M D ∀∈⊆，都有x t D +∈且()()f x t f x +≥，则称()f x 为M 上的“t 高调函数”，若()()()210f x x x =-≥是[)0,+∞上的“m 高调函数”，则实数m 的取值范围是_________．
3．已知函数()2,0,0x x f x ax x x -⎧=⎨+>⎩
≤，若x ∀∈R ，不等式()()1f x f x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．。