高等数学2_习题集(含答案)

《高等数学2》课程习题集
【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题1
1. 计算 行列式614
230
21510
3212
1----=D 的值。

2. 计算行列式5241
421
3183
20521
------=D 的值。

3.
用范德蒙行列式计算4阶行列式125
34327641549916
573
4
1111
4--=D 的值。

4. 已知2333231232221
131211
=a a a a a a a a a ， 计算：33
3231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。

5.
计算行列式 0
1111011
11011110
=D 的值。

6. 计算行列式1998
199819971996199519941993
19921991 的值．
7. 计算行列式500
0706
1102948023
---=D 的值． 8. 计算行列式3214
214
3143
2432
1=D 的值。

9. 已知10333222
111
=c b a c b a c b a ，求222
111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式x
a a a x a a a x
D n
=的值。

11.
设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。

12.
求⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．
13.
设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。

14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。

15. 求⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。

16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=2300120000230014A 的逆。

17. 求⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。

18.
求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1010122
11A 的逆．
19. 求矩阵112235324-
⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
A 的逆。

20. 设矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=14011313021512012211A ，求矩阵A 的秩R (A )。

21.
求向量组4321,αααα,,的秩，其中，)1,0,1(1-=α，)1,3,2(2-=α，
)1,1,2(3-=α，
)4,2,3(4-=α。

22. 求矩阵111111232250-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
A 的秩。

23. 求矩阵110100111101102211011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的秩。

24.
求矩阵A=1000
101010
11110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
的秩。

25. 求矩阵A=203143542715201⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
的秩。

26. 求矩阵A=1100011000111
001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
的秩。

27. 求向量组α1、α2、α3的秩，并求一个最大无关组。

其中α1=（1，2，-1，4）T ，α2=（9，100，10，4）T ，α3
=（-2，-4，2，-8）T 。

28.
求向量组α1、α2、α3的秩，并求一个最大无关组。

其中α1=（1，2，1，3）T ，α2=（4，-1，-5，-6）T ，α3=（1，-3，-4，-7）T 。

29. 判断向量)3,2,1(1=α，)6,5,4(2=α，)9,8,7(3=α是否线性相关．
30. 给定 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==200101111231021)(Ab A
问：该线性方程组几个方程，几个未知量？写出原方程组．
31. 试判别二次型
32212221
321442),,(x x x x x x x x x f --+= 是否正定．
32. 计算排列3 2 1 4 5和3 4 1 2 5的逆序数，并说明奇偶性。

33. 求满足下列等式的矩阵X ．
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3113342113112X
34. A 为任一方阵，证明T A A +，T AA 均为对称阵．
35. 设三阶行列式为
2
310211
01--=D
求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．
36. 设矩阵
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212321A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=103110021B 求AB ．
37. 已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121311A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=212211033211B 求T )(AB 和T T A B
38. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011220111A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=121111B
39. 把向量β用1α，2α，3α表出．
其中)2,3,1(1=α，)1,2,3(2=α，)1,5,2(3--=α，)3,11,4(=β
40. 已知 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛011012c b d c b a ，求d c b a ,,,的值。

41.
设向量组1β，2β，3β可由向量组1α，2α，3α线性表示。

⎪⎩⎪⎨⎧++-=-+=+-=3213
32123211αααβαααβαααβ
试将向量1α，2α，3α 由 1β，2β，3β线性表示。

42. 证明：
1、若1α，2α，3α 线性无关，则21αα+，32αα+，13αα+线性无关。

2、若1α，2α，3α，4α线性无关，则
21αα+，32αα+，43αα+，14αα+线性相关。

43. 求j i ,使1425j i 为偶排列。

44. 判断向量)032(1,,=α，)041(2,,-=α，)200(3,,=α是否线性相关。

45. 解矩阵方程B AX =，其中
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=342263352A ， ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=413B
46. 设A 的特征值为2,121=-=λλ，对应的特征向量分别为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101121αα,， 求A ，100A ．
47. 写出四阶行列式中带有负号并含有因子24a 的项。

48. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=4211B ，求2A ，2B ，22B A -，))((B A B A -+。

49. 求与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1101可交换的一切矩阵。

50. 当)(=λ时，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+020020332
14131x x x x x x x x λλ 有非零解。

51. 证明：若方阵A 与B 相似，则有B A =。

52. 求排列)2(24)12(13n n -的逆序数。

53. 写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项。

54. 若A 为n 阶方阵且E AA =T ，证明1-=A 或1。

55. 解矩阵方程B AX =，其中
120121312-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 142
513-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
B
56. 已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212
12121A ，验证A A =2。

57. 求向量组
)4321(1,,,=α，)8642(2,,,=α，)12963(3,,,=α
的一个极大无关组．
58. 求i ，j 使8i 351j 27为奇排列。

59. 设A ，B ，C 表示三个随机事件，试将下列事件用A ，B ，C 表示出来。

(1) A 出现，B 、C 不出现；
(2) A 、B 都出现，而C 不出现；
(3) 所有三个事件都出现；
(4) 三个事件中至少一个出现；
(5) 三个事件中至少两个出现；
(6) 三个事件都不出现；
(7) 不多于一个事件出现；
(8) 不多于两个事件出现；
(9) 恰有一个事件出现。

60. 袋内有5个白球与3个黑球。

从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

61. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。

加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。

62. 在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。

设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B 为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C 为“抽得一张标号为奇数的卡片”。

试用样本点表示下列事件：
(1)AB ；（2）A+B ；（3）B ；（4）A-B ；（5）BC ；（6）C B +
63. 袋中有6只形状大小轻重完全一样，但颜色不同的乒乓球，其中4只是白色，2只是红色，问从袋中任取一只是白球的概率为多少？
64. 写出下列随机试验的样本空间：
1. 一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；
2. 对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；
3. 二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况；
4. 袋中装有5只白球，2只红球，采用有放回抽样，每次抽一只，记录首次抽到红
球时，抽球的次数。

65. 任意把6只手表放在货柜架上，求其中指定的二只被放在一起的概率是多少？
66. 计算下列各题：
1. 二人独立去破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为4
1,51，求能将此密码破译的概率为多少？
2. 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任意一时刻是等可能
的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

67. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

1、A 发生，B 与C 不发生；
2、A ，B ，C 都发生；
3、A ，B ，C 中不多于一个发生。

68. 某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0），每个数字可从0，1，2，…，9中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。

69. 写出下列随机试验的样本空间：
①一袋里有四个球,它们分别标号1,2,3,4。

从袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球,记录两次取球的结果。

②将①的取球方式改为第一次取球后放回袋中再作第二次取球,记录两次取球的结果。

③将①的取球方式改为一次从袋中任取两个球,记录取球的结果。

70. 同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1，2，3，4，5，6），观察它们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。

71. 某人坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4。

如果他坐火车来，迟到的概率是0.25；坐船来，迟到的概率为0.3；坐汽车来，迟到的概率是0.1；坐飞机来，则不会迟到（迟到的概率为0）。

现在这人迟到了，推测他坐哪种交通工具来的可能性大。

72. 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙命中目标。

试用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件：
（1）至少有一人命中目标
（2）恰有一人命中目标
（3）恰有二人命中目标
（4）最多有一人命中目标
（5）三人均命中目标
73. 一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。

74. 设A ，B ，C 是三事件，且()()()14P A P B P C ===，()()0P AB P BC ==，()18P AC =，A ，B ，C 至少一个发生的概率。

75. 有两箱同种类的零件。

第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。

今从两箱中任挑处一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。

求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。

（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

76. 一本500页的书，印刷上共有500个错字，每个错字可能出现在每一页上，试求在指定的一页上至少有3个错字的概率。

77. 若K 为服从[0，5]上均匀分布的一个随机变量，求方程0
2442=+++K Kx x 的两个根都为实根的概率。

78. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-000)(22x x Be
A x F x
求（1）系数A 及B ；（2）X 的概率密度f(x)；（3）X 的取值落在（1，2）内的概率。

79. 假设X 是连续随机变量，其密度函数为
2,02()0,cx x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他
求：（1）c 的值；（2）(11)P X -<<
80. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++，
求常数Ａ，Ｂ，Ｃ(),()x y -∞<<+∞-∞<<+∞．
81. 设随机变量X 的分布函数为
0,1()ln ,11,X x F x x x e x e ⎧<⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
（1） 求{2},{03},{252}P X P X P X <<≤<<；（2）求概率密度()X f x
82. 设Ｘ服从参数为λ的指数分布，即Ｘ有密度函数
,0()0,
x
e x
f x λλ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他
求：2
E X E X （），（）。

83. 搜索沉船，在时间t 内发现沉船的概率为1t e λ--（λ>0），求为了发现沉船所需的
平均搜索时间。

84. 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电
量多少是相互独立的。

求：
（1）同一时刻有8100户以上用电的概率；
（2）若每户用电功率为100W ，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？
85. 设X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>≤=-0
2
2)(x e x e x f x
x ，试求|X|的数学期望。

*X =
称为对随机变量X 的标准化
86.
随机变量，求)()(*
*
X D X E 及。

87. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-≤≤-+=其它0101011)(x x x x x f ，求E(X)，D(X)。

88. 某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态
分布。

今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。

为判断这种想法是否合乎实际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s 2
=7200（小时2
）。

问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02）?
（查表见后面的附表）
概率论与数理统计附表
χ2
分布部分表
常用抽样分布
)1,0(~N n
X U σμ
-=
)1(~/--=n t n
S X T μ
)1(~)1(22
2
2
--=
n S n χσχ
89. 已知X~B(n,p)，试求参数n,p 的矩法估计值。

（查表见后面的附表）
概率论与数理统计附表 标准正态分布部分表
2
常用抽样分布
)1,0(~N n
X U σμ
-=
)1(~/--=n t n
S X T μ
)1(~)1(22
2
2
--=
n S n χσ
χ
90. 某种电子元件的寿命x （以小时计）服从正态分布，μ,σ2均未知，现测得16只元件，其样本均值为5.241=x ，样本标准方差为S=98.7259。

问是否有理由认为元件的
平均寿命大于225（小时）？
常用抽样分布
)1,0(~N n
X U σμ
-=
)1(~/--=n t n
S X T μ
)1(~)1(22
2
2
--=
n S n χσχ
91. 某种工件长度服从正态分布，总体均值为2000毫米。

从一批这种工件中抽取25
根，测得工件长度的样本均值为1920=x 毫米，样本标准差s=150毫米，检验这批工件是否合格（a=0.01）。

部分数值表函数dt e
x x
t ⎰∞
--
=
Φ2
2
21
)(π
对应于概率a t t P a =≥)(及自由度n 的t a 数值表 常用的统计量
n
x U /σμ
-=
n
s x T /
μ-=
92. 求总体分布密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其它00)(2
)(2λλλx x x f
n X X X ,,,21 为一组样本，求参数λ的矩法估计，并分析估计值的无偏性是“无偏
的”还是“有偏的”。

93. 一计算机网络中有300台计算机，每台计算机在网络上传输信息占用带宽为10MB
（兆字节），各台计算机传输信息为相互独立的，并且对线路占有率为0.08。

现要多
宽频带（MB ）传输线路，才能保证各台计算机在传输信息时使用率达到0.95（计算结果保留整数）。

部分数值表函数dt e
x x
t ⎰∞
--
=
Φ2
2
21
)(π
对应于概率a t t P a =≥)(及自由度n 的t a 数值表 常用的统计量
n
x U /σμ
-=
n
s x T /
μ-=
94. 设有一批产品。

为估计其废品率p ，随机取一样本X 1，X 2，…，X n ，其中
⎩⎨
⎧=取得废品
取得合格品
10i X （i=1,2,…,n） 则∑===n
i i X n X p
1
1ˆ是p 的一致无偏估计量。

95. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。

现在测了
五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。

问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）
常用抽样分布
)1,0(~N n
X U σμ
-=
)1(~/--=
n t n
S X T μ )1(~)1(22
2
2
--=
n S n χσχ
96. 设21,,N n X X μσ⋅⋅⋅是来自（，）的样本，求2
μσ，的最大似然估计。

97. 设总体X 在[a,b]上服从均匀分布
⎪⎩⎪
⎨⎧∉∈-=]
,[0
],[1
),,(b a x b a x a
b b a x f ，试求参数a,b 的矩法估计量。

二、计算题2
98. 设f (x )为x 的三次多项式，已知0)0(=f ,1)1(-=f ，4)2(=f ，1)1(=-f ，求)(x f 。

99. 求线性方程组的解：⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=-+-=+-22133232321321x x x x x x x x
100. 求解下列线性方程组：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-+--=++-+=++-+4
326362422
32543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x
101. 当a 、b 为何值时，线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+++=+++=-+++=++++2
334562203235432154325
432154321x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x 有解，当其有解时，求出其全部解。

102. 求解齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=+-+=+-+0
750532025242143214321x x x x x x x x x x x
103. 求解下列线性方程组：
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=++++=++++=++++---1
1
113221
1
232222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x 其中，j i a a ≠ ()n j i j i ,,,,, 21=≠.
104. 求解齐次线性方程组
1234123412340253207730
x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪
-++=⎨⎪-++=⎩ 105. 求解齐次线性方程组
5123451234512
342355043035670
x x x x x x x x x x x x x x x +++-=⎧⎪
+++-=⎨⎪+++-=⎩
106. 求非齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=--+=+--6
222531431
43214321x x x x x x x x x x x 的通解。

107. 求解非齐次线性方程组
123412341
234245373642748171121
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-++=⎨⎪-++=⎩ 108. 求⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=312130112A 的特征值与特征向量．
109. 求方阵 ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=111202224A 的特征值和相应的特征向量。

110. 求方阵 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=111131111A 的特征值和相应的特征向量。

111. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵。

222
131231231223(,,)22448f x x x x x x x x x x x x =---++
112. 设矩阵
011A 101110-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
求A 的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P ．
113. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵。

32212
221
321442),,(x x x x x x x x x f --+= 114. 设矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=211110101A
求A 的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P 。

答案
一、计算题1 1. 解：
2.解：
3.解：
对照范德蒙行列式，此处
a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5 所以有
4.解：原式=
111213
212223
313233
1010220
a a a
a a a
a a a
=⨯=
5.解：
6.解：对于行列式，使用性质进行计算。

有 1998
199819971996199519941993
19921991（第3列减第2列）
1
199819971199519941
19921991=（第2列减第1列） 1
119971119941
11991=（由于2，3列对应相等） =0
7. 解：因为第三列中有三个零元素，按第三列展开，得：
=D 2*（-1）2+3
5
761823
--
对于上面的三阶行列是，按第三行展开，得：
=D -2*5*（-1）3+3
32
16
-=-200
8. 解
3
21421431
43210101010=
D （第2行乘以1加到第1行，第3行乘以1加到第1行，第4行乘以1加到第1行）
3
21421431432111110⨯
=（第1行乘（-2）加到第2行，第1行乘以（-3）加到第3行，第1
行乘以（-4）加到第4行）
1
23012101
210111110------⨯
=（第2行乘以（-1）加到第3行，第2行乘以3加到第4行） 440004
001210111110---⨯
=（第3行乘以1加到第4行）
4
004
001210111110---⨯
=
)4()4(1110-⨯-⨯⨯⨯==160
9. 解：
222
111333c b a c b a c b a
22
2333
111c b a c b a c b a -=
3
3
3
222
111
2)1(c b a c b a c b a = 10=
10. 解：
x
a
a a
x
a
a a x D n =
（把其它列都加到第1列） x
a
n a x a x n a x a a n a x
)
1()1()1(-+-+-+=
x
a
a
x
a a n a x 11
1))
1((-+=(第1行减去其它行) a
x a x a a n a x ---+=
01
))
1((
1)))(1((---+=n a x n a x
11. 解：
=1
=2
于是
12.解：
13.证：因为A可逆，所以|A|≠0，
且
于是有 A*=|A|A-1
对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得|A*|=||A|A-1| =|A|n|A-1|
又因
|A-1|≠0 （∵A可逆，由定义知A-1可逆）
∴|A*|≠0
所以A*是可逆的．
再由（1）式，即
可知
14.解：
令，于是
则
用伴随矩阵极易写出15.解：利用初等变换法
()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----=100461010351001341E A
……
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→121100011010322001 所以⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-1210113221
A
16. 解：可以利用分块矩阵的性质来求，
取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23141A ， ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=23122A 于是有
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=2100A A A
根据分块矩阵逆的性质，则
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=---12111
00A A A 用伴随矩阵法容易求出11-A ，1
2-A ，即
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-4531524312511
1
A ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-23121
2A
所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-23001200004300
5121
A
17. 解：利用初等变换法
()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=100231010311001111E A
……
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
---
→12
125100102
010********* 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛----=-12
125102
2212111
A
18. 解：用伴随矩阵法来求，因为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----=311412211*
A
而
011
1
012211≠-=-=A
由 *
11A A
A =
- ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛------=311412
21
111 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛----=311412211
19. 解：用初等行变换来求，因为
112100100201235010010721324001001511--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 1201721511A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
20.解：对A作初等行变换，将它化为阶梯形，有
最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3 21.解：把排成的矩阵A
这是一个"下三角形"矩阵
22.解：
111111111111
112300320032
225000320000 A
---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以，r(A)=2
23.
解：因为001
1
1010011
=≠， A 有3阶非零子式
所以r(A)=3
24. 解：因为100
01010101
=≠， A 有3阶非零子式
所以r(A)=3
25.
2031415
20135427020224152010101121520101011200000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→--→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭
所以r(A)=2
26. 解：A=11001
1001
1000
1100
1100
1100011
0011
0011100100110000⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以r(A)=3
27. 解：把矩阵A=(α1，α2，α3)用初等行变换化成行最简形：
（α1，α2，α3）=19219219219221004082001001011020100100004480320010000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以r(A)=2，α1、α2为其一个最大无关组。

28.
解：把矩阵A=（α1，α2，α3）用行初等变换化成行最简形：
（α1，α2，α3）=14114
114121309509515409500036701810000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------
⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以r(A)=2，α1、α2为其一个最大无关组。

29. 解：因为
系数行列式为0．所以 线性相关．
30.
解：3个方程，4个未知量， 原方程组为： ⎪⎩
⎪
⎨⎧==++-=++2123224321421x x x x x x x x
31. 解：
其顺序主子式
∴f不是正定二次型．
32.解：
N（3 2 1 4 5）=2+1=3
N（3 4 1 2 5）=2+2=4
可见，5级排列3 2 1 4 5是奇排列；
5级排列3 4 1 2 5是偶排列.
33.解：将上述等式看成 A－2Ｘ＝B
由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得
2Ｘ＝A－B
∴
=
34.
证：对称阵：
∴ 是对称阵.
∴ 是对称阵
35.
解：
，
，
，36.解： AB
37.解：
∴
而38.解：
∴ X=A-1B
39.解：令的一个线性组合等于．即有使
．用分量写出．
是K的线性方程组，又可写成： AX=B．
其中
下面用初等变换法解矩阵方程从而求得．
由最后的矩阵（A又化为单位阵）得：．即．且表法唯一．
40. 解：
41. 解：由上视为 的线性方程组，解出 来。

所以 ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧+=+=+=3
13322211212121212121ββαββαββα
42. 解：1、 作
线性无关。

必须 。

无关。

2 、作
由
，
无关
齐次线性方程组
有非零解。

所以
线性相关。

43. 解： 对于排列1425j i ，i 只能取3或6，对应j 只能取6或3，而要使得1425j i 为偶
排列，应有36==j i ,．
44. 解：因为04
13
222
000410
32≠-=-
所以321ααα,,线性无关．
45. 解：若A 可逆，则B A X 1-=.
用初等变换法来解，把A 与B 并列排在一起()B A ，对它们进行行初等变换
()⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---=434212633352B A
……
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→210010101001 所以 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=211X 即为所求解．
46. 解：因为A 的特征值为2,121=-=λλ，对应的特征向量分别为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101121αα,，
那么有-1P P A Λ=，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21Λ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-11011
P 可求得⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=2301A
而1100100-=P P ΛA
所以⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-==-100100
110022101
P P ΛA
47. 解：根据全排列的要求及性质，包含有因子24a 并为负的项应该是
24413213a a a a -， 24114233a a a a -， 24311243a a a a -．
48. 解 ：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2215107432143212A
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=141051421142112B
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-85158141051221510722B A
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+1586101308512))((B A B A
49. 解：设为 X ，由于要满足
X X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11011101 所以X 必为2列2行矩阵，设为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43
21x x x x X
有
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44322143
211101x x x x x x x x x x
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4231
21
43211101x x x x x x x x x x
由于要求上面二式应该相等，所以比较矩阵有
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=442
4331211x
x x x x x x x x x
解得：任意数03412===x x x x ,,，所以 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a b a 0X ，其中 a ，b 为任意数．
50.
解 ：
1
0400
11
00200121
0000
11002001λλλλ-=
-=
D
141
040101-=-=λλλ
由于有非零解，所以0=D ，即014=-λ，所以4
1=λ.
51. 证： 因为B A ~，所以存在可逆方程P ，使
B AP P =-1
上式两边取行列式，有
B =P A P AP P 11--=
1
P
P A -=
A = 故：
B A =．
52. 解：
对于)2(24)12(13n n -，有2
)
1(12)2()1(-=+++-+-=n n n n t
53. 解：根据行列式的定义，含有因子2311a a 的项应是44322311a a a a -，42342311a a a a 54. 证：因为E AA =T ，取矩阵的行列式有1==E AA T ，
而2
A A A A A AA ===T T ，所以：12
=A ，即1-=A 或1．
55. 解：若A 可逆，则B A X 1-=.
用初等变换法来解，把A 与B 并列排在一起()B A ，对它们进行行初等变换
()120141212531213--⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
A B
……
116100558
70105500131⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪→- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
所以 1165587
5531⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X 即为所求解．
56. 解：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212
12121
212
1212
1
2
A
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111
1141 ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21212121222241 所以 A A =2．
57. 解：对这三个向量分析可以发现，它们的相应元素是对应成比例的，即任意两个是线
性相关的。

所以：
向量1α是线性无关的（一个非零向量线性无关），而21αα,和31αα,都是线性相关的，所以1α是321ααα,,的一个极大无关组
58. 解：要使8i 351j 27为一排列，i 只能取4或6，j 只能取6或4。

现要求这一排列为奇
排列，所以有4=i ，6=j
59. 解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A+B+C ；（5）AB+BC+CA ；（6）C B A ，
（7）C B A C B A C B A C B A +++；（8）ABC ；（9）C B A C B A C B A ++
60. 解：基本事件的总数28C n =；基本事件数25C k =。

故所求的概率
375.014
52825====C C n k p
61. 解：任取一零件，设B 1 、B 2分别表示它是第一、二台车床的产品，A 表示它是合格品。

则
32
)(1=
B P ，3
1)(2=B P 97.003.01)|(1=-=B A P ，98.002.01)|(2=-=B A P
由全概率公式得 112221
()()(|)()(|)0.970.980.97333
P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=
62. 解：（1）AB={2，4}；（2）A+B={1，2，3，4，5，6，8}；
（3）B ={1，3，5，7}；（4）A-B={1，3}；（5）BC ={1,2,3,4,5,6,7,8} （6）C B +=Φ
63. 解：将6只乒乓球编号为1，2，3，4，5，6，则样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，
其中i 表示“取得第i 号球”，那么基本事件的总数为n=6
设A 为“取得白球”这一事件，因为袋中有4只白球，每个都可能被取到，所以A
包含的基本事件数k=4于是有：
3
264)(===
n k A P
64. 解：
1. {（HH ）（HT ）（TH ）（TT ）}
2. {4，5，6，…}
3. {(12,0)(0,12)(1,2)(2,1)} 其中：1为一号球，2为二号球
4. {1，2，3，…}
65. 解：
!
6!
2!5
66. 解：
1. P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ）=1/5+1/4-（1/5）x （1/4）=2/5
2. ⎪⎩⎪
⎨⎧∈=其它
]5,0[5
1)(x x f ⎰
==
<<3
5
3
51)30(dx X P
67. 解：
1、利用事件的运算定义，该事件可表示为C B A 。

2、同理，该事件可表示为ABC 。

3、C
A C
B B A ++
68. 解：第一位数字不能是0，这时，基本事件的总数为1069
A 表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。

由于电话号码的前两个数字为24，
后五个数字中每一个可以由0,1,2,…,9中任取，故对A 有利事件的数目为105。

于是
90
1
91010)(65==A P
69. 解：①分析：由于第一次取球后不放回作第二次取球,因此两次取得的球的标号不能
重复,显然第一次取球时,袋中的四个球中的任何一个都可能被取到；第二次取球时,袋中剩下的三个球中的任何一个都可能被取到。

一般这类试验应当考虑取到的两个球的先后顺序。

若用（1,2）表示第一次取得1号球,第2次取得 2号球,其余如（2,3）,…可作类似理解,则样本空间S 1可以表示为
S 1={（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）}
共包括P 42=4X3=12试验结果。

②分析：②与①的区别在于两次取得的球的标号可以相同。

样本空间
S 2={（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）} 共包括42=16个试验结果。

③分析：③与①的区别在于取得的两个球没有先后顺序问题。

若用
1号和
2
…可作类似理解。

则样本空间S 3可以表示为
共包括C 42=4X3/2=6
70. 解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（i ，j ），i,j=1,2,3,4,5,6，而i,j 可以重复，
故基本事件的总数为62。

A 表示“两颗骰子掷得的点数不同”。

对A 有利的基本事件数等于所有i ≠j 排列方式的数目，即从1，2，3，4，5，6这六个数字任取其二作不可重复的排列方式数A 62，所以
6
5
6)(226==A A P
71. 解：设A 1、A 2、A 3、A 4分别表示这人“坐火车来”、“坐船来”、“坐汽车来”、“坐飞
机来”，B 表示这人“迟到”，则
P(A 1)=0.3、P(A 2)=0.2、P(A 3)=0.1、P(A 4)=0.4
P(B|A 1)=0.25、P(B|A 2)=0.3、P(B|A 3)=0.1、P(B|A 4)=0 由全概率公式得：145.0)|()()
(4
1
==∑=i i i A B P A P B P 再由逆概率分别可以算得：
5172.0145.025
.03.0)()|()()|(111≈⨯==
B P A B P A P B A P （坐火车）
4138.0145.03
.02.0)()|()()|(222≈⨯==
B P A B P A P B A P （坐船）
0690.0145.01
.01.0)()|()()|(333≈⨯==
B P A B P A P B A P （坐汽车）
0145
.00
4.0)()|()()|(444=⨯==
B P A B P A P B A P （坐飞机）
比较以上四个概率值，可见这人坐火车和坐船的可能性大，而坐汽车的可能性很小。

显然
他不可能是坐飞机来的。

72. 解：（1）A B C ⋃⋃
（2）ABC ABC ABC ⋃⋃ （3）ABC ABC ABC ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃ (5) ABC
73. 解：记{}A =第一次为次品、B {}=第一次为正品，要求P AB （）。

已知90
P A 0.1P B A 99（）＝，而（）＝
，因此 90
P AB P A P B A 0.10.09199
⨯（）＝（）（）＝＝
74. 解：
()()()()()()()()11115044488
P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+=++-+=
75. 解：（1）设1A ：第一次取道的零件是一等品。

12,B B 分别表示从第一箱，第二箱中抽取。

121
()()2
P B P B ==
1101115011812130
1
()5
3
()5
C P A B C C P A B C ==
=
=
11112121113
()()()()()2525
25
P A P B P A B P B P A B ∴=+=⨯+⨯
=
（2）设2A 第二次取得的是一等品 1212211()5()
()()2
P A A P A A P A A P A =
=
设12A A A =
2101250()P P A B P = 218
2230
()P P A B P =
112219151
()()()()()24902290
2761421
P A P B P A B P B P A B ∴=+=⨯+⨯
=
21()
()0.485625
P A P A A ∴==
76. 解：设X 为错字数，那么X~B(500,1/500)，由于λ=np=1
所以)2()1()0(1}3{1}3{P P P X P X P ---=<-=≥
0803.02
11
1
1
≈---≈---e e e
77. 解：得5
3)52(,2=≤≤≥K P K 78. 解：
（1）由于1)(lim )
(==+∞+∞
→x F F x ，所以有1)(lim 2
2==+-+∞
→A Be
A x x 。

又由于
X 为连续型随机变量，F(x)应为x 的连续函数，应有
B A Be
A x F x F x x x x +=+===-
→→→+-
)(lim )(lim 0)(lim 2
02
所以A+B=0，B=-A=-1，代入A 、B 之值得⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-
01)(2
2
x x e
x F x （2）对函数F(x)求导得X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0
0)(')(2
2
x x xe
x F x f x
（3）由⎰-==<<b
a
a F
b F dx x f b X a
P )()()(}{式有
4712
.0)1()2(}21{22
1
=-=-=<<--
e e
F F X P
79. 解：（1）因为()f x 是一密度函数，所以必须满足()1f x dx +∞
-∞
=⎰
，于是有
2
2
01c x dx =⎰
解得38
c =
（2）
1
1
1
1
1
20(11)()0()3188
P X f x dx dx f x dx x dx ---<<==+==⎰⎰⎰⎰
80. 解：由分布函数的性质得：
lim (arctan )(arctan )()()1
22x y A B x C y A B C ππ
→+∞→+∞
++=++=
lim (arctan )(arctan )()(arctan )02x A B x C y A B C y π
→-∞++=-+=lim (arctan )(arctan )(arctan )()02
y A B x C y A B x C π
→-∞++=+-= 由此可解得21
,,22C B A πππ
===。

81. 解：（1）0,1()ln ,11,X x F x x x e x e ⎧<⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
{2}(2)ln 2X P X F <==
{03}(3)(10)101X X P X F F <≤=-=-= 555{252}()(2)ln
ln 2ln 224
X X P X F F <<=-=-= （2）0,()()'11X X f x F x x e x
⎧⎪
==⎨≤<⎪⎩其他
，
82. 解：00
1
E X x
x
x x
xe
dx xde
e dx xe
λλλλλλ
∞
∞
∞
∞
----==-=+=
-⎰⎰⎰（）
220
22
E X 2
2
22x x
x
x
x e dx
x
x de
xe
dx xe
dx x
e
λλλλλλλλ
λ∞
-∞
∞
∞
∞
---=-==+==
⎰-⎰⎰⎰（）
83. 解：设发现沉船所需要的搜索时间为X 。

由题设知)(1}{t F e t X P t =-=≤λ （t>0）
故X 的概率密度为⎩⎨
⎧≤>=-0
)(t t e t f t
λλ，可见X 服从参数为λ的指数分布，因此E(X)=1/λ,即发现沉船所需要的平均搜索时间为1/λ。

84.
解：（1）设随机变量Y n 表示10000户中在同一时刻用电的户数，则Y n ~B(10000,0.8)， 于是np=10000X0.8=8000，402.08.010000)1(=⨯⨯=-p np 所以概率为：
})
1(10000)
1()
1(8100{
}100008100{p np np p np np Y p np np P Y P n n --≤
--≤
--=≤≤
0062.09938.01)5.2()50(}50)
1(5.2{=-=Φ-Φ≈≤--≤=p np np Y P n
(2)若每户用电功率为100W ，则Y n 户用是功率为100Y n W ，设电站供电功率为QW ，则按题意有
975
.0)408000
100(}408000100)
1({}100{}100{=-Φ≈-≤--=≤=≤Q Q p np np Y P Q Y P Q Y P n n n
查正态分布表得：
φ(1.96)=0.975，所以96.140
8000100=-Q
，解得Q=807840
所以，电站供电功率应不少于807.84 kW.
85. 解：令Y=|X|，所以：⎰⎰⎰∞
+∞-∞-∞+-=+-==0
012
2)(||)(dx e x
dx e x dx x f x X E x
x
86. 解：0)
()
()()(*=-=
X D X E X E X E ；1)
()
()())(()(*==-=
X D X D X D X E X D X D
87. 解：⎰⎰⎰-+∞
∞
-=-++==01
1
0)1()1()()(dx x x dx x x dx x xf X E
⎰⎰⎰-∞+∞-=-++==-=0110222226
1
)1()1()()]([)()(dx x x dx x x dx x f x X E X E x D
88.
解：本问题要求在水平0.02下，检验假设H 0：σ2
=5000 （H 1：σ2
≠5000） 因为524.11)25()1(2
2/02.0122/1==---χχn a ，
314.44)25()1(2
2/02.022/==-χχn a
而365000
7200
25)1(2
2
2
=⨯=
-=
σχS n
由于)1()1(2
2/222/1-<<--n n a a χχχ所以接受H 0，即认为在0.02水平下这批电池的波动
性较以往的并无显著的变化。

89. 解：因为E(X)=np ，D(X)=np(1-p)，由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知
有：p n
X n n
i i ˆˆ11=∑=，)ˆ1(ˆˆ)(11
2p p n X X n n i i -=-∑= 可解得：∑∑==--=n i i n i i X n X X n p 112
1)(11ˆ，∑∑∑===--=n
i i n i i n i i X X n X n X n n 1
2121
)(1
1)1(ˆ
90.
解：按题意需检验H 0：μ≤μ0=225，H 1：μ>225，取a=0.05，由于此检验的拒绝域为
)1(/0-≥-=
n t n
S x T a μ，可查表得：t a (n-1)=t 0.05(15)=1.7531
所以7531.16685.016
/7259.982255.241/0<=-=-=
n
S x T μ，由于落在拒绝域外（接受域内），
故接受H 0，即认为元件的平均寿命不大于225小时。

91.
解：H 0：2000=μ
因为：)1(~/--=
n t n
s x T μ ，1920=x 2000=μ s=150 n=25
所以：|T|=2.67 查t 分布表有80.2)24()1(005.02
==-t n t a
由于：|T|=2.67<)24(80.2005.0t = 从而接受假设H 0，即认为工件长度为2000毫米
92. 解：因为⎰
=
-=λ
λ
λλ
2
3
)(2
)(dx x X E 取3
)(λ
=
=X E X 得X 3ˆ=λ
为参数λ的矩法估计值
又因为λλ
λ
===3
.3)3()ˆ(X E E 所以为有偏估计。

93.
解：设T 为要求的线路带宽，那么由中心极限定理有：
95.0)92
.008.030008
.03001092.008.030008
.0300()10(=⨯⨯⨯-<⨯⨯⨯-=<T
X P T X P
即：95.0)472410(=-ΦT 查正态分布表有：65.147
24
10=-T 所以解得)(318MB T ≈
94. 解：由题设条件。