成都七中(高新校区)高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
2．(),0F c 是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直
线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
1
2
B 1
C D
3．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为
（ ）
A ．22+1164x y =
B ．22+1416x y =
C ．22148x y -=
D ．22
184
x y -=
4．已知双曲线22
22:1(0,0),,x y C a b A B a b
-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P
是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积
为定值2，则双曲线的离心率是（ ）
A B C ．2
D 5．已知1F 、2F 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于
P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PF
F △与12QF F 的面积之比为（ ）
A ．2
B 1
C 1
D ．2+6．已知1F 、2F 是双曲线C ：2
2
14
y x -
=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ．1
3
B ．
12
C ．2
D ．3
7．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点
()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）
A ．24480y x y -++=
B ．22220y x y +-+=
C ．2210y x y ---=
D ．24250y x y +-+=
8．已知1F ，2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点
2F 到直线1AF 的距离为3a ，则离心率e 的取值范围是（ ）
A ．51,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
B ．5,2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．71,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D ．7,2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
9．如图所示，12FF 分别为椭圆22
22x y 1a b
+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为
3的正三角形，则2b 的值为( )
A 3
B ．23
C ．33
D ．4310．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．
4
5
π B ．
34
π C ．(625)π-
D ．
54
π 11．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，抛物线2
8y x
=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（ ） A 3B 23
C 43
D ．2
12．已知椭圆E ：()22
2210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若
AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）
A ．
12
B ．
32
C ．
13
D ．
23
3
二、填空题
13．若ABC ∆的两个顶点坐标()4,0A -、()4,0B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为 _____________
14．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．
15．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.
16．已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与
直线3y x =-垂直，当3a b +取最大值时，双曲线C 的方程为________.
17．已知双曲线C ：22
193
x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的
两条渐近线的交点分别为M ､N .若OMN 为直角三角形，则||MN =________. 18．我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于__________.
19．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过C 上一点A 作C 的准线l 的垂线，垂足为
B ，连接FB 交x 轴于点D ，若||5AF =，则||AD =_________．
20．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，
120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为________. 三、解答题
21．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．
（Ⅰ）证明：00ny t +=； （Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）
22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B 3
AB 与圆22
4
:5
O x y +=
相切. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
23．已知F 是抛物线()2
:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且
32
MF
. （1）求抛物线C 的方程；
（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.
24．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为
23
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为1
2
的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；
（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值. 25．求下列曲线的标准方程.
（1）求焦点在x 轴上，焦距为2，过点31,
2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线2
212
x y -=有公共焦点，且过点
2,2的双曲线标准方程.
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，
且经过点A ⎛ ⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P （点P 在第一象限），过原点
O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出
定值；若不是，说明理由.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1， 根据抛物线定义， ∴y p +1=2， 解得y p =1． 故选C ．
考点：抛物线的简单性质．
2．B
解析：B 【分析】
设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题 可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】
如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF
PF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，
又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，
12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，
又2
2
211PF PF
F F +=，即()()22
222a c c c -+=，
整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得1e =. 故选：B.
【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3．B
解析：B 【分析】
由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，23c =可得出椭圆的标准方程. 【详解】
由题意可知，点(,)P x y 到点1(0,23)F 的距离与到点2(0,23)F -的距离之和为定值8，并且12843F F >=，
所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为23c =22216124b a c =-=-=，
所以点P 的轨迹方程为22+=1416
x y .
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .
4．B
解析：B 【分析】
设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2
可求得2
2b a
，从而可得离心率c e a =．
【详解】
根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k t
a b a b
-=-=，
,PA PB t n t n
k k k m k m
-+=
=-+， 所以22
22
PA PB t n t n t n
k k k m k m k m
-+-⋅=
⋅==-+-22
2
22222222
(1)(1)t n b t n a
a a
b b
-==+-+，所以双曲线的离心率2
2
13c b e a a
==+=. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．
5．D
解析：D 【分析】
设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得
433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入
4
33
t a =+计算即可得解. 【详解】
可设1PF t =，则1122QF PF t ==，
1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，
由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-， 则2
2
21
1PQ PF QF +=，即()2
22434a t t t -+=，
即有433a t t -=，解得33
t =
+， 则12PF F △与12QF F 的面积之比为
1212
222
1
22222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.
故选：D. 【点睛】
方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.
6．C
解析：
C 【分析】
设点)P m ，将22()0OP OF F P
+⋅=坐标化运算，可求出5m =±
，再分别计算12
||,||PF PF 的值，即可得答案； 【详解】
1a =
，2b
=，
∴c =1(
F ，2
F ，
设点)P m ，
∴2222()(1))1504m
OP OF F P m m m +⋅=⋅=
+-+=
， ∴2
165m =
，5
m =±，
则
P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12
4
22
PF PF λ=
=
=， 故选：C. 【点睛】
利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.
7．D
解析：D 【分析】
首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】
由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，
()()2
2
22222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，
所以21
11
a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -
设(),P x y ，由条件可知PC x =
x =，
两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
8．D
解析：D 【分析】
设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0b
k a
<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】
设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k
a
<<
，
，所以222
222343a b k c a a =<-，即22
4
7c a >，解得：e >故选：D . 【点睛】
本题考查双曲线求离心率，属于中档题.
方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系； （2）解出斜率k 与,a b 的关系；
（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围； （4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.
9．B
解析：B 【分析】
由2POF
2
4
c =.c 把(P 代入椭圆方程可得：
22131a b
+=，与224a b =+联立解得即可得出．
【详解】
解：
2POF
2
4
∴
= 解得2c =．
(
P ∴代入椭圆方程可得：
22131a b
+=，与224a b =+联立解得：2b = 故选B ． 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．A
解析：A 【详解】
试题分析：设直线:240l x y +-=因为1
||||2
C l OC AB d -=
=，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为
11
225O l d -==，圆C 面积的最小值为2
45ππ=⎝⎭
．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 11．B
解析：B 【分析】
求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可 【详解】
由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，
因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，2
2
2
212
124PF PF F F c +==，
点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故2
2
212
1224PF PF PF PF a +-⋅=，
则22444c a -=，所以a =3
， 故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..
12．B
解析：B
设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到2222
121222
0x x y y a b
--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，则22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222
121222
0x x y y a b
--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，
所以()()221212
2
212122x x b y y b x x y y a a
+-=-=-+， 又1212011
422
AB y y k x x -+=
==--， 所以22212b a =，
即2a b =，
所以2c e a ===， 故选：B 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】根据三角形的周长为定值得到点到两个定点的距离之和等于定值即点的轨迹是椭圆椭圆的焦点在轴上写出椭圆方程去掉不合题意的点【详解】的两个顶点坐标周长为点到两个定点的距离之和等于定值点的轨迹是以为焦
解析：22
1259
x y +=(0)y ≠
【分析】
根据三角形的周长为定值，，得到点C 到两个定点的距离之和等于定值，即点C 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x 轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点
ABC ∆的两个顶点坐标()40A -，
、()40B ，，周长为18 810AB BC AC ∴=+=，
108>，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，
∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆
210283a c b ==∴=，，
∴椭圆的标准方程是22
1259x y += ()0y ≠
故答案为22
1259
x y += ()0y ≠
【点睛】
本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法．
14．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得
解析：8 【解析】
2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线
2,x =-
所以23-+=8.m =
15．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而
解析：
3π或23π 【分析】
设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式
12AB x x p =++可求得参数k ．
【详解】 由题意6p
，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，
设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，
由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以2122
6(2)k x x k ++=，
所以12616AB x x =++=，2122
6(2)10k x x k ++==，k =，
所以直线AB 的倾斜角为3
π
或23
π．
故答案为：
3π
或23
π．
本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．
16．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次
解析：22
1
39
44
x y -= 【分析】
设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐
标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出22
3a b +=，利用三角换元思想求
得a 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】
设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24
x y =，求导得2x y '=，
由于抛物线24x y =在点M
处的切线与直线y =
垂直，则
(0
12
x ⨯=-，
解得0x =，则200143x y ==，所以，点M
的坐标为133⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF
的斜率为1
13MF
k -
==-
所以，直线l
的方程为1y x =+，该直线交x
轴于点)
1F ，223a b ∴+=，
可设a θ=
，b θ=，其中02θπ≤<，
3sin 6a πθθθ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
02θπ≤<，136
6
6
π
π
πθ∴
≤+
<
， 当6
2
π
π
θ+
=
时，即当3
π
θ=
时，a
取得最大值
此时，3
a π
==
332b π==，
因此，双曲线的标准方程为22
1
39
44x y -=. 故答案为：22
1
39
44
x y -=. 【点睛】
本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.
17．【分析】先由题意得到渐近线方程为：右焦点或分别讨论两种情况求出两点间距离即可得出结果【详解】因为双曲线的渐近线方程为：右焦点因此渐近线夹角为即因为为直角三角形所以或当时可得所以所在直线方程为：由解得
解析：【分析】
先由题意，得到渐近线方程为：3
y x =±
，右焦点()
F ，OM MN ⊥或ON MN ⊥，分别讨论OM MN ⊥，ON MN ⊥两种情况，求出两点间距离，即可得出
结果. 【详解】
因为双曲线22193x y -=
的渐近线方程为：y =
，右焦点()
F ，
因此渐近线夹角为60，即60MON ∠=，
因为OMN 为直角三角形，所以OM MN ⊥或ON MN ⊥，
当OM MN ⊥
时，可得MN k =MN
所在直线方程为：y x =-，
由
3y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
解得：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，由
3y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，
所以MN ==； 当ON MN ⊥
时，可得MN k =MN
所在直线方程为：y x =-，
由
y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，由
y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
解得：3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，
所以2
2
3333333322MN ⎛⎫⎛⎫
=-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭； 综上，33MN =. 故答案为：33. 【点睛】
本题主要考查直线与双曲线的简单应用，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
18．【分析】如图所示过点作垂足为由于是母线的中点圆锥的底面半径和高均为2可得在平面内建立直角坐标系设抛物线的方程为为抛物线的焦点可得代入解出即可【详解】解：如图所示过点作垂足为是母线的中点圆锥的底面半径 解析：2
【分析】
如图所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ．由于E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为2，可得1OM EM ==．2OE =．在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点．可得(
)
2,2C ，代入解出即可．
【详解】
解：如图所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ．
E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为2，
1OM EM ∴==．
2OE ∴=
在平面CED 内建立直角坐标系．
设抛物线的方程为22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点． 因为)
2,2C
，
422∴=，解得2p ．2F ⎫⎪⎪⎝⎭
．即点F 为OE 的中点，
∴2
2
【点睛】
本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．【分析】设根据利用抛物线的定义得到解得代入中得到AB 的坐标直线的方程令得D 的坐标用两点间的距离公式求解【详解】设因为所以得代入中得当时则直线为令得所以当时同理得故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的 解析：25【分析】
设()00,A x y ，根据||5AF =，利用抛物线的定义得到0||15AB y =+=，解得04y =，代入24x y =中，得到A ，B 的坐标，直线BF 的方程，令0y =，得D 的坐标，用两点间的距离公式求解. 【详解】
设()00,A x y ，因为||5AF =， 所以0||15AB y =+=，得04y =， 代入24x y =中，得04x =±，
当(4,4)A 时，(4,1)B -，则直线BF 为1
12
y x =-+， 令0y =，得(2,0)D ， 所以||25AD =
当(4,4)A -时，同理得||25AD = 故答案为：25
本题主要考查抛物线的定义和几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20．【分析】由双曲线的方程的左右焦点分别为为双曲线上的一点为双曲线的渐近线上的一点且都位于第一象限且可知为的三等分点设将坐标用表示并代入双曲线方程即可得到离心率的值【详解】由双曲线的方程的左右焦点分别为
2
【分析】
由双曲线的方程22
221x y a b
-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双
曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=， 可知P 为2QF 的三等分点，设()11,P x y ，将坐标用,,a b c 表示，并代入双曲线方程，即可得到离心率的值. 【详解】
由双曲线的方程22
221x y a b
-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双
曲线C 的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=， 可知P 为2QF 的三等分点，且12
QF QF ⊥， 点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(),Q a b ，()2,0F c ， 设()11,P x y ，则()()11112,,x a y b c x y --=--， 解得123a c x +=
，123b y =，即22,3
3a c b P +⎛⎫
⎪⎝⎭，
代入双曲线的方程可得
()2
2
24199
a c a +-=，解得2c e a ==，
2. 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，转化为a ，c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e （e 的取值范围）.
三、解答题
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅2
1n n =--，1n ≤-或1n ≥.
（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00
x n
t y -=
消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】
解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立， 若00y ≠，因为直线:l x ty n =+
1=，
整理得到：2
2
1n t =+，又00
x ty n =+，故()2
2
202
2
121x n nx n n y y --+=+=， 整理得到22
00120nx n x -+=即01nx =，
而20000000
0000
11
x x x n x x y t ny y y y x --
-====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ． 联立2
x ty n
y x
=+⎧⎨
=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-． 由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，
而240t n ∆=+>，故2410n n +->
即2n <-
2n >- 故1n ≤-或1n ≥.
而1020||||PA PB y y ⋅=--
()()22
1201201t y y y y y y =+-++
()2
222
2
2
2
00
21t t t t t n ty y n n t n n n n n n
--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭
222
211
n n n n n n
--=-++21n n =--，
其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】
思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.
22．（1）2
214
x y +=；（2）是定值，定值为2.
【分析】
（1
）由题意可得2
==
，从而可求出,a b 的值，进而可得椭圆的方程；
（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论 【详解】
（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=
，所以⎧=⎪⎪=
2a =，
1b =，所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=，
（2）证明：设()()2
2
000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.
因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0
022
y y x x =
--，令0x =，得0
022
M y y x =-
-， 从而0
02112
M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=
+令0y =，得001
N x
x y =--，从而0
0221
N x AN x y =-=+
-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛
⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
‖ ()22
000000000000000000444842244222222
x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.
所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】
关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.
23．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 【分析】
(1)根据抛物线的定义可知3
122
p MF =+
=,求出p 后可得抛物线方程. (2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121
202
kx x m x x y y ++-
+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【详解】
（1）根据抛物线的定义，3
1122
p MF p =+=⇒=， 抛物线的方程为22y x =，
（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，
直线l 与抛物线的方程联立得()2222
2202y kx m
k x km x m y x
=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 122
22km x x k -+=，2
122m x x k
=,则122y y k +=，122m y y k =， 又0AF BF k k +=，即12
120
11
22
y y x x --+=--， ()1221121
02
x y x y y y +-+=，
()()1212121
202
kx x m x x y y ++-
+=， 即222
22120m km k m k k k
-⋅+⋅-=，整理得：2k m =， 所以直线的方程为()21y m x =+，
即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
【点睛】
关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121
202
kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.
24．（1）2
214
x y +=；（2）证明见解析；（3）3.
【分析】
（1）由题知1b =
，2a c -=222a b c =+即可得椭圆的标准方程为
2
214
x y +=； （2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设112211,,,2
2
P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
，直线l 为
1
2
y x m =
+，直线与椭圆联立化简得212122,22x x m x x m +=-=-，进而0MP NQ k k =+；
（3）当直线AB 斜率不存在时，2
2||||23b AB CD a a
+=+=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB
为y kx =，直线CD
为1y x k =-
+
2245
||||5417
4
AB CD k k
+=-
++，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】
（1）因为短轴为2，所以22,1b b ==，
又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为a c -
，所以2a c -= 又因为222a b c =+
，解得2,1,a b c ===
所以椭圆的标准方程为2
214
x y +=；
（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，
设直线l 为12y x m =+，与2
214
x y +=联立得：222220x mx m ++-=
设112211,,,2
2
P x x m Q x x m ⎛
⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
，则212122,22x x m x x m +=-=- 所以
()1212
1212122
111(1)22
2222MP NQ x m x m x x m x x m k k x x x x x ++-+-+-++=+=--22
2
22(1)(2)220222m m x m m m x -+---+==--， 所以MP 与NQ 的斜率之和为定值0；
（3）当直线AB 斜率不存在时，2
225b AB CD a a
+=+=
当直线AB 斜率存在时，设直线AB
为y kx =，直线CD
为1y x k =-
+
得(
)
2222
411240k x x k +-+-=，
所以234342124
41
k x x x x k -+==
+，
所以
()22
4141
AB k k +==
+，
同理()22
41||4
k CD k +=
+，
所以
()()22222241414
45
||||541
4
417
k AB CD k k k k
k +++=+
=-
++++
因为2
2448k k +
≥=，所以1635
AB CD +≥>，当且仅当1k =±时取等号， 所以AB CD +的最小值为3. 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于巧设点的坐标，结合韦达定理，设而不求，达到求解目标，化简运算；同时还要注意再设直线方程时，需要考虑斜率存在与否，做到周密解答.
25．（1）22143
x y +=；（2）22
12y x -
=. 【分析】
（1）由题意知1c =，根据椭圆的定义求出2a =，根据222b a c =-得到23b =，从而可得椭圆的标准方程；
（2）根据2
212x y -=求出焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为
22
221(,0)x y m n m n -=
>
，代入点并利用223m n +=可求得1m
=，n =而可得结果. 【详解】
（1）由题意知1c =，焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，
根据椭圆定义可得12||||2PF PF a +
=
2a =，
所以24a =，2a =，所以222413b a c =-=-=，
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
（2）由2
212x y -=得222,1a b ==，所以222213c a b =+=+=
，所以c =
所以双曲线2
212x y -=
双曲线的焦点为(，
设双曲线的方程为22
221(,0)x y m n m n
-=>，
可得223m n +=，
将点
代入双曲线方程可得，
22
22
1m n -=， 解得1m =
，n =
即有所求双曲线的方程为：2
2
12
y x -=.
【点睛】
关键点点睛：第一问利用椭圆的定义求出a 是解题关键；第二问根据两个双曲线的半焦距相等求解是解题关键.
26．（1）2
212
x y +=；（2
【分析】
（1）根据条件列出关于a,b,c 方程组求解得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）设出P 的坐标()00,x y ，利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程，利用平行线的关系得出直线 l 的方程，与直线PF 的方程联立，求得Q 的坐标，利用两点间距离公式求得PQ 关于00,x y 的表达式，并利用P 的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值. 【详解】
解：（1
）由题意知22
2
22
11211c a a a b b a b c ⎧=⎪
⎪⎪
⎧⎪=⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎪⎩
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
（2）设()00,,P x y 直线l 的方程为0022x x y y += 过原点O 且与l 平行的直线l '的方程为0020x x y y += 椭圆C 的右焦点()1,0F ，由
00y 0x 1
y 0x 1
--=--整理得到直线PF 的方程为0001)0(y y x x y ---=，
联立2
0000000000(1)02,2022y x x y y y x y Q x x y y x x ---=⎛⎫⎧⇒-⎨ ⎪+=--⎩⎝
⎭
∴222
2
000000000022222222y x y y x PQ x y x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-=-++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22
002
02
2
004(1)4122(2)2
(2)(2)x x x x x ⎛⎫
-+- ⎪
-⎝⎭==
=-- 【点睛】
本题考查根据离心率和定点确定求的标准方程，椭圆与直线相交所得弦长问题和定值问题，属中档题，涉及椭圆上某点处的切线方程，弦长公式，运算化简能力，注意：曲线
22Ax By C +=上()00,P x y 处的切线l 的方程为00Ax x By y C +=。