微积分基本定理 课件

2.若将例 3(1)中的条件改为 ʃ t0f(x)dx＝F(t)，求 F(t)的最小值. 解 F(t)＝ʃ t0f(x)dx＝t2－t＝t－122－14(t>0)， 当 t＝12时，F(t)min＝－14.
0
2
2
0
π
( x＋cosx) |02
＝π2＋cos 2π－(0＋cos 0)＝π2－1.
(4)ʃ 30(x－3)(x－4)dx. 解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴ʃ 30(x－3)(x－4)dx ＝ʃ 30(x2－7x＋12)dx ＝31x3－72x2＋12x30 ＝13×33－27×32＋12×3－0＝227.
微积分基本定理
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考 已知函数 f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则 ʃ 10(2x＋1)dx 与 F(1)－F(0) 有什么关系？ 答案 由定积分的几何意义知，ʃ 10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0) ＝2，故 ʃ 10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
π
x－x)|02
＝0＋13＋sin π2－2π－(sin 0－0) ＝43－π2.
(2)计算定积分 ʃ 21|3－2x|dx.
解 ʃ 21|3－2x|dx
3
2
2 (3 2x)dx
1
3 (2x 3)dx
2
3
＝(3x－x2) |12
＋(x2－3x) |23
＝12.
2
类型二 利用定积分求参数 例 3 (1)已知 t>0，f(x)＝2x－1，若 ʃ t0f(x)dx＝6，则 t＝__3__. 解析 ʃ t0f(x)dx＝ʃ t0(2x－1)dx＝t2－t＝6， 解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.
⑥ʃ baexdx＝ex|ba.
⑦ʃ baaxdx＝lnaxaba(a>0 且 a≠1).
⑧ʃ
b a
xdx＝ 2 3
x
3 2
ba(b>a>0).
知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系
思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？ 答案 当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若 被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等.
梳理 (1)微积分基本定理 ①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ； ②结论：ʃ baf(x)dx＝ F(b)－F(a) ； ③符号表示：ʃ baf(x)dx＝ F(x)|ba ＝ F(b)－F(a) .
(2)常见的原函数与被积函数关系 ①ʃ bacdx＝cx|ba(c 为常数). ②ʃ baxndx＝ n＋1 1xn＋1ba(n≠－1). ③ʃ basin xdx＝－cos x|ba. ④ʃ bacos xdx＝sin x|ba. ⑤ʃ ba1xdx＝ln x|ba(b>a>0).
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
(3)
π
2 (sin
x
cos
x )2dx;
0
2
2
解
∵sin
2x－cos
x2 2
＝1－2sin
x 2cos
2x＝1－sin x，
π 2
(sin
x
cos
x )2dx
π
2 (1 sin x)dx
(2)已知 2≤ʃ 21(kx＋1)dx≤4，则实数 k 的取值范围为__23_，__2_ __. 解析 ʃ 21(kx＋1)dx＝21kx2＋x21＝32k＋1. 由 2≤32k＋1≤4，得23≤k≤2.
引申探究 1.若将例 3(1)中的条件改为 ʃ t0f(x)dx＝f 2t ，求 t. 解 由 ʃ t0f(x)dx＝ʃ t0(2x－1)dx＝t2－t， 又 f 2t ＝t－1，∴t2－t＝t－1，得 t＝1.
命题角度2 求分段函数的定积分
例 2
(1)若 f(x)＝cxo2，s xx－≤10，，x>0，
π
求 2 f (x)dx; 1
π
π
解 2 f (x)dx＝ʃ 0－1x2dx＋ 2 (cos x 1)dx,
1
0
又因为13x3′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1，
所以原式＝31x30－1＋(sin
梳理 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则 ʃ baf(x)dx＝ S上 . (2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则 ʃ baf(x)dx＝ －S下 .
(3)当曲边梯形在 x 轴上方，x 轴下方均存在时，如图③，则 ʃ abf(x)dx＝ S上 _－___S__下___.特别地，若 S 上＝S 下，则 ʃ baf(x)dx＝ 0 .
类型一 求定积分
命题角度1 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)ʃ 10(2x＋ex)dx； 解 ʃ 10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10 ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
(2)ʃ
211x－3cos
xdx；
解ห้องสมุดไป่ตู้
ʃ
211x－3cos
xdx
＝(ln x－3sin x)|21