河流形态特征的分维计算方法

关键词 河流形态 河网 分形维数 河系定律
1 引言
“分维” 是混沌数学中的概念 , 可用于研究大小现象具有自相似性的不规则分形几何图 形问题。 自然界到处都充满了分形现象 , 河流几何形态即是其中的一例 , 其蜿蜒曲折的河 道 , 及各种分枝状的河网水系都不是简单的直线 , 亦非可微分的曲线 , 却又具有处处连续 的分形特性。[1 ]。
河 长 ( k m) 915 452 445 925
Hor ton河流参数
RL 2. 07
RA 3. 56
2. 40
5. 18
1. 95
3. 07
2. 12
3. 79
河长的分维 d
计算网格法
河系定律法
1. 14
1. 15
1. 01
1. 07
1. 14
1. 19
1. 09
1. 13
32 8
地 理 学 报 52卷
维的推求方法。 它还适用于推求与之有类似分形性质的流域周边长度等的分维。 各河流的
分维不同 , 可代表其受地形等因素影响而形成的不同蜿蜒曲折程度。 一般而言 , 分维越大 , 河流的蜿蜒程度越高 , 因此分维也反映了河流发育的自然特征。 另外联系到河长与某流域
参数有关 , 因此还可以利用 Hor ton河系定律来推求河长的分维。
由于当 K ∞ , 则 L1 0, 这样就可以视 L1 为比例尺的比值 r , 比较式 ( 2-7) 和式 ( 2-22) , 就得
考虑到 D≥ 1, 则有
D = logB /logRL
( 2-23)
D = max ( 1, log RB /logRL )
( 2-24)
这就是 La Barbera和 Rosso 给出的河网分形维计算公式 [5]。 可见河网的分维与河流的分枝
L0 = limN 0r 0 r0 0
( 2-2)
或
N 0 = L0 r-0 1
( 2-3)
然而 , 人们发现上式常不收敛。 原因是式 ( 2-2) 中 r0 的指数可能不为 1。 若令 r0 的指数为
一分数 d , 可得
L0 = N 0r0d = const.
( 2-4)
Mandelbrot 称此 d 为分形维数 [3 ] , 由式 ( 2-4) 可得
分形结构 ( f ractal) 有二个明显的特征 [2]: 第一个特征是自相似性 ( self -similariy ) , 即 重复放大分形的细部又可看到与本身相似结构的再度出现 ,并且这种出现过程具有随机性 , 换句话说分形结构具有尺度不变性 , 只有大小的区别 , 而没有形状上的不同 , 因此 , 河流 分形结构的研究可以解决不同尺度下的河流形态的推衍问题 ; 第二个特征是缺乏平滑性 ( no-smoo thing) , 分形总是凹凹凸凸 , 弯弯曲曲的 , 到处都不连续 , 因此缺乏可微分的性质。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比及河长比有关。分枝比越大 , 说明支流越多 , 河网发育的程度越好 , 其分维也就越大。河
网的分维应介于 1. 0与 2. 0之间 , 当 D 接近 2时 , 即认为河网水系充满了整个流域平面。
3 方法的应用
海河流域总面积达 31. 79× 104 km2 , 它源 于太行山蜿蜒曲折。西部与黄土高原接壤 , 北部 与内蒙草原及东北山丘平原相连 ,南界黄河 ,东 监渤海。流域内包括湾河、 永定河、 子牙河及大 清河等水系 (图 1)。 流域形态特征的分维研究 是在 1∶ 10万的流域图上进行。 3. 1 河长的分维
=
L 1 RBK- 1
( 2-20)
4期 冯 平等: 河流形态特 征的分维计算方法
3 27
其中
L1 = LK ( 1 /RL )K- 1
( 2-21)
将式 ( 2-21) 两边取对数 , 并代入式 ( 2-20) 得
∑ L = L 11
( logRB
/logRL )
( 2-22)
and lnr0 for riv er netwo rks
从表 1结果可见 , 二者的吻合较好 , 这说明按河系定律法估算河长分维也是可行的。 从计
图 2 河 长的 lnN ( r0 ) ～ lnr0 关系线
图 3 河网的 lnN ( r0 ) ～ lnr0 关系线
Fig . 2 Relatio nship betw een lnN ( r0 )
Fig. 2 Rela tio nship betw een lnN ( r0 )
and lnr0 for riv er leng th
对于计算网格法 , 是选择不同的比例尺比 值 , 对各水系的河长进行实际测量 , 然后按式 ( 2-6) 给出各水系河长的分维 , 结果见表 1。 图 2给出的是比例 尺比值 r0 与河 长测量次数 N ( r0 ) 的关系线。 而对于河系定律法 , 是先在各 流域图上 ,统计出各水系的河流参数 , 然后按式 ( 2-16) 便可以估算出河长的分维 (表 1)。
加不规则 , 但相对面积而言 , 因不规则而增加与减少的面积可能近似相等。 这样流域面积
受比例尺的影响很小 , 理论上应为零。
2. 3 河网 河网是由干流及其支流组成的网络系统。干流有许多支流 , 每条支流又有各自的支流。
这种分枝现象直观上说是一种典型的自相似性 , 可以进行分形分析 [ 9]。河网分维的估算和河
河流分枝比、 长度比和面积比 ; K为河流的最高级。 对高河长 L 和流域面积 A 的关系 , 通
常采用下列形式 [6 ]
L ～ AT
( 2-11)
式中参数 T与河长分维 d 的关系 , M andelbro t 取为 [3 ]
d = 2T
( 2-12)
这样若测量河长的比例尺比值取为 X时 , 由式 ( 2-7) 有
长一样 , 一种方法仍是依据基本定义的计算网格法 , 另一种方法是从河系定律出发。
2. 3. 1 河网分维的计算网格法 河网的形态特征一般用河网密度来表示 ,它是河网的干支
流的总长度与流域面积的比值。 即
K
DR = ∑ L ( k ) /A k= 1
( 2-17)
前面分析已说明 , 分形特征对流域面积是没有影响的 , 这样只要给出干支流总长度的分维 ,
-
1
1
( 2-19)
Sma rt 曾统计了数百条河流 , 发现 RB 值在 3. 0～ 3. 5, RL 值在 1. 5～ 3. 5, 因此对于一般河
流 RB /RL 通常大于 1. 0[10 ]。 当比例尺比值趋近于 0时 , K会趋向∞ , 这样便有
∑ L=
L 1 RLK- 1
RB RL
K- 1
2 河流形态的分维
2. 1 河长 2. 1. 1 河长分维的计算网格法 这是一种利用分形基本定义来确定分维的方法。当要测量 某一河长时 , 可在某一比例尺的流域图上 , 采用一定长度的尺子沿河流测量 , 然后由测量
来稿日期: 1996-01; 收到修改稿日期: 1996-05。
4期 冯 平等: 河流形态特 征的分维计算方法
( 2-16)
此式表明河长的分维是河流的河长比和面积比的函数 , 而与河流的分枝比无关。 有些文献 [ 7, 8] 等用此式来确定河网的分维似乎是不恰当的。
2. 2 流域面积
关于分形特性对流域面积的影响 , 可以认为符合 M andelbro t 在 1983年的假设 ,亦即流
域面积随流域图比例尺的变化很小。 因为虽然更大比例尺的流域图会使流域的边界显得更
2. 3. 2 河网分维的河系定律法 由 Ho rt on河系定律可得 k 级河流的总长
L (k) = Nk
Lk =
L1 RLk-
R1 Kb
k
( 2-18)
若将河网中各级河流的总长加起来 , 便得整个河网干支流的总长度
K
∑ L = ∑ L(k) = k= 1
L 1 RLK- 1
RB RL
K
-
RB RL
3 25
次数与流域图比例尺的关系 , 就可以确定河流长度。 即
L= N r
( 2-11)
式中 L 是河长 , N 是尺子的测量总数 , r 是尺子所代表的实际距离 , 或称比例尺比值。
可以发现使用不同比例尺的流域图 , 或不同长度的尺子会影响河长的测量结果 , 原因
是河道十分不规则 , 不同比例尺的流域图由于忽略河道弯曲程度不同使得河长的测量结果 不同 , 即河流长度是不定的 , 分形理论称为无标度性 ( proper ty o f scale inv ari ant)。当比例 尺比值 r趋近于 0时 ( r0 0) , 应测得到收敛的真正河流长度
图 1 海河流 域示意图 Fig. 1 Sketch o f Haih e Riv er catchment
表 1 海河主要水系河长的分维 Tab. 1 Fractal dimension of river length in Haihe River catchment
水 系
湾 河 永定河 大清河 子牙河
fractal有二个明显的特征重复放大分形的细部又可看到与本身相似结构的再度出现并且这种出现过程具有随机性换句话说分形结构具有尺度不变性只有大小的区别而没有形状上的不同因此河流分形结构的研究可以解决不同尺度下的河流形态的推衍问题
第 52卷第 4期 1997年 7月
地 理 学 报
ACT A GEO GRA PHICA SIN ICA
N0～
r
0
d
( 2-5)
由此式可得分形维数的定义
d=
-
lim
r0 0
l nN ( r0 lnr0
)
可见只要点绘 lnN ( r0) 和 lnr0的关系线 , 通过其直线段的斜率就可估算 d 值。
( 2-6)
由式 ( 2-3) 还可推出
L0 = N 0r0 ～
r 1- d 0
( 2-7)
式 ( 2-6) 通过分维的基本定义 , 利用不同比例尺比值进行测量的计算网格法给出了河长分
V ol. 52, N o. 4 July , 1997
河流形态特征的分维计算方法
冯 平
(天津大学水资源与港湾工程系 , 天津 300072)
冯 焱
(海河水利委员会 , 天津 300170)
提 要 本文运用分形的基本定义及河 系定律探讨了河长和河网结构的分维。海河水系河 长的分维在 1. 01～ 1. 14之间 , 河网的分维在 1. 50～ 1. 69之间。
也就给出了河网密度的分维。 因此类似河长分维的计算网格法 , 利用式 ( 2-6) 就可以给出
河网的分维 D。 即选择不同的比例尺比值 r0 , 对河网中的干支流总长度进行测量 , 可以得
到不同的测量次数 N ( r0) , 然后点绘 lnN ( r0 ) 和 lnr0 的关系线 , 通过直线段的斜率就可 以估算河网的分维 D。
2. 1. 2 河长分维的河系定律法 如果一个水系是按 St rahler分级原则来划分河流级别 ,那
么根据 Ho rt on分析了数百条河流从而总结出的河系定律 , 就有 [1 ]
Nk =
R K- k B
( 2-8)
Lk = L1 RLk- 1
Ak =
A1
R
kA
1
( 2-9) ( 2-10)
式中 N k、 Lk 和 Ak 分别为 K 级河流的数目、 平均河长和平均面积 ; RB、 RL 和 RA 分别为
L (X) = CX1- d [ A (X) ]d /2
( 2-13)
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地 理 学 报 52卷
式中 C为一常量参数。
对于 K级河流 , 据 Ho rto n河系定律 , 由式 ( 2-9) 得流域河长为
K
∑ L (X) =
Lk (X) = L1 (X) ( RLK - 1) /( RL - 1)
k= 1
把此式和式 ( 2-10) 代入式 ( 2-13) , 可解得
d=
2
log
{
[
RLK [K
-
1] / ( RL - 1) } 1] log RA
( -14) ( 2-15)
当 X趋于 0, 则 K会趋于∞ , 并考虑到 d≥ 1, 则有
d = max [ 1, 2 logRL /log RA ]
正是分形理论的创始人 Ma ndelbro t ( 1977) 首先把分形研究引入地理水文学 [3]。 为了 解释自然界中的各种分形现象 , 作为一个例子 , 他通过河流的分形特征给出了河长与流域 面积的关系。随后分形理论被广泛地用于河流形态特征的研究 [4, 5 ]。这也随之产生了河流的 一个新特征量—— 分形维数 ( f ract al dimension) , 简称分维。这项研究在我国尚处在起步阶 段 , 特别是在水文学领域。 一方面 , 水文现象的自相似性给分形理论研究提供了课题 , 另 一方面分形又会促使地理水文科学理论研究的发展。 因此通过河流形态及水文现象时空变 化的分形研究 , 无疑会对解决水文尺度、 水文趋势预测、 区域划分等 , 以及整个地理水文 科学研究提供一条新的途径。