湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测
数学试题
一、单选题
1．已知N n ∈，{}1,1I =-，则“n 为偶数”是“i n I ∈”（i 是虚数单位）的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知集合{}352|A x x x =>-，{}2
5B x x =≤，则A B ⋃=（ ）
A ．[)+∞
B ．[
C ．
D ．)∞+
3．函数)010y x ≤≤的最大值为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
4．某校高一年级有800名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间[)60,80的人数约为（ ）
A ．200
B ．220
C ．240
D ．260
5．已知向量a r ，b r
满足1a =r ，1=r b ，(6a b -=r r ，则,a b =r r （ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
6．已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，3()h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
7．在△ABC 中，G 为△ABC 的重心，若2AC AG =，CG AB ⊥，则cos C =（ ） A ．
1116
B ．
1316
C ．
1114
D ．
914
8．从1，2，3，4，5，6，7，8中选取6个不同的数，其中恰有3个奇数，且第60%分位数为5，则不同的选择方法共有（ ）
A ．3种
B ．4种
C ．5种
D ．6种
二、多选题
9．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A ．1(0,0)e =u r ，2(1,2)e =-u u r
B ．1(1,2)e =-u r
，2(5,7)e =u u r
C ．1(3,5)e =u r
，2(6,10)e =u u r
D ．1(1,1)e =u r
，2(1,1)e =-u u r
10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气中的温度是0θ℃，那么t
分钟后物体的温度()010e kt
θθθθ-=+-．其中k 是一个常数．现有60℃的物体，放在12℃的
空气中冷却，5分钟后物体的温度是36℃，若ln 20.693≈，则下列说法正确的是（ ）
A ．0.14k ≈
B ．0.23k ≈
C ．若15t ≥，则20θ<℃
D ．若15θ<℃，则20t ≥
11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为AD ，1CC ，1DD 的中点，H 为BG 的中点．则下列说法正确的是（ ）
A ．11//C D 平面ABG
B ．1A E ⊥平面ABG
C ．AH ，1B F 互为异面直线
D ．1AA 与平面ABG
三、填空题
12．某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为． 13．设0<a ，若ln(1)ln(1)
()ax x f x x
+-+=
为偶函数，则=a ．
14．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭在区间(]0,π上有最大值，无最小值，则ω的取值
范围为．
四、解答题
15．已知甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为23
，甲、乙都破译成功的概率为1
3
．求：
(1)乙破译密码成功的概率p ； (2)恰有1人破译成功的概率； (3)密码破译成功的概率．
16．在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数为142i
i 1i
z +=
--． (1)求||OA u u u r
的值；
(2)若1z 是关于x 的方程()2
0,R x bx c b c ++=∈的一个根，求b ，c 的值；
(3)已知23i z =+，复数z 对应的点为P ，且12z z z z z =-=-．说明点P 的集合是什么图形，并求图形的面积．
17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos 2sin()6cos C B A
-=．
(1)求角A ；
(2)若6c =，BC 边上的中线AD BC 边上的高．
18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为BC 的中点，且AD PE ⊥.
(1)求证：PAD PDA ∠=∠；
(2)若四棱锥P -AED AB 与PE 所成角为30°，求二面角P -AD -E 的正切值.
19．若对I x ∀∈，()()f x f x ϕϕ+-<，则称函数()f x 为I 上的ϕ-函数． (1)设()0,I m ∈，()πsin 2f x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，若()f x 为I 上的1-函数，求m 的最大值；
(2)若()3
f x x x =-为R 上的ϕ-函数，求ϕ的取值范围；
(3)若()()1
02
f x
g x <<<，且()f x ，()g x 均为R 上的ϕ-函数，求证：()()f x g x 也为R 上的ϕ-函数．。