2022年清华大学自强计划数学试题及参考答案

2022年清华大学自强计划数学试题及答案解析
1.已知432
()f x x ax bx cx d =++++且满足(1)5,(2)10,(3)15f f f ===，求(8)+(4)f f -值。

2.用数字1，2，3组成一个六位数，且数字1不相邻的排法有多少种？
3.已知正方体'
'''
ABCD A B C D -的棱长为1，点,M N 分别为线段'
,AB AC 上的动点，点T 在屏幕''BCC B 内，求MT NT +的最小值.
4.已知正四面体D ABC -的边长为8，点P 和点Q 分别在边AB 和AC 上，且满足1,2AP AQ ==，点T 在AD 上，求使得PQD ∆为直角三角形的点T 的个数.
5.已知,A B 分别为椭圆C ：2
212
x y +=的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点，
满足PA PB λ=且2PBA PAB ∠=∠，求λ的值.
答案解析
1.解：不妨令()()4
x x f x g -=，则有：
()()()⎪⎩
⎪⎨⎧-=+++=-=+++==+++=6633336222241232
3d c b a g d c b a g d c b a g ，我们注意到：()()()()4
4
4
84848++-+=-+g g f f 4352
2480448++++=d c b a ()()()2450
4352336270136=++-=g g g 2.解：我们注意到1的后面只能是2或3，有两种选法，2和3的后面可以是1,2,3，又三种选法，∴我们可得到下表（其中第一行是数码，其余为方法数）.
由表可得共有120+164+164=448种排法.
注：此处我们考虑的是这个6位数不一定将数码1,2,3全用完.
3.解：如图，设点A 关于BC 的对称点为E ，点N 关于BC 的对称点为F .记d 为异面直线B A '与CE 之间的距离，则
d MF FT MT NT MT ≥≥+=+.
以D 为原点建立坐标系，则
()110，，=AB ，()011，，=CE ，()020，，=AE .
于是由公垂线长度的向量公式有：
()3
3
2=
⨯'⋅⨯'=
CE
B A AE
CE B A d .故当且仅当N T M ,,三点共线且为异面直线B A '与CE 之间公垂线时，NT MT +取得最小值
3
3
2.1
23第1位数111第2位数233第3位数688第4位数162222第5位数446060第6位数
120
164
164
4.解：易得32
=PQ ，不妨设x AT =，则在ATP ∆中，由余弦定理可得：
160cos 22222+-=︒⋅-+=x x AP AT AP AT PT .
同理在ATQ ∆中有：4260cos 22222
+-=︒⋅-+=x x AQ AT AQ AT QT
.
①若︒=∠90TPQ 时，则0222=⇒+=x PQ PT QT .②若︒=∠90TQP 时，则6222=⇒+=x PQ QT PT
.
③若︒=∠90PTQ 时，则02322
2
2
2
=+-⇒+=x x PT QT PQ ，方程无解.于是使得PQD ∆为直角三角形的点T 的个数为2.5.解：不妨设α=∠P AB ，β=∠P AB ，由椭圆的第三定义
()2
1tan tan 21tan tan =⇒-
=⋅=-βαβπαPB P A k k .∴2
1
tan 1tan 2tan 2tan tan tan tan 2=
-⋅==αααααβα，
即1tan 52
=α，∴5
1tan 2
=α.在P AB ∆中，
αα
α
αβλcos 2sin 2sin sin sin ===
=
PB
P A .从而3
10
1tan 4cos sin cos 4cos 42
2222
2
=+=+==αααααλ.∴3
30=
λ.。