安徽省2014年中考数学真题试卷(含答案和解析)

2014年安徽省初中毕业学业考试
数学
(满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.(-2)×3的结果是()
A.-5
B.1
C.-6
D.6
2.x2·x3=()
A.x5
B.x6
C.x8
D.x9
3.如图,图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的,则该几何体的俯视图是()
A B C D
4.下列四个多项式中,能因式分解的是()
A.a2+1
B.a2-6a+9
C.x2+5y
D.x2-5y
5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量,其长度x(单位:mm)的数据分布如下表,则棉花纤维长度的数据在8≤x<32这个范围内的频率为()
A.0.8
B.0.7
C.0.4
D.0.2
6.设n为正整数,且n<<n+1,则n的值为()
A.5
B.6
C.7
D.8
7.已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为()
A.-6
B.6
C.-2或6
D.-2或30
8.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为()
A. B. C.4 D.5
9.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA 的距离为y,则y关于x的函数图象大致是()
A B C D
10.如图,正方形ABCD的对角线BD长为2,若直线l满足:①点D到直线l的距离为;②A,C两点到直线l的距离相等,则符合题意的直线l的条数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.据报载,2014年我国将发展固定宽带接入新用户25 000 000户,其中25 000 000用科学记数法表示为.
12.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=.
13.方程-
=3的解是x=.
-
14.如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF.则下列结论中一定成立的是.(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF=∠BCD;
②EF=CF;
③S△BEC=2S△CEF;
④∠DFE=3∠AEF.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:-|-3|-(-π)0+2 013.
16.观察下列关于自然数的等式:
32-4×12=5;①
52-4×22=9;②
72-4×32=13;③
…
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第④个等式:92-4×()2=();
(2)写出你猜想的第个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点).
(1)将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为点A1,B1,C1);
(2)请画一个格点三角形A2B2C2,使△A2B2C2∽△ABC,且相似比不为1(点A,B,C的对应点分别为点A2,B2,C2).
18.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”形道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,在☉O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与☉O的交点.若OE=4,OF=6,求☉O的半径和CD的长.
20.2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准,共支付餐厨和建筑垃圾处理费5 200元.从2014年元月起,收费标准上调为:餐厨垃圾处理费100元/吨,建筑垃圾处理费30元/吨,若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化,就要多支付垃圾处理费8 800元.
(1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨?
(2)该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨,且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍,则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元?
六、(本题满分12分)
21.如图,管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1.
(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?
(2)小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,C1三个绳头中随机选两个打一个结.求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.
七、(本题满分12分)
22.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.
八、(本题满分14分)
23.如图(1),正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB交AF于点M,作PN∥CD交DE于点N.
图(1)图(2)图(3)
(1)①∠MPN=°;
②求证:PM+PN=3a;
(2)如图(2),点O是AD的中点,连接OM,ON.求证:OM=ON;
(3)如图(3),点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由.
2014年安徽省初中毕业学业考试
1.C【解析】两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,故(-2)×3=-6.
2.A【解析】同底数幂的乘法,底数不变,指数相加,故x2·x3=x2+3=x5.
3.D【解析】俯视图是从物体的正上方观察物体所得到的平面图形,圆柱沿竖直方向切掉一半后,俯视图是半圆,故选
D.
4.B【解析】在选项B中,利用完全平方公式因式分解可得a2-6a+9=(a-3)2,选项A,C,D中的多项式都不能因式分解,故选项B符合题意.
5.A【解析】根据统计表可知,棉花纤维长度在8≤x<32这个范围内的频数为2+8+6=16,所以频率为=0.8.故选A.
6.D【解析】因为<<,所以8<<9,即8<<8+1,所以n=8.故选D.
7.B【解析】由已知条件,可得x2-2x=3,所以2x2-4x=2(x2-2x)=2×3=6.故选B.
8.C【解析】设BN=x,则DN=AN=9-x,BD=BC=3,在Rt△BND中,根据勾股定理,可得BN2+BD2=DN2,即x2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.故选C.
9.B【解析】当点P在AB上移动时,点D到直线PA的距离等于AD的长,即y=4,此时x的取值范围为0<x≤3;当点P在BC上移动时,根据三角形面积公式,可得S△APD=AP×y=xy=×3×4,所以y=(3<x≤5).综上所述,选项B符合题意.
10.B【解析】由条件①可知:以点D为圆心,为半径作圆,圆的切线即为满足条件①的直线l.连接AC,综合条件
①②可知:直线l为☉D的切线且与AC平行.如图,由图可知有2条直线满足条件.
11.2.5×107【解析】科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,故a=2.5,n的值为原数的整数位数减1,
7
12.a(1+x)2【解析】根据题意,二月份研发资金为a(1+x)元,三月份研发资金为a(1+x)(1+x)元,所以研发资金y关于x 的函数关系式为y=a(1+x)2.
13.6【解析】去分母,可得4x-12=3x-6,移项、合并同类项,可得x=6.检验:当x=6 时,x-2=6-2=4≠0,所以x=6是该分式方程的解.
14.①②④【解析】如图,过F作FH∥AB,交BC于点H,CE于点O.因为AD=2AB,点F是AD的中点,所以点H是BC的中点,所以DF=CH=CD.又因为DF∥CH,所以四边形CDFH是菱形,所以CF平分∠BCD,故①正确.延长EF,CD交于点G,因为AB∥CG,所以∠ECG=∠BEC=90°,∠A=∠FDG,∠AEF=∠G.又因为AF=DF,所以△AEF≌△DGF,所以
EF=FG.在Rt△ECG中,CF是EG边上的中线,所以EF=CF,故②正确.因为EF=FG,所以S△CEF=S△CFG.因为
△AEF≌△DGF,所以S△AEF=S△DGF,所以2S△CEF=S△CEF+S△CFG=S△CEF+S△CDF+S△AEF=S梯形AECD>S平行四边形ABCD,而
S△BEC<S平行四边形ABCD,所以S△BEC<2S△CEF,故③错误.由题意可知FH∥AB,所以∠AEF=∠EFH,∠EOF=∠BEC=90°.又因为EF=CF,所以OF垂直平分CE,容易证明Rt△EOF≌Rt△COF,所以∠EFH=∠CFH.由四边形CDFH是菱形,可得
∠CFH=∠CFD,所以∠AEF=∠EFH=∠CFH=∠CFD,即∠DFE=3∠AEF,故④正确.
15.【参考答案及评分标准】原式=5-3-1+2 013(6分)
=2 014.(8分)
16.【参考答案及评分标准】(1)417(4分)
(2)第个等式为(2n+1)2-4×n2=4n+1.
因为左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边,
所以第个等式成立.(8分)
17.【参考答案及评分标准】(1)△A1B1C1如图所示.(4分)
(2)本题是开放题,答案不唯一,只要作出的△A2B2C2满足条件即可.(8分)
18.【参考答案及评分标准】如图,过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E,过点E作l1的垂线与l1,l2分别交于点H,F,则HF⊥l2.
由题意知AB⊥BC,BC⊥CD.
又AE⊥AB,
∴四边形ABCE为矩形.
∴AE=BC,AB=EC.(2分)
∴DE=DC+CE=DC+AB=30+20=50(km).
又AB与l1成30°角,易得∠EDF=30°,∠EAH=60°.
在Rt△DEF中,EF=DEsin 30°=50×=25(km),(5分)
在Rt△AEH中,EH=AEsin 60°=10×=5(km),
∴HF=EF+HE=(25+5)km,
即两高速公路间的距离为(25+5)km.(8分)
归纳总结运用三角函数解决实际问题时,注意要在直角三角形中求解,根据已知条件选择合适的三角函数.当图形中没有直角三角形时,则根据实际情况构造直角三角形.
19.【参考答案及评分标准】∵OC为小圆的直径,
∴∠OFC=90°,
∴CF=DF.(2分)
∵OE⊥AB,
∴∠OEF=∠OFC=90°.
又∠FOE=∠COF,
∴△OEF∽△OFC,
∴=.
∴OC===9.(7分)
又CF=-=-=3,
∴CD=2CF=6.(10分)
20.【参考答案及评分标准】(1)设2013年该企业处理的餐厨垃圾为x吨,建筑垃圾为y吨,根据题意,得
(3分)
解得
即2013年该企业处理的餐厨垃圾为80吨,建筑垃圾为200吨.(5分)
(2)设2014年该企业处理的餐厨垃圾为m吨,建筑垃圾为n吨,需要支付的这两种垃圾处理费是z元.
根据题意,得m+n=240且n≤3m,解得m≥60.
z=100m+30n=100m+30(240-m)=70m+7 200.(7分)
由于z的值随m的增大而增大,
所以当m=60时,z最小,
最小值为:70×60+7 200=11 400(元).
即2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11 400元.(10分)
21.【参考答案及评分标准】(1)小明可选择的情况有三种,每种情况发生的可能性相等,恰好选中绳子AA1的情况为一种,所以小明恰好选中绳子AA1的概率P=.(4分)
(2)依题意,分别在两端随机任选两个绳头打结,总共有9种情况,每种情况发生的可能性相等.
画树状图如下:
(9分) 其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况,不可能连接成为一根长绳.
所以能连接成为一根长绳的情况有6种:
①左端连AB,右端连A1C1或B1C1;
②左端连BC,右端连A1B1或A1C1;
③左端连AC,右端连A1B1或B1C1.
故这三根绳子能连接成一根长绳的概率P==.(12分)
22.【参考答案及评分标准】(1)本题是开放题,答案不唯一,符合题意即可,如:y1=2x2,y2=x2.(4分)
(2)∵函数y1=2x2-4mx+2m2+1的图象经过点A(1,1),
∴2-4m+2m2+1=1,解得m1=m2=1.
∴y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.(7分)
解法一:∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
∴可设y1+y2=k(x-1)2+1(k>0),
则y2=k(x-1)2+1-y1=(k-2)(x-1)2.
由题可知函数y2的图象经过点(0,5),则(k-2)×(-1)2=5,
∴k-2=5.
∴y2=5(x-1)2=5x2-10x+5.
当0≤x≤3时,根据y2的函数图象可知,y2的最大值为5×(3-1)2=20.(12分)
解法二:∵y1+y2与y1是“同簇二次函数”,
∴y1+y2=(a+2)x2+(b-4)x+8(a+2>0).
∴-=1,化简得b=-2a.
又=1,将b=-2a代入,
解得a=5,b=-10.
∴y2=5x2-10x+5.
当0≤x≤3时,根据y2的函数图象可知,y2的最大值为5×32-10×3+5=20.(12分)
23.【参考答案及评分标准】(1)①60(2分)
②证明:如图(1),连接BE交MP于H点.
在正六边形ABCDEF中,PN∥CD,又BE∥CD∥AF,
所以BE∥PN∥AF.
又PM∥AB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,△BPH为等边三角形. 所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(5分)
(2)证明:如图(2),连接BE,则BE过点O.
由(1)知AM=EN.又AO=EO,∠MAO=∠NEO=60°,
所以△MAO≌△NEO,所以OM=ON.(9分)
图(1)图(2)图(3)
(3)四边形OMGN是菱形.理由如下.
如图(3),连接OE,OF,由(2)知∠MOA=∠NOE.
因为∠AOE=120°,
所以∠MON=∠AOE-∠MOA+∠NOE=120°.(11分)
由已知OG平分∠MON,所以∠MOG=60°.
又∠FOA=60°,
所以∠MOA=∠GOF.
又AO=FO,∠MAO=∠GFO=60°,
所以△MAO≌△GFO.所以MO=GO.
又∠MOG=60°,所以△MGO为等边三角形.
同理可证△NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形.(14分)。