高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法(一)学案新人教B版必修5(2021学年)

２０1８版高中数学第三章不等式3.3 一元二次不等式及其解法（一)学案新人教B版必修5

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3.3 一元二次不等式及其解法(一）

学习目标１。理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。2.掌握图象法解一元二次不等式。3。体会数形结合、分类讨论思想．

知识点一一元二次不等式的概念

思考我们知道,方程x2=1的解集是{１,-1｝,解集中的每一个元素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗?

梳理 (1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式,称为____＿＿_＿__不等式.

(2)能使不等式成立的未知数ｘ的一个值称为不等式的一个解.

（3）不等式所有解的＿＿＿_＿___称为解集.

知识点二“三个二次”的关系

思考分析二次函数y＝ｘ2-1与一元二次方程ｘ2－1＝0和一元二次不等式x2-１＞０之间的关系.

梳理一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系,如下表．

Δ＝b2－4aｃΔ>0Δ＝0Δ＜０

y=ax2＋bｘ＋ｃ

(a>0)的图象

aｘ2＋bｘ＋c＝0 (a〉0)的根有＿＿＿_______

＿__＿___＿__

有____＿_＿___

_＿________

没有实

数根

ax2+bｘ＋c＞0 (a〉0)的解集_____＿____

__＿_＿_____

{x|x≠－

＼f(ｂ，2a)}

R

ax2＋ｂx+c〈０

（ａ〉０）的解集

__＿_＿_＿___∅_＿＿_

知识点三一元二次不等式的解法

思考根据上表，尝试解不等式x2＋２>3x.

梳理解一元二次不等式的步骤：

（１）化为基本形式ax2+bx＋c〉0或ax２+ｂx+c〈0（其中a〉０);

（2)计算Δ=b2-４ac,以确定一元二次方程ax2＋bｘ+c=0是否有解；

（3)有根求根;

(4)根据图象写出不等式的解集．

类型一一元二次不等式的解法

命题角度１二次项系数大于0

例１求不等式4x2-4ｘ＋1〉0的解集．

反思与感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.

跟踪训练１求不等式２x2-3x－２≥０的解集.

命题角度２二次项系数小于０

例2 解不等式-x2+2x-３〉0。

反思与感悟将－x2+2x-3〉0转化为ｘ2－２ｘ＋３〈0的过程注意符号的变化,这是解本题关键之处．

跟踪训练2 求不等式－3ｘ2＋6x>2的解集.

命题角度3 含参数的二次不等式

例３解关于x的不等式ax2-（a＋１）x＋1<0。

反思与感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.

跟踪训练3 解关于x的不等式（x-a)(x－a2）＜0.

类型二“三个二次”间对应关系的应用

例4 已知关于x的不等式x2+aｘ+ｂ〈0的解集为{x｜1<x＜2｝，试求关于x的不等式bx2＋ax ＋1〉0的解集．

反思与感悟给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口及与ｘ轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.

跟踪训练4 已知不等式ax2-bx+２〈0的解集为{ｘ|1＜x＜2},求a，ｂ的值.

1.不等式2x2-x－1〉0的解集是( )

A。错误! B.{x|x＞1}

C．{x|x＜１或x>2｝ﻩＤ.错误!

2.不等式-6x2-x+2≤0的解集是( )

Ａ。错误!ﻩB。错误!

C.错误!ﻩD。错误!

3.不等式ｘ2+x－2<０的解集为__＿_＿________＿_____＿＿_________＿____＿___＿___. 4．若不等式(a－2)x2+2(ａ-２)ｘ－4〈0的解集为R,求实数a的取值范围.

1.解一元二次不等式的常见方法

(1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤：

①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0（a〉0）或aｘ2+ｂx＋ｃ<０(ａ>0）;

②求方程ax2＋ｂx＋c=0(a＞０)的根，并画出对应函数y＝aｘ２+bx＋c图象的简图;

③由图象得出不等式的解集．

（2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．

当m＜ｎ时,若(x－m)（x－n）＞0，则可得x＞n或ｘ〈ｍ;

若(ｘ-m)(x－n）<0，则可得ｍ<ｘ<n。

有口诀如下：大于取两边,小于取中间.

2．含参数的一元二次型的不等式

在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑:

（１)关于不等式类型的讨论：二次项系数ａ〉0，a<0,a＝0.

(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ〉０）,一根(Δ＝0），无根(Δ<0）．

(３)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x２，x1＝x２，x1<x2。

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