中考数学专题复习 二次函数背景下的平行四边形的存在性问题

专题二二次函数背景下的平行四边形的存在性问题
知识梳理
平行四边形的存在性问题是分类讨论中的一大难点。

此类题目多在直角坐标平面内，辅以二次函数为背景.一般会根据两个或者三个定点,在某个特定的位置上找另两个顶点或者第四个顶点，这样的顶点往往不止一个,需要仔细考虑解题策略,如:若已知两点构成的线段是平行四边形的一边或者对角线.如何利用平行四边形的性质确定出其他的顶点的位置，否则在分类时就容易漏解.
【典型例题】
【例1】如图.抛物线y= ax2 +bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A(1，0)、
B (4，0)，∠OCA=∠OBC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、
C为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐
标.
[思路分析]本题在平行四边形分类讨论中已经有三个点是定点,则第四个顶点可利用平行四边形两组对边分别平行的方法去找，AC，AB，BC中任意两边可作为平行四边形的邻边，分别作这两邻边的平行线，它们的交点就是所求的平行四边形的第四个顶点.
解：
当CA和CB为平行四边形的邻边时，M在第四象限，BH=AO=1,M,=−2
所以M3(5, −2)
综上所述:M点的坐标为M1(3，2)或M2(−3，2)或M3(5， −2).
[点评]M1，M2的坐标相对易求得，而M3的坐标利用平行四边形的性质:对角顶点到对角线距离相等或者三角形全等求得M3的坐标.
【例2】如图，抛物线y=ax2+ 2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A和点B分别在x轴的正、负半轴上)，cot∠OCA = 3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平行于x轴的直线l与抛物线交于点E, F(点F在点E的
左边)，如果四边形OBFE是平行四边形,求点E的坐标.
[思路分析]由题意得BO不可能是平行四边形的对角线,所
以只可能OB = EF =3,又因为EF被对称轴平分,根据对称轴的
方程便能求得点E的坐标
[点评]本题借助于抛物线的一条重要性质：抛物线关于对称轴对称.因为EF // AB，所以E，F关于对称轴对称,同时线段EF被对称轴垂直平分.
【例3】如图,抛物线y= ax2+ bx +3与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，tan∠OCA =1 3
S△ABC = 6.
(1)求点B的坐标;解：
(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上,如果A, C, E, F 构成平行四边形,写出点E 的坐标。

[思路分析]本题构成平行四边形的四个点中有两个点是定点，一种比较直观的分类方法是:从已知的线段AC 开始，一种情况AC 是平行四边形的一边.则点F 有两种可能:在轴的上方或者下方,在x 轴上方F 有一个点，在x 轴下方F 有两个点，另一种情况是AC 是平行四边形的对角线，则EF 是另一条对角线,它们互相平分.
（3）如图
(点评] 此类题目还有一种简单实用的方法找到AC 为平行四边形的一边时，E, F 的位置. 拿一段和AC 长度相等的牙签代表AC 边的对边EF ,牙签的一端放在x 轴上代表E 点,
左
解：
右平移且始终保持与AC平行,当另一端在抛物线上时就是F点,在x轴的上下方各来回平移一次.
【练习题】
1.已知抛物线y=ax2+(a− 1
3)x−
4
3的开口向下，它与x轴交于点A和点B，与y轴交于
点C.
(1)求证:点A(−1, 0)在抛物线上;
(2)点P是该抛物线对称轴上一点，它的纵坐标为−4
3，如果A、B、C、P四个点组成一个
平行四边形,求a的值.
2.如图,抛物线y= x2−2x−3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2.
(1)求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的4个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系xOy中，O为原点,点A，C的坐标分别为(2，0)，(1，3√3).将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y= ax2− 2√3x经过点A，点D是该抛物线的顶点.
(1)求证:四边形A BCO是平行四边形;
(2)求a的值并说明点B在抛物线上;
(3)若点P是线段OA上一点,且∠APD=∠OAB，求点P的坐标;
(4)若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标.
4.已知:如图所示，二次函数y= 3x2− 3的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C。

直线x= 1+m (m>0)与x轴交于点D.
(1)求A, B, C三点的坐标;
(2)在直线x= 1 +m (m>0)上有一点P(点P在第一象限),使得以P, D, B为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似，求P点的坐标(用含m的代数式表示).
(3)在(2)成立的条件下.试问:抛物线y= 3x2− 3上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ 为平行四边形?如果存在这样的点Q.请求出m的值:如果不存在.请简要说明理由.
5.如图，抛物线的顶点为A(2, 1). 且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O，C，D，B四点为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标.
6.如图,直线y=√3
3
x+b经过点B(−√3，2)，且与x轴交于点A，将抛物线y=
1
3x2沿x
轴作左右平移,记平移后的抛物线为C，其顶点为P.
(1)求∠BAO的度数;
(2)抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF//x 轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式;
(3)在抛物线y=1
3x2平移过程，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛
物线C上?如能，求出此时抛物线C的顶点P的坐标;如不能,说明理由.
7.如图,在平面直角坐标系中,直线y= kx + b分别与x轴负半轴交于点A，与y轴的正半轴
交于点B，圆P经过点A，点B(圆心P在x轴负半轴上),已知AB= 10, AP = 25 4
(1)求点P到直线AB的距离;
(2)求直线y= k x +b的解析式;
(3)在圆P上是否存在点Q，使以A, P, B, Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
8.如图,已知点A(0, 8), 以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形，且顶点B，C，D在
抛物线抛物线y=1
2
x2上，AD //x轴点D在第一象限
(1)求BC的长;
(2)若点P是线段CD上一动点，当点p运动到何位置时,△DAP的面积是7.
(3)联结AC, E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将平行四边形ABCD 分成面积相等的两部分?并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式
9.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A, B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A, B, C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)联结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点p为线段BC上的一个动点,过点P作PF // DE 交抛物线于点F ,设点P的横坐标为m;
用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四
边形?
10.如图10- 17,已知抛物线y= ax2−ax−b(a> 0)与x轴的一个交点为B(−1, 0),与y轴的负半轴交于点C,顶点为D,且∠ACD=90°.
(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B, A, F, E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标.
11.已知:如图所示,关于x的抛物线y = ax2+x+c (a≠0)与x轴交于点
A(−2, 0)、点B(6, 0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标,并求出直线AD 的解析式;
(3)在(2)中的直线AD交拋物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q，是否存在以A. M, P, Q为顶点的平行四边形?如果存在.请直接写出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.
12.如图.已知二次函数图像的顶点坐标为C(1, 0),直线y=x+m与该二次函数的图像交于A, B两点,其中A点的坐标为(3, 4)，B点在y轴上.
(1)求m的值及这个二次函数的关系式;
(2) P为线段AB上的一个动点(点P与A, B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于点E,设线段PE的长为h,|点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P ,使得四边形DCEP是平行四形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.。