2024学年安徽省阜阳市颍河中学高考模拟信息卷(押题卷)数学试题(七)试卷

2024学年安徽省阜阳市颍河中学高考模拟信息卷（押题卷）数学试题（七）试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()
e ()
x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a
f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )
A ．20,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．2,03
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．[0,)+∞
D ．(,0]-∞
2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“
”表示一个阳爻，“
”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳
爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）
A ．
1
3
B ．
12
C ．
23
D ．
34
3．已知α是第二象限的角，3
tan()4
πα+=-
，则sin 2α=( ) A ．
1225
B ．1225-
C ．
2425
D ．2425
-
4．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27
B ．33
C ．39
D ．44
5．已知点()2,0A 、()0,2B -．若点P 在函数y x =
PAB △的面积为2的点P 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝
7．已知命题p ：,x R ∃∈使1
sin 2
x x <
成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1
sin 2x x ≥
均成立 B ．,x R ∀∈1
sin 2x x <
均成立 C ．,x R ∃∈使1
sin 2
x x ≥成立
D ．,x R ∃∈使1
sin 2
x x 成立 8．已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
4
3
B ．
53
C ．
54
D ．
32
9．已知双曲线22
22:1(0,0)x y a b a b
Γ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B
两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）
A ．
17
3
B ．
32
C ．
53
D ．
102
10．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．
35
B ．45
-
C ．
45
D ．
35
11．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3
B ．
2 C ． 33D ． 22
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知()6ax b +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与18-，则()6
ax b +展开式所有项系数之和为______.
14．3
6
(2)x x -+的展开式中的常数项为______.
15．已知函数229,1,()4
,1,
x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是_________ 16．设x ∈R ，则“38x >”是“2x >”的__________条件.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝1，AA 1＝2，E ，F ，G 分别是棱AA 1，AC 和A 1C 1的中点，以{}
,,FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz .
（1）求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； （2）求二面角F-BC 1-C 的余弦值． 18．（12分）设33
()(4)log (01).11
a f x a x x a a a a =--
+>≠--且 （1）证明:当4a =时，()ln 0x f x +≤；
（2）当1x ≥时()0f x ≤，求整数a 的最大值.（参考数据：20.69,3 1.10ln ln ≈≈，5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈） 19．（12分）已知函数()ln f x x x x =+，()x x
g x e
=
. （1）若不等式()()2
f x
g x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.
（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()00,1,
,,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩
若存在1x ，()21,x ∈+∞，12x x <，使得
()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.
20．（12分）已知函数2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，其中a R ∈. （1）函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，求实数a 的值； （2）若函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <. ①求实数a 的取值范围； ②求证：()()12100f x f x ++>.
21．（12分）如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平
分
.
（1）求的值； （2）设是直线
上一点，直线
交抛物线于另一点
，直线
交直线
于点，求
的值.
22．（10分）已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=1． （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：
12222b b ++…1()2
n n n b a n N *
+=+∈，求{b n }的前n 项和． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【题目详解】
令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0x
g x e f x f x ''=+>，
又()()()()x
x g x e
f x e f x
g x --=-==，所以()g x 为偶函数，
从而()()211a
e f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a e f a e f a g a g a +++≥++≥+，
因此2
2
(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3
g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【题目点拨】
本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 2、B 【解题分析】
基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【题目详解】
解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，
取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率31
62
P ==. 故选：B. 【题目点拨】
本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题． 3、D 【解题分析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【题目详解】 因为3tan()4
πα+=-
, 由诱导公式可得,sin 3
tan cos 4
ααα==-, 即3
sin cos 4
αα=-
, 因为22sin cos 1αα+=, 所以2
16cos 25
α=
, 由二倍角的正弦公式可得,
23
sin 22sin cos cos 2
αααα==-,
所以31624sin 222525
α=-⨯=-. 故选:D 【题目点拨】
本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题. 4、B 【解题分析】
利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得
111116+)
11(11332
a a S a =＝＝
【题目详解】
解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，
63a ∴＝．
n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)
11(11332
a a S a =＝＝．
故选：B ． 【题目点拨】
本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.
(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，． (2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-. 5、C 【解题分析】
设出点P 的坐标，以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于
a 的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【题目详解】
设点P
的坐标为(a ，直线AB 的方程为122x y
-=，即20x y --=， 设点P 到直线AB 的距离为d
，则11
222
PAB
S
AB d d =⋅=⨯=
，解得d =
另一方面，由点到直线的距离公式得d =
=
整理得0a =或40a =，0a ≥，解得0a =或1a =或a =
综上，满足条件的点P 共有三个． 故选：C. 【题目点拨】
本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题． 6、B 【解题分析】
解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ． 7、A 【解题分析】
试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2
x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题. 8、B 【解题分析】
由题意得出22b a 的值，进而利用离心率公式e =可求得该双曲线的离心率. 【题目详解】
双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得2
22416
39
b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
因此，该双曲线的离心率为5
3
c e a ====. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于
基础题. 9、D
【解题分析】
设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案. 【题目详解】
设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，
AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，
'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()222
3242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()
()2
2
2
23c a a =+，故2252
c a =，故10
2e =. 故选：D .
【题目点拨】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10、D 【解题分析】
利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【题目详解】
解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫
=+=+=+
⎪⎝⎭
，其中，3sin 5α=，4cos 5α=，
故当22
k π
θαπ+=-
()k ∈Z ，即2()2
k k Z π
θπα=-
-∈时，函数取最小值()5f
θ=-，
所以3
cos cos(2)cos()sin 2
25
k π
π
θπααα=--=-
-=-=-， 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题． 11、B 【解题分析】
计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【题目详解】
由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，
因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 12、C 【解题分析】
直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果． 【题目详解】
如图，直线过定点（0，1），
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，
∴由对称性可知 故选C ． 【题目点拨】
本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、64 【解题分析】
由题意先求得,a b 的值，再令1x =求出展开式中所有项的系数和. 【题目详解】
()
6
ax b +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与18-，
4426135C a b ∴⋅⋅=，5
5618C a b ⋅⋅=-，
由两式可组成方程组42515135618
a b a b ⎧=⎨=-⎩，
解得1,3a b ==-或1,3a b =-=，
∴令1x =，求得()6
ax b +展开式中所有的系数之和为6264=.
故答案为：64 【题目点拨】
本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题. 14、160 【解题分析】
先求6
(2)x +的展开式中通项，令x 的指数为3即可求解结论.
【题目详解】
解：因为6
(2)x +的展开式的通项公式为：666622r r r r r r C x x C --=⋅⋅⋅⋅；
令6r 3-=，可得3r =；
36(2)x x -∴+的展开式中的常数项为：33
6
2160C ⋅=. 故答案为：160. 【题目点拨】
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，属于基础题．
15、2a ≥ 【解题分析】
1x >，可得()f x 在2x =时，最小值为4a +，
1x ≤时，要使得最小值为()1f ，则()f x 对称轴x a =在1的右边，
且()14f a ≤+，求解出a 即满足()f x 最小值为()1f . 【题目详解】 当1x >，()4
4f x x a a x
=+
+≥+，当且仅当2x =时，等号成立. 当1x ≤时，()2
29f x x ax =-+为二次函数，要想在1x =处取最小，则对称轴要满足
1x a =≥
并且()14+f a ≤，即1294a a -+≤+，解得2a ≥. 【题目点拨】
本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题. 16、充分必要 【解题分析】
根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系. 【题目详解】
当38x >时，有2x >，故“38x >”是“2x >”的充分条件. 当2x >时，有38x >，故“38x >”是“2x >”的必要条件. 故“38x >”是“2x >”的充分必要条件， 故答案为：充分必要. 【题目点拨】
本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）
4.（2. 【解题分析】
（1）先根据空间直角坐标系，求得向量AC 和向量BE 的坐标，再利用线线角的向量方法求解. （2）分别求得平面BFC 1的一个法向量和平面BCC 1的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解. 【题目详解】
规范解答 （1） 因为AB ＝1，AA 1＝2，则F (0，0，0)，A 1,0,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 1,0,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，
B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E 1,0,12⎛⎫
⎪⎝⎭， 所以AC ＝(－1，0，0)，BE
＝1,,122⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
记异面直线AC 和BE 所成角为α，
则cosα＝|cos 〈,BE AC 〉|
1|1|
-⨯
， 所以异面直线AC 和BE
所成角的余弦值为
4
. （2） 设平面BFC 1的法向量为m = (x 1，y 1，z 1)．
因为FB
＝⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1FC ＝1,0,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭， 则1111
3
02120
2m FB y m FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨
⎪⋅=-+=⎪⎩
取x 1＝4，得平面BFC 1的一个法向量为m ＝(4
，0，1)． 设平面BCC 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．
因为CB ＝
1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1CC ＝(0，0，2)，
则22121022
n CB x y n CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪
⋅==⎩
取x 2得平面BCC 1的一个法向量为n ＝，－1，0)，
所以cos 〈,m n
根据图形可知二面角F-BC 1-C 为锐二面角， 所以二面角
F-BC 1-C . 【题目点拨】
本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
18、（1）证明见解析；（2）5a =. 【解题分析】
（1）将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+，构造函数()ln 1g x x x =-+，求得()g x '并令()0g x '=，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立，即不等式得证. （2）对函数求导，变形后讨论当1a >时的函数单调情况：当
()()413ln a a a
--≤时，可知满足题意；将不等式化简后
构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为()3g ，分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号，即可确定整数a 的最大值；当()()413ln a a a
-->时不满足题意，因
为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论. 【题目详解】
（1）证明：当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+， 令()ln 1g x x x =-+，()0,x ∈+∞， 则()111x g x x x
-'
=
-=， 令()0g x '=解得1x =，
当()0,1x ∈时()0g x '>，所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增， 当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110g
x g ==-+=，
则()ln 10g x x x =-+≤，即()ln 0x f x +≤成立.
（2）函数33()(4)log (01).11
a f x a x x a a a a =--
+>≠--且 则
()()()41343
ln (),1ln 1
1ln a a x
a a
f x x x a a x a a
----'=
-=≥--，
若1a >时，当
()()413ln a a a
--≤时，()0f x '<，则()f x 在[)1,+∞
时单调递减，所以()()10f x f ≤=，即当1x ≥时
()0f x ≤成立；
所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪
--⎨≤⎪
⎩
的整数解即可，
将不等式化简可得2543ln a a a -+≤， 令()2543ln ,1g a a a a a =-+->
则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a
+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =，
当()1,3a ∈时()0g a '<，即()g a 在()1,3a ∈内单调递减， 当()3,a ∈+∞时()0g a '>，即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增， 所以当3a =时()g a 取得最小值，
则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<，
()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<，
()2555543ln543ln543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<， ()()2665643ln 6103ln 2ln3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>
所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =； 当
()()413ln a a a
-->时，在()()411,2ln a a x a
⎡⎤--∈⎢⎥
⎣
⎦
时()0f x '>，此时()()10f x f >=，与题意矛盾，所以不成立.
因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论， 综上所述，当1x ≥时()0f x ≤，整数a 的最大值为5a =. 【题目点拨】
本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题. 19、（1）
1
e
（2）证明见解析（3）证明见解析 【解题分析】 （1）由题意可得，
ln 1x x a e +≤，令()ln 1
x
x k x e +=，利用导数得()k x 在[)1,+∞上单调递减，进而可得结论； （2）不等式转化为11ln x x x e +
>，令()1ln t x x x =+，()1
x h x e
=，利用导数得单调性即可得到答案； （3）由题意可得0
01ln x x e
=
，进而可将不等式转化为()()1012F x F x x <-，再利用单调性可得0
1
01
1122ln x x x x x x e --<，记()0022ln x x
x x
m x x x e
--=-
，01x x <<，再利用导数研究单调性可得()m x 在()01,x 上单调递增，即()()00m x m x <=，即01
01
1122ln x x x x x x e --<
，即可得到结论.
【题目详解】
（1）()()2
f x
g x ax ≥，即()2
ln x x x x x ax e +⋅
≥，化简可得ln 1x
x a e +≤. 令()ln 1x x k x e
+=，()()1
ln 1x
x x k x e -+'=，因为1x ≥，所以11x ≤，ln 11x +≥. 所以()0k x '≤，()k x 在[
)1,+∞上单调递减，()()11k x k e
≤=. 所以a 的最小值为
1e
. （2）要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x
x
x x x e +>
>. 两边同除以x 可得11ln x x x e
+
>. 设()1ln t x x x =+
，则()22111x t x x x x
-'=-=. 在()0,1上，()0t x '
<，所以()t x 在()0,1上单调递减.
在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11t x t ≥=.
设()1
x
h x e =
，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->.
（3）证明：方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即0
01
ln x x e
=
，要证 ()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-.
当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时，()x x F x e =
，()10x
x
F x e
-'=<，因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-. 即要证01011122ln x x x x x x e
--<
. 记()0022ln x x
x x
m x x x e
--=-
，01x x <<. 因为001ln x x e =
，所以0000ln x x x x e =，则()0
000
ln 0x x m x x x e =-=. ()0000022212121ln 1ln x x x x x x
x x x x m x x x e e e
---+--'=++
=++-. 设()t t n t e =
，()1t
t n t e
-'=，当()0,1t ∈时，()0n t '>. ()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1
n t e
=
. 且()0n t >，故()10n t e <<
，因为021x x ->，所以0
02120x x x x
e e ---<<. 因此()0m x '
>，即()m x 在()01,x 上单调递增. 所以()()00m x m x <=，即01
01
1122ln x x x x x x e --<.
故()()2012F x F x x <-得证. 【题目点拨】
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.
20、（1）
1
2
；（2）①01a <<；②详见解析. 【解题分析】
（1）由函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，即可得1
(1)12
f '⋅=-，对其求导并表示(1)f '，代入上述方程即可解得答案；
（2）①已知要求等价于2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <，即222(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x ，由二次函数的图象与性质构建不等式组，解得答案，
最后分析此时单调性推及极值说明即可；
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，由韦达定理可表达根与系数的关系，进而用含的式子表示()()12f x f x +，令()()12()g a f x f x =+，对()g a 求导分析单调性，即可知道存在常数
()3,1t e -∈使()g a 在(0,)t 上单调递减，在(,1)t 上单调递增，进而求最值证明不等式成立.
【题目详解】
解：（1）依题意，2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，0x >，
故2()22(3)a
f x x a x
'=+-+
，所以(1)44f a '=-， 据题意可知，1
(44)12a -⋅=-，解得12a =.
所以实数a 的值为1
2
.
（2）①因为函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <， 所以2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <， 即2
22(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x .
所以2
2(3)0,224(3)160,20,a a a -⎧->⎪⨯⎪∆=-->⎨⎪>⎪⎩
解得01a <<.
当01a <<时，若10x x <<或2x x >，2
22(3)20x a x a +-+>，()0f x '>，函数()f x 在()10,x 和()1,x +∞上单调递增；若12x x x <<，2
22(3)20x a x a +-+<，()0f x '<，函数()f x 在()12,x x 上单调递减，故函数()f x 在(0,)
+∞上有两个极值点12,x x ，且12x x <.
所以，实数a 的取值范围是01a <<.
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根， 所以12123,
,
x x a x x a +=-⎧⎨
=⎩其中01a <<.
故()()2
2
121112222(3)2ln 2(3)2ln f x f x x a x a x x a x a x +=+-+++-+
()()2
1212121222(3)2ln x x x x a x x a x x =+-+-++
22(3)22(3)(3)2ln 2ln 49a a a a a a a a a a =--+--+=-+-，
令2
()2ln 49g a a a a a =-+-，其中01a <<.故()2ln 26g a a a '=-+，
令()()2ln 26h a g a a a '==-+，2
()20h a a
'=->，()()h a g a '=在(0,1)上单调递增. 由于()3
3
20h e
e
--=-<，(1)40h =>，
所以存在常数(
)
3
,1t e -∈，使得()0h t =，即ln 30t t -+=，ln 3t t =-， 且当(0,)a t ∈时，()()0h a g a '=<，()g a 在(0,)t 上单调递减； 当(,1)a t ∈时，()()0h a g a '=>，()g a 在(,1)t 上单调递增，
所以当01a <<时，2
2
2
()()2ln 492(3)4929g a g t t t t t t t t t t t =-+-=--+-=--，
又(
)
3
,1t e -∈，22
29(1)1010t t t --=-->-，
所以()10g a >-，即()100g a +>， 故()()12100f x f x ++>得证. 【题目点拨】
本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题. 21、（1）
；（2）
.
【解题分析】
试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分
，所
以
，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得
；（2）设，
，
，由
三点共线得
，再次代入点的坐标并化简得
，同理由
三点共线，
可得，化简得，故.
试题解析： （1）由
，整理得，
设，，则，
因为直线平分
，∴
，
所以，即
，
所以
，得
，满足，所以
.
（2）由（1）知抛物线方程为，且
，
，，
设，
，，由
三点共线得
，
所以
，即
，
整理得：，①
由
三点共线，可得
，② ②式两边同乘得：，
即：，③ 由①得：，代入③得：，
即：，所以
.
所以
.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立
，相当于得到
的坐标，但是设而不求.根据直线
平分
，有
，这样我们根据斜率的计算公式
，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线
来求解.
22、（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +- 【解题分析】 （Ⅰ）设等差数列
的公差为4，则依题设2d =．
c=．
由,可得2
n
由，得，可得．
所以．
可得．
（Ⅱ）设，则.
即，
c=，且．
可得2
n
所以，可知．
所以，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．
所以前n项和．
考点：等差数列通项公式、用数列前n项和求数列通项公式．。