2024学年安徽省阜阳市颍河中学高考模拟信息卷(押题卷)数学试题(七)试卷

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2024学年安徽省阜阳市颍河中学高考模拟信息卷(押题卷)数学试题(七)试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x ',对于任意的实数都有2()
e ()
x f x f x -=,当0x <时,()()0f x f x '+>,若e (21)(1)a
f a f a +≥+,则实数a 的取值范围是( )
A .20,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B .2,03
⎡⎤-⎢⎥⎣

C .[0,)+∞
D .(,0]-∞
2.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“
”表示一个阳爻,“
”表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳
爻的卦中任取两卦,这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为( )
A .
1
3
B .
12
C .
23
D .
34
3.已知α是第二象限的角,3
tan()4
πα+=-
,则sin 2α=( ) A .
1225
B .1225-
C .
2425
D .2425
-
4.若数列{}n a 为等差数列,且满足5383a a a ++=,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则11S =( ) A .27
B .33
C .39
D .44
5.已知点()2,0A 、()0,2B -.若点P 在函数y x =
PAB △的面积为2的点P 的个数为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
6.已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>;命题:q 若a b >,则22a b >,下列命题为真命题的是( ) A .p q ∧
B .p q ∧⌝
C .p q ⌝∧
D .p q ⌝∧⌝
7.已知命题p :,x R ∃∈使1
sin 2
x x <
成立. 则p ⌝为( ) A .,x R ∀∈1
sin 2x x ≥
均成立 B .,x R ∀∈1
sin 2x x <
均成立 C .,x R ∃∈使1
sin 2
x x ≥成立
D .,x R ∃∈使1
sin 2
x x 成立 8.已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线方程为43y x =,则双曲线的离心率为( )
A .
4
3
B .
53
C .
54
D .
32
9.已知双曲线22
22:1(0,0)x y a b a b
Γ-=>>的右焦点为F ,过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B
两点,延长BF 交右支于C 点,若,||3||AF FB CF FB ⊥=,则双曲线Γ的离心率是( )
A .
17
3
B .
32
C .
53
D .
102
10.若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值,则cos θ=( ) A .
35
B .45
-
C .
45
D .
35
11.一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8,则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有( )
A .14
B .15
C .16
D .17
12.若直线y =kx +1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点,且∠POQ =120°(其中O 为坐标原点),则k 的值为( ) A . 3
B .
2 C . 33D . 22
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知()6ax b +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与18-,则()6
ax b +展开式所有项系数之和为______.
14.3
6
(2)x x -+的展开式中的常数项为______.
15.已知函数229,1,()4
,1,
x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
,若()f x 的最小值为(1)f ,则实数a 的取值范围是_________ 16.设x ∈R ,则“38x >”是“2x >”的__________条件.
三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中,已知AB =1,AA 1=2,E ,F ,G 分别是棱AA 1,AC 和A 1C 1的中点,以{}
,,FA FB FG 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz .
(1)求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值; (2)求二面角F-BC 1-C 的余弦值. 18.(12分)设33
()(4)log (01).11
a f x a x x a a a a =--
+>≠--且 (1)证明:当4a =时,()ln 0x f x +≤;
(2)当1x ≥时()0f x ≤,求整数a 的最大值.(参考数据:20.69,3 1.10ln ln ≈≈,5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈) 19.(12分)已知函数()ln f x x x x =+,()x x
g x e
=
. (1)若不等式()()2
f x
g x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立,求a 的最小值; (2)证明:()()1f x x g x +->.
(3)设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()00,1,
,,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩
若存在1x ,()21,x ∈+∞,12x x <,使得
()()12F x F x =,证明:()()2012F x F x x <-.
20.(12分)已知函数2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+,其中a R ∈. (1)函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直,求实数a 的值; (2)若函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ,且12x x <. ①求实数a 的取值范围; ②求证:()()12100f x f x ++>.
21.(12分)如图,直线与抛物线交于两点,直线与轴交于点,且直线恰好平

.
(1)求的值; (2)设是直线
上一点,直线
交抛物线于另一点
,直线
交直线
于点,求
的值.
22.(10分)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列,且满足a 3a 5=45,a 2+a 6=1. (I )求{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{b n }满足:
12222b b ++…1()2
n n n b a n N *
+=+∈,求{b n }的前n 项和. 参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
先构造函数,再利用函数奇偶性与单调性化简不等式,解得结果. 【题目详解】
令()()x g x e f x =,则当0x <时,()[()()]0x
g x e f x f x ''=+>,
又()()()()x
x g x e
f x e f x
g x --=-==,所以()g x 为偶函数,
从而()()211a
e f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a e f a e f a g a g a +++≥++≥+,
因此2
2
(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3
g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【题目点拨】
本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题. 2、B 【解题分析】
基本事件总数为6个,都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个,由此求出概率. 【题目详解】
解:由图可知,含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦,
取出两卦的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(巽,乾),(离,兑),(离,乾),(兑,乾)共6个,其中符合条件的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(离,兑)共3个, 所以,所求的概率31
62
P ==. 故选:B. 【题目点拨】
本题渗透传统文化,考查概率、计数原理等基本知识,考查抽象概括能力和应用意识,属于基础题. 3、D 【解题分析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【题目详解】 因为3tan()4
πα+=-
, 由诱导公式可得,sin 3
tan cos 4
ααα==-, 即3
sin cos 4
αα=-
, 因为22sin cos 1αα+=, 所以2
16cos 25
α=
, 由二倍角的正弦公式可得,
23
sin 22sin cos cos 2
αααα==-,
所以31624sin 222525
α=-⨯=-. 故选:D 【题目点拨】
本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题. 4、B 【解题分析】
利用等差数列性质,若m n p q ++=,则m n p q a a a a ++= 求出63a =,再利用等差数列前n 项和公式得
111116+)
11(11332
a a S a ===
【题目详解】
解:因为 5383a a a ++=,由等差数列性质,若m n p q ++=,则m n p q a a a a ++=得,
63a ∴=.
n S 为数列{}n a 的前n 项和,则111116+)
11(11332
a a S a ===.
故选:B . 【题目点拨】
本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.
(1)如果{}n a 为等差数列,若m n p q ++=,则m n p q a a a a ++= ()*m n p q N ∈,,,. (2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用,如21(21)n n S n a -=-. 5、C 【解题分析】
设出点P 的坐标,以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离,利用点到直线的距离公式可得出关于
a 的方程,求出方程的解,即可得出结论.
【题目详解】
设点P
的坐标为(a ,直线AB 的方程为122x y
-=,即20x y --=, 设点P 到直线AB 的距离为d
,则11
222
PAB
S
AB d d =⋅=⨯=
,解得d =
另一方面,由点到直线的距离公式得d =
=
整理得0a =或40a =,0a ≥,解得0a =或1a =或a =
综上,满足条件的点P 共有三个. 故选:C. 【题目点拨】
本题考查三角形面积的计算,涉及点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力,属于中等题. 6、B 【解题分析】
解:命题p :∀x >0,ln (x+1)>0,则命题p 为真命题,则¬p 为假命题; 取a=﹣1,b=﹣2,a >b ,但a 2<b 2,则命题q 是假命题,则¬q 是真命题. ∴p ∧q 是假命题,p ∧¬q 是真命题,¬p ∧q 是假命题,¬p ∧¬q 是假命题. 故选B . 7、A 【解题分析】
试题分析:原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即:p ⌝,sin 2
x x x ∀∈≥R . 考点:全称命题. 8、B 【解题分析】
由题意得出22b a 的值,进而利用离心率公式e =可求得该双曲线的离心率. 【题目详解】
双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±,由题意可得2
22416
39
b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,
因此,该双曲线的离心率为5
3
c e a ====. 故选:B. 【题目点拨】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率,利用公式e =计算较为方便,考查计算能力,属于
基础题. 9、D
【解题分析】
设双曲线的左焦点为'F ,连接'BF ,'AF ,'CF ,设BF x =,则3CF x =,'2BF a x =+,'32CF x a =+,'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中,利用勾股定理计算得到答案. 【题目详解】
设双曲线的左焦点为'F ,连接'BF ,'AF ,'CF , 设BF x =,则3CF x =,'2BF a x =+,'32CF x a =+,
AF FB ⊥,根据对称性知四边形'AFBF 为矩形,
'Rt CBF ∆中:222''CF CB BF =+,即()()()222
3242x a x a x +=++,解得x a =; 'Rt FBF ∆中:222''FF BF BF =+,即()
()2
2
2
23c a a =+,故2252
c a =,故10
2e =. 故选:D .
【题目点拨】
本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10、D 【解题分析】
利用辅助角公式化简()f x 的解析式,再根据正弦函数的最值,求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值. 【题目详解】
解:34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫
=+=+=+
⎪⎝⎭
,其中,3sin 5α=,4cos 5α=,
故当22
k π
θαπ+=-
()k ∈Z ,即2()2
k k Z π
θπα=-
-∈时,函数取最小值()5f
θ=-,
所以3
cos cos(2)cos()sin 2
25
k π
π
θπααα=--=-
-=-=-, 故选:D 【题目点拨】
本题主要考查辅助角公式,正弦函数的最值的应用,属于基础题. 11、B 【解题分析】
计算出样本在[)2060,的数据个数,再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【题目详解】
由题意可知,样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=, 样本在[)20,40的数据个数为459+=,
因此,样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选:B. 【题目点拨】
本题考查利用频数分布表计算频数,要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系,考查计算能力,属于基础题. 12、C 【解题分析】
直线过定点,直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点,且∠POQ=120°(其中O 为原点),可以发现∠QOx 的大小,求得结果. 【题目详解】
如图,直线过定点(0,1),
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,⇒∠1=120°,∠2=60°,
∴由对称性可知 故选C . 【题目点拨】
本题考查过定点的直线系问题,以及直线和圆的位置关系,是基础题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13、64 【解题分析】
由题意先求得,a b 的值,再令1x =求出展开式中所有项的系数和. 【题目详解】
()
6
ax b +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与18-,
4426135C a b ∴⋅⋅=,5
5618C a b ⋅⋅=-,
由两式可组成方程组42515135618
a b a b ⎧=⎨=-⎩,
解得1,3a b ==-或1,3a b =-=,
∴令1x =,求得()6
ax b +展开式中所有的系数之和为6264=.
故答案为:64 【题目点拨】
本题考查了二项式定理,考查了赋值法求多项式展开式的系数和,属于基础题. 14、160 【解题分析】
先求6
(2)x +的展开式中通项,令x 的指数为3即可求解结论.
【题目详解】
解:因为6
(2)x +的展开式的通项公式为:666622r r r r r r C x x C --=⋅⋅⋅⋅;
令6r 3-=,可得3r =;
36(2)x x -∴+的展开式中的常数项为:33
6
2160C ⋅=. 故答案为:160. 【题目点拨】
本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,属于基础题.
15、2a ≥ 【解题分析】
1x >,可得()f x 在2x =时,最小值为4a +,
1x ≤时,要使得最小值为()1f ,则()f x 对称轴x a =在1的右边,
且()14f a ≤+,求解出a 即满足()f x 最小值为()1f . 【题目详解】 当1x >,()4
4f x x a a x
=+
+≥+,当且仅当2x =时,等号成立. 当1x ≤时,()2
29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足
1x a =≥
并且()14+f a ≤,即1294a a -+≤+,解得2a ≥. 【题目点拨】
本题考查分段函数的最值问题,对每段函数先进行分类讨论,找到每段的最小值,然后再对两段函数的最小值进行比较,得到结果,题目较综合,属于中档题. 16、充分必要 【解题分析】
根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系. 【题目详解】
当38x >时,有2x >,故“38x >”是“2x >”的充分条件. 当2x >时,有38x >,故“38x >”是“2x >”的必要条件. 故“38x >”是“2x >”的充分必要条件, 故答案为:充分必要. 【题目点拨】
本题考查充分必要条件的判断,可利用定义来判断,也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断,还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断,本题属于容易题.
三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)
4.(2. 【解题分析】
(1)先根据空间直角坐标系,求得向量AC 和向量BE 的坐标,再利用线线角的向量方法求解. (2)分别求得平面BFC 1的一个法向量和平面BCC 1的一个法向量,再利用面面角的向量方法求解. 【题目详解】
规范解答 (1) 因为AB =1,AA 1=2,则F (0,0,0),A 1,0,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,C 1,0,02⎛⎫- ⎪⎝⎭,
B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,E 1,0,12⎛⎫
⎪⎝⎭, 所以AC =(-1,0,0),BE
=1,,122⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
记异面直线AC 和BE 所成角为α,
则cosα=|cos 〈,BE AC 〉|
1|1|
-⨯
, 所以异面直线AC 和BE
所成角的余弦值为
4
. (2) 设平面BFC 1的法向量为m = (x 1,y 1,z 1).
因为FB
=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,1FC =1,0,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭, 则1111
3
02120
2m FB y m FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨
⎪⋅=-+=⎪⎩
取x 1=4,得平面BFC 1的一个法向量为m =(4
,0,1). 设平面BCC 1的法向量为n =(x 2,y 2,z 2).
因为CB =
1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,1CC =(0,0,2),
则22121022
n CB x y n CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪
⋅==⎩
取x 2得平面BCC 1的一个法向量为n =,-1,0),
所以cos 〈,m n
根据图形可知二面角F-BC 1-C 为锐二面角, 所以二面角
F-BC 1-C . 【题目点拨】
本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角,面面角的求法,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.
18、(1)证明见解析;(2)5a =. 【解题分析】
(1)将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+,构造函数()ln 1g x x x =-+,求得()g x '并令()0g x '=,由导函数符号判断函数单调性并求得最大值,由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立,即不等式得证. (2)对函数求导,变形后讨论当1a >时的函数单调情况:当
()()413ln a a a
--≤时,可知满足题意;将不等式化简后
构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->,利用导函数求得极值点与函数的单调性,从而求得最小值为()3g ,分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号,即可确定整数a 的最大值;当()()413ln a a a
-->时不满足题意,因
为求整数a 的最大值,所以01a <<时无需再讨论. 【题目详解】
(1)证明:当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+, 令()ln 1g x x x =-+,()0,x ∈+∞, 则()111x g x x x
-'
=
-=, 令()0g x '=解得1x =,
当()0,1x ∈时()0g x '>,所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增, 当()1,x ∈+∞时()0g x '<,所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减, 所以()()max 1ln1110g
x g ==-+=,
则()ln 10g x x x =-+≤,即()ln 0x f x +≤成立.
(2)函数33()(4)log (01).11
a f x a x x a a a a =--
+>≠--且 则
()()()41343
ln (),1ln 1
1ln a a x
a a
f x x x a a x a a
----'=
-=≥--,
若1a >时,当
()()413ln a a a
--≤时,()0f x '<,则()f x 在[)1,+∞
时单调递减,所以()()10f x f ≤=,即当1x ≥时
()0f x ≤成立;
所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪
--⎨≤⎪

的整数解即可,
将不等式化简可得2543ln a a a -+≤, 令()2543ln ,1g a a a a a =-+->
则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a
+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =,
当()1,3a ∈时()0g a '<,即()g a 在()1,3a ∈内单调递减, 当()3,a ∈+∞时()0g a '>,即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增, 所以当3a =时()g a 取得最小值,
则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<,
()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<,
()2555543ln543ln543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<, ()()2665643ln 6103ln 2ln3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>
所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =; 当
()()413ln a a a
-->时,在()()411,2ln a a x a
⎡⎤--∈⎢⎥


时()0f x '>,此时()()10f x f >=,与题意矛盾,所以不成立.
因为求整数a 的最大值,所以01a <<时无需再讨论, 综上所述,当1x ≥时()0f x ≤,整数a 的最大值为5a =. 【题目点拨】
本题考查了导数在证明不等式中的应用,导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用,构造函数法求最值,并判断函数值法符号,综合性强,属于难题. 19、(1)
1
e
(2)证明见解析(3)证明见解析 【解题分析】 (1)由题意可得,
ln 1x x a e +≤,令()ln 1
x
x k x e +=,利用导数得()k x 在[)1,+∞上单调递减,进而可得结论; (2)不等式转化为11ln x x x e +
>,令()1ln t x x x =+,()1
x h x e
=,利用导数得单调性即可得到答案; (3)由题意可得0
01ln x x e
=
,进而可将不等式转化为()()1012F x F x x <-,再利用单调性可得0
1
01
1122ln x x x x x x e --<,记()0022ln x x
x x
m x x x e
--=-
,01x x <<,再利用导数研究单调性可得()m x 在()01,x 上单调递增,即()()00m x m x <=,即01
01
1122ln x x x x x x e --<
,即可得到结论.
【题目详解】
(1)()()2
f x
g x ax ≥,即()2
ln x x x x x ax e +⋅
≥,化简可得ln 1x
x a e +≤. 令()ln 1x x k x e
+=,()()1
ln 1x
x x k x e -+'=,因为1x ≥,所以11x ≤,ln 11x +≥. 所以()0k x '≤,()k x 在[
)1,+∞上单调递减,()()11k x k e
≤=. 所以a 的最小值为
1e
. (2)要证()()1f x x g x +->,即()ln 10x
x
x x x e +>
>. 两边同除以x 可得11ln x x x e
+
>. 设()1ln t x x x =+
,则()22111x t x x x x
-'=-=. 在()0,1上,()0t x '
<,所以()t x 在()0,1上单调递减.
在()1,+∞上,()0t x '>,所以()t x 在()1,+∞上单调递增,所以()()11t x t ≥=.
设()1
x
h x e =
,因为()h x 在()0,∞+上是减函数,所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >,即()()1f x x g x +->.
(3)证明:方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ,即0
01
ln x x e
=
,要证 ()()2012F x F x x <-,由()()12F x F x =可知,即要证()()1012F x F x x <-.
当01x x <<时,()ln F x x x =,()1ln 0F x x '=+>,因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时,()x x F x e =
,()10x
x
F x e
-'=<,因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈,所以0102x x x ->,要证()()1012F x F x x <-. 即要证01011122ln x x x x x x e
--<
. 记()0022ln x x
x x
m x x x e
--=-
,01x x <<. 因为001ln x x e =
,所以0000ln x x x x e =,则()0
000
ln 0x x m x x x e =-=. ()0000022212121ln 1ln x x x x x x
x x x x m x x x e e e
---+--'=++
=++-. 设()t t n t e =
,()1t
t n t e
-'=,当()0,1t ∈时,()0n t '>. ()1,t ∈+∞时,()0n t '<,故()max 1
n t e
=
. 且()0n t >,故()10n t e <<
,因为021x x ->,所以0
02120x x x x
e e ---<<. 因此()0m x '
>,即()m x 在()01,x 上单调递增. 所以()()00m x m x <=,即01
01
1122ln x x x x x x e --<.
故()()2012F x F x x <-得证. 【题目点拨】
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题,考查导数的应用,转化思想,构造函数研究单调性,属于难题.
20、(1)
1
2
;(2)①01a <<;②详见解析. 【解题分析】
(1)由函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直,即可得1
(1)12
f '⋅=-,对其求导并表示(1)f ',代入上述方程即可解得答案;
(2)①已知要求等价于2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ,且12x x <,即222(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x ,由二次函数的图象与性质构建不等式组,解得答案,
最后分析此时单调性推及极值说明即可;
②由①可知,()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根,由韦达定理可表达根与系数的关系,进而用含的式子表示()()12f x f x +,令()()12()g a f x f x =+,对()g a 求导分析单调性,即可知道存在常数
()3,1t e -∈使()g a 在(0,)t 上单调递减,在(,1)t 上单调递增,进而求最值证明不等式成立.
【题目详解】
解:(1)依题意,2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+,0x >,
故2()22(3)a
f x x a x
'=+-+
,所以(1)44f a '=-, 据题意可知,1
(44)12a -⋅=-,解得12a =.
所以实数a 的值为1
2
.
(2)①因为函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ,且12x x <, 所以2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ,且12x x <, 即2
22(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x .
所以2
2(3)0,224(3)160,20,a a a -⎧->⎪⨯⎪∆=-->⎨⎪>⎪⎩
解得01a <<.
当01a <<时,若10x x <<或2x x >,2
22(3)20x a x a +-+>,()0f x '>,函数()f x 在()10,x 和()1,x +∞上单调递增;若12x x x <<,2
22(3)20x a x a +-+<,()0f x '<,函数()f x 在()12,x x 上单调递减,故函数()f x 在(0,)
+∞上有两个极值点12,x x ,且12x x <.
所以,实数a 的取值范围是01a <<.
②由①可知,()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根, 所以12123,
,
x x a x x a +=-⎧⎨
=⎩其中01a <<.
故()()2
2
121112222(3)2ln 2(3)2ln f x f x x a x a x x a x a x +=+-+++-+
()()2
1212121222(3)2ln x x x x a x x a x x =+-+-++
22(3)22(3)(3)2ln 2ln 49a a a a a a a a a a =--+--+=-+-,
令2
()2ln 49g a a a a a =-+-,其中01a <<.故()2ln 26g a a a '=-+,
令()()2ln 26h a g a a a '==-+,2
()20h a a
'=->,()()h a g a '=在(0,1)上单调递增. 由于()3
3
20h e
e
--=-<,(1)40h =>,
所以存在常数(
)
3
,1t e -∈,使得()0h t =,即ln 30t t -+=,ln 3t t =-, 且当(0,)a t ∈时,()()0h a g a '=<,()g a 在(0,)t 上单调递减; 当(,1)a t ∈时,()()0h a g a '=>,()g a 在(,1)t 上单调递增,
所以当01a <<时,2
2
2
()()2ln 492(3)4929g a g t t t t t t t t t t t =-+-=--+-=--,
又(
)
3
,1t e -∈,22
29(1)1010t t t --=-->-,
所以()10g a >-,即()100g a +>, 故()()12100f x f x ++>得证. 【题目点拨】
本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题,还考查了利用导数证明不等式成立,属于难题. 21、(1)
;(2)
.
【解题分析】
试题分析:(1)联立直线的方程和抛物线的方程,化简写出根与系数关系,由于直线平分
,所

,代入点的坐标化简得,结合跟鱼系数关系,可求得
;(2)设,

,由
三点共线得
,再次代入点的坐标并化简得
,同理由
三点共线,
可得,化简得,故.
试题解析: (1)由
,整理得,
设,,则,
因为直线平分
,∴

所以,即

所以
,得
,满足,所以
.
(2)由(1)知抛物线方程为,且

,,
设,
,,由
三点共线得

所以
,即

整理得:,①

三点共线,可得
,② ②式两边同乘得:,
即:,③ 由①得:,代入③得:,
即:,所以
.
所以
.
考点:直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现,所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立
,相当于得到
的坐标,但是设而不求.根据直线
平分
,有
,这样我们根据斜率的计算公式
,代入点的坐标,就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线
来求解.
22、(I )21n a n =-;(Ⅱ)224n +- 【解题分析】 (Ⅰ)设等差数列
的公差为4,则依题设2d =.
c=.
由,可得2
n
由,得,可得.
所以.
可得.
(Ⅱ)设,则.
即,
c=,且.
可得2
n
所以,可知.
所以,
所以数列是首项为4,公比为2的等比数列.
所以前n项和.
考点:等差数列通项公式、用数列前n项和求数列通项公式.。

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