2019秋人教A版数学同步第三章 函数的应用学业质量标准检测3

第三章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：
A．区间(1,2)和(2,3) B．区间(2,3)和(3,4)
C．区间(2,3)和(3,4)和(4,5) D．区间(3,4)和(4,5)和(5,6)
[解析]由图表可知，f(2)·f(3)<0，
f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，
故选C．
2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(C)
A．10天B．15天
C．19天D．2天
[解析]荷叶覆盖水面面积y与生长时间x天的函数关系式为y＝2x，当x＝20时，长满池塘水面，∴生长19天时，布满水面面积的一半，故选C．
3．(2019·山东济宁高一期末测试)函数f(x)＝ln(x＋1)－2
x的零点，所在的大致区间是
(C)
A．(e,3) B．(2，e)
C．(1,2) D．(0,1)
[解析]f(1)＝ln2－2<0，
f(2)＝ln3－1>0，
∴f(1)·f(2)<0，故选C．
4．某人2016年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到2019年7月1日可取款(D)
A ．a (1＋x )2元
B ．a (1＋x )4元
C ．a ＋(1＋x )3元
D ．a (1＋x )3元
[解析] 由题意知，2017年7月1日可取款a (1＋x )元， 2018年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元， 2019年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元．
5．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满，在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是选项中的( B
)
[解析] 由图知，y 随时间t 的变化，先慢后快，再匀速变化．故选B ．
6．若函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋(5－m )有两个大于2的零点，则m 的取值范围是( A ) A ．(－5，－4) B ．(－∞，－4]
C ．(－∞，－2)
D ．(－∞，－5)∪(－5，－4]
[解析] 由题意，得⎩⎨⎧
Δ＝(m －2)2－4(5－m )>0
－m －22
>2
f (2)＝4＋2(m －2)＋5－m >0
，
解得－5<m <－4.
7．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 008个，则f (x )的零点的个数为( D )
A ．1 008
B ．1 009
C ．2 016
D ．2 017
[解析] 由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有1 008个，所以它在(－∞，0)内的零点也有1 008个，又f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0.即0也是它的零点，故f (x )的零点共有2 017个．
8．(2019·山东莒县一中高一期末测试)设函数y ＝2x 3与y ＝(12)x －
1＋2的图象的交点为(x 0，
y 0)，则x 0所在的区间是( C )
A ．(－1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
[解析] 令f (x )＝2x 3－(1
2
)x －1－2，
函数y ＝2x 3与y ＝(1
2)x －1＋2的图象的交点为(x 0，y 0)，即函数f (x )的零点为x 0，
又f (1)＝2－(1
2)0－2＝－1<0，
f (2)＝2×8－(12)1－2＝16－1
2－2
＝27
2
>0， ∴f (1)·f (2)<0，故选C ．
9．某种电热水器的水箱盛满水是200 L ，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65 L ，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( B )
A ．3人
B ．4人
C ．5人
D ．6人 [解析] 设电热水器内水量为y L ，由题意得，y ＝2t 2－34t ＋200＝2(t －172)2＋1112，
∴当t ＝8.5时，电热水器内水量y 达到最小值，最小值为111
2，此时放水停止．
本次总共实际放水量为8.5×34＝289(L)， 又
28965＝42965
， ∴一次最多可供4人洗浴，故选B ．
10．若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
[解析] 设f (x )＝ln x ＋x －4，f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，f (2)f (3)<0， ∴根在区间(2,3)内，∴a ＝2.故选B ．
11．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则
该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )
A ．p ＋q 2
B ．(1＋p )(1＋q )－12
C ．pq
D ．(1＋p )(1＋q )－1
[解析] 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1.
12．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( B ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c
D ．c ＜a ＜b
[解析] 因为f (－1)＝12－1＝－1
2＜0，f (0)＝1＞0，
所以f (x )的零点a ∈(－1,0)；
因为g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2； 因为h (12)＝－1＋12＝－1
2＜0，h (1)＝1＞0，
所以h (x )的零点c ∈(1
2
，1)．因此a ＜c ＜b .
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是
10 min ，那么
y ＝f (x )的解析式为
__y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1
15
x (0≤x ≤30)2(30<x <40)
110x －2(
40≤x ≤60)
__.
[解析] 当0≤x ≤30时，设f (x )＝kx ，将点(30,2)代入得k ＝115，∴f (x )＝1
15
x .
当30<x <40时，f (x )＝2.
当40≤x ≤60时，设f (x )＝mx ＋b ，将点(40,2)和点(60,4)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧
40m ＋b ＝2
60m ＋b ＝4
，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝110b ＝－2，即f (x )＝1
10
x －2.
综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1
15
x (0≤x ≤30)2(30<x <40)
110x －2(40≤x ≤60)
.
14．若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是__m <－1
8__.
[解析] 当m ＝0时，函数有零点，所以应有
⎩
⎨⎧
m ≠0Δ＝1＋8m <0， 解得m <－18
.
15．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.
[解析] 由0.42n <0.01，得2n >0.4
0.01
＝40，故n 的最小值为6.
16．已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则下列关于f (x )＝0
的解叙述正确的是__①⑤__.
①有三个实根； ②x ＞1时恰有一实根； ③当0＜x ＜1时恰有一实根； ④当－1＜x ＜0时恰有一实根；
⑤当x ＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．
[解析] f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(1
2，1)内，故只有①⑤正
确．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
2x －2(x ≥1)x 2－2x (x <1)
，求函数g (x )＝f (x )－1
4的零点．
[解析] 求函数g (x )＝f (x )－14的零点，即求方程f (x )－1
4＝0的根．
当x ≥1时，由2x －2－14＝0得x ＝9
8
；
当x <1时，由x 2
－2x －1
4＝0得x ＝2＋52或x ＝2－52
，
∵x <1，∴x ＝2－5
2
.
∴函数g (x )＝f (x )－14的零点是98或2－5
2
.
18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2； (1)求f (x )；
(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．
[解析] (1)因为f (x )的两个零点分别是－3,2，所以－3与2是一元二次方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
8－b
a ＝－1－a －a
b a ＝－6
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3
b ＝5
.
故f (x )＝－3x 2－3x ＋18.
(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－3x ＋18，其图象的对称轴为x ＝－1
2，开口向下，所以f (x )在[0,1]
上为减函数，则f (x )的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12.
所以函数f (x )的值域为[12,18]．
19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
21－
x (x ≤1)
1－log 2x (x >1).
(1)求函数f (x )的零点；
(2)求满足f (x )≤2的x 的取值范围． [解析] (1)当x ≤1时，函数无零点． 当x >1时，令f (x )＝0，∴1－log 2x ＝0，x ＝2， ∴函数的零点为x ＝2.
(2)当x ≤1时，21－x ≤2，即x ≥0，∴0≤x ≤1. 当x >1时，f (x )＝1－log 2x ≤2，解得x ≥1
2.
又∵x >1，∴x >1. 综上可知，x ≥0.
20．(本小题满分12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h 内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24 h 内，有几小时出现供水紧张现象．
[解析] (1)设t h 后蓄水池中的水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，
∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，
即从供水开始到第6 h 时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80， 得x 2－12x ＋32<0，
解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <32
3；
∵323－8
3
＝8，∴每天约有8 h 供水紧张．
21．(本小题满分12分)关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0，求a 为何值时： (1)方程一根大于1，一根小于1；
(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？ [解析] 设f (x )＝x 2－2x ＋a ，
(1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f (1)＜0，得1－2＋a ＜0，所以a ＜1.
(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)＞0
f (1)＜0
f (2)＜0
f (3)＞0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3＋a ＞0
1－2＋a ＜0
4－4＋a ＜09－6＋a ＞0
，
解得－3＜a ＜0.
(3)由方程的两个根都大于零，得⎩⎨⎧
Δ＝4－4a ≥0
－－22＞0
f (0)＞0
，
解得0＜a ≤1.
22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2
2
.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？
[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝1
2
.
解得x ＝1－(12)1
10
.
(2)设经过m 年剩余面积为原来的2
2
，则 a (1－x )m ＝
22a ，即(12)m 10＝(12)12
， m 10＝1
2
，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍伐了n 年， 则n 年后剩余面积为2
2
a (1－x )n . 令
22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24
， (12)n 10≥(12)32，n 10≤3
2
，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。