高考数学复习专题八考点22《平面向量的综合应用》练习题(含答案)

高考数学复习专题八考点22《平面向量的综合应用》练习
题（含答案）
1.长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度1v 的大小为110km /h =v ，水流的速度2v 的大小为24km /h =v .设1v 和2v 的夹角为()
0180θθ︒︒<<，北岸的点A '在A 的正北方向，则游船正好到达A '处时，cos θ=( ) 21 B.21 C.
25 D.25
-
2.已知A ，B ，C 是平面内不共线的三个点.若,(0,)||||AB AC AB AC AB AC λλ⎛⎫
+=+∈+∞
⎪ ⎪⎝⎭
，则ABC 一定是( )
A.直角(非等腰)三角形
B.等腰(非等边)三角形
C.等边三角形
D.锐角(非等腰)三角形
3.一个物体受到同一平面内二个力123,,F F F 的作用，沿北偏东45︒方向移动了8m ，已知12N =F ，方向为北偏东30︒，24N =F ，方向为北偏东360,6N ︒=F ，方向为北偏西
30︒，则这三个力的合力所做的功为( )
A.24J
B.242J
C.243J
D.246
4.已知单位向量a ，b 满足||30-+⋅=a b a b ，则||()t t +∈R a b 的最小值为( ) 2
3 22
2 5.已知向量()()1,1,1,m ==a b ，其中m 为实数，当a 与b 的夹角在π0,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内变动时，实
数m 的取值范围是( ) A.(0,1)
B.33⎝
C.33)⎫
⋃⎪⎪⎝⎭
D.3)
6.已知12,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则122=+a e e 与1232=-+b e e 的夹角的余弦值是( ) A.1
2
B.12
-
3 D.3 7.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度1v 的大小
110km /h =v ，水流的速度2v 的大小24km /h =v ，设1v 和2v 所成的角为(0π)θθ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于( )
A.215
-
B.25
-
C.35-
D.45
-
8.已知单位向量12,e e 分别与平面直角坐标系x ，y 轴的正方向同向，且向量12123,26AC BD =-=+e e e e ，则平面四边形ABCD 的面积为( )
10 B.210 C.10 D.20
9.如图，在ABC △中，π
3
BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足1
2
AP mAC AB =+
，若ABC △的面积为3||AP 的最小值为( )
2
3 C.3
D.43
10.在ABC 中，向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫
+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰(非等边)三角形
D.等边三角形
11.某物体做斜拋运动，初速度的大小010m /s =v ，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是______________m/s.
12.如图，某体重为70kg 的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊之间的夹角为60︒，拉力大小均为F .若要使该体育老师的身体能向上移动，则F 的最小整数值为
_________N.（取重力加速度10N /kg,173.32g =≈）
13.如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，定点A ，B 是如图所示的两个顶点，动点P 在这些正六边形的边上运动，则AP AB ⋅的最大值为______.
14.已知(2,1)=--a ，(,1)λ=b ，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为__________.
15.已知等边三角形ABC 的边长为2，PQ 为ABC 内切圆圆O 的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为___________.
参考答案
1.答案：D
解析：设船的实际速度为1,v v 与南岸上游的夹角为α，如图所示.要使得游船正好到达A '处，则12cos α=v v ，即21
2
cos 5
α=
=
v v ，又πθα=-，所以2
cos cos(π)cos 5
θαα=-=-=-，故选D.
2.答案：B
解析：设AP AB AC =+，则根据平行四边形法则知，点P 在BC 边上的中线所在的直线上.设,||||
AB AC
AE AF AB AC =
=，它们都是单位向量.由平行四边形法则，知点P 也在A ∠的平分线上，所以 ABC 一定是等腰三角形.故选B. 3.答案：D
解析：如图，建立平面直角坐标系，则123(1,3),(23,2),(3,33)===-F F F ，则合力123(232,243)=++=-+F F F F ，又位移(42,42)=s ，
故合力F 所做的功 (232)42(243)424263246(J)W =⋅=-⨯++⨯=⨯=F s .选D.
4.答案：B
解析：由||230-+⋅=a b a b ，得||23-=-⋅a b a b ，两边平方，得
222212() -⋅+=⋅a a b b a b ，即212()220⋅+⋅-=a b a b ，整理得(21)(31)0⋅+⋅-=a b a b ，所以1 2⋅=-a b 或13⋅=a b .因为||230-=-⋅a b a b ，所以0⋅a b ，所以1
2
⋅=-a b ，所以
2
2
2
2
13
3
||||12124
2
t t t t t t t ⎛⎫+=+++⋅=-+-+
⎪⎝⎭a b a b a b ，故选B. 5.答案：C
解析：如图，作OA =a ，则(1,1)A ，作12,OB OB ，使12π
12
AOB AOB ∠=∠=，且12,OB OB 均在直线1x =上，则12ππππππ
,41264123B Ox B Ox ∠=
-=∠=+=，故123,3)B B ⎛ ⎝⎭
.因为 a 与b 的夹角不为0， 故1m ≠.由图易知实数m 的取值范围是33)⎫
⋃⎪⎪⎝⎭
.
6.答案：B
解析：由题可知121
cos602
⋅==
e e ，则()()22
121212127232622⋅=+⋅-+=-++⋅=-e e e e e a e e b e ，
()
2
121
||25472
=
+=+⨯
=a e e ()
2
121
||32131272
-+-⨯
b e e 1
cos ,||||2
⋅〈〉=
=-a b a b a b .故选B. 7.答案：B
解析：设游般的实际速度为v ，1v 与河流南岸上游的夹角为 α，1AD =v ，2AC =v .以AD ，AC 为邻边作平行四边形如图所示，要使得游船正好航行到B 处，则12cos α=v v ，
即21
2cos 5α=
=
v v .又πθα=-，所以2
cos cos(π)cos 5
θαα=-=-=-，故选B.
8.答案：C
解析：取{}12,e e 作为基，则(3,1),(2,6)AC BD =-=，则
2222||3(1)10,||26210AC BD =+-==+=因为32(1)60AC BD ⋅=⨯+-⨯=，所以
AC BD ⊥，所以平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积
||||10210
102AC BD S ⋅⨯=
==.故选C. 9.答案：B
解析：设||3AB a =，||AC b =，则ABC △的面积为1π3sin 2323ab ⨯=，解得8
3ab =.由
1324AP mAC AB mAC AD =+=+，且C ，P ，D 三点共线，可知314m +=，得1
4
m =，故13
44
AP AC AD =
+.以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过A 作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)D a ，(3,0)B a ，132C b ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，则132AC b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(2,0)AD a =，13382AP b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，2
2
2
133||82AP b a ⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
22222193319
1644864164
b a ab b b a +++=++2219321131644b a ab ≥⨯=+=，当且仅当22
19164
b a =，即6b a =时取等号，故||AP 3
10.答案：D
解析：如图，分别在AB ，AC 上取点D ，E ，使得||
AB AD AB =
，||
AC AE AC =
，则
||||1AD AE ==.以AD ，AE 为一组邻边作平行四边形ADFE .则平行四边形ADFE 为菱形，
即对角线AF 为DAE ∠的平分线.由0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫
+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，即()0AD AE BC +⋅=，即
0AF BC ⋅=，所以AF BC ⊥，即DAE ∠的平分线AF 满足AF BC ⊥，所以AB AC =.又12||||
AB
AC
AB AC ⋅=
，即12AD AE ⋅=，所以1
11cos 2
AD AE BAC ⋅=⨯⨯∠=，所以60BAC ∠=，所以ABC 为等边三角形.故选D.
11.答案：5
解析：设该物体在竖直方向上的速度为1v ，水平方向上的速度为2v ，如图所示.由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，201
cos60105(m /s)2
=︒==⨯v v ，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
12.答案：405
解析：如图所示，设AB AD ⋅表示两个拉力F ，合力用AC 表示，由于60BAD ︒∠=，且四边形ABCD 为菱形，所以||3||AC AB =，所以若要使该体育老师的身体能向上移动，则3|||mg >F ，即7010
||404.16(N)1.732
⨯>
≈F ，所以||F 的最小整数值为405 N.
13.答案：
452
解析：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则
339(0,0),(23,3),(3,5),,22A B M N ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.由图可知，当AP AB ⋅取得最大值时，点P 在线段
MN 上.易得线段333:(3)5,3,32MN y x x ⎡⎤=-
-+∈⎢⎥⎣⎦
.设33(,),3,.(23,3),(,),2333182P x y x AB AP x y AB AP x y x ⎡⎤
∈==⋅=+=+⎢⎥⎣⎦，因为
333,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，且函数318y x =+为增函数，所以3345
31822
AB AP
⋅⨯
+=
.
14.答案：1,2(2,)2⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
解析：由题意2cos 90180,1cos 0||||51
αααλ⋅=
<<∴-<<⋅+a b a b °°，
22
210,
10,2155,
51λλλλ--<⎧⎪∴-<
<∴⎨-->-+⋅+⎪⎩ 即221,2(21)55,λλλ⎧>-⎪⎨⎪+<+⎩即1,22,
λλ⎧>-⎪⎨⎪≠⎩
∴实数λ的取值范围是
1
,2(2,)
2
⎛⎫
-⋃+∞ ⎪
⎝⎭
.
15.答案：[0,1]
解析：如图所示，O为等边三角形ABC内切圆的圆心，OD为内切圆半径，在BDO中
,1,30,
BD OBD︒
=∠=可求得内切圆半径
3
.
3
OD=又PQ为圆O的直径，,
OQ OP
∴=-利用
向量的线性表示可得，MP=,
MO OP MQ MO OQ MO OP
+=+=-，
22
()()||||
MP MQ MO OP MO OP MO OP
∴⋅=+⋅-=-=21
||
3
MO-.
又M为ABC边上的动点，由图可知，当M在ABC各边的中点时，MO最小，为
3 3，即
min
()0;
MP MQ
⋅=当M在ABC的各个顶点时，MO最大，为
23
,
3
即max
() 1.
MP MQ MP MQ
⋅=∴⋅的取值范围为[]
0,1.。