高中 导数的实际应用练习题

故 g(x)单调递增．
所以，g(x)＞g(1)＝0(∀x＞0，x≠1)．
所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．
3.证明不等式 lnx> 2( x 1) ，其中 x>1. x1
3.证明不等式 lnx> 2( x 1) ，其中 x>1. x1
解：设 f(x)＝lnx－2xx＋－11 (x>1)． 则 f ′(x)＝1x－x＋4 12＝xxx－＋1122， ∵x>1，∴f ′(x)>0. ∴f(x)在(1，＋∞)内为单调增函数． 又∵f(1)＝0，当 x>1 时，f(x)>f(1)＝0， 即 lnx－2xx＋－11>0.∴lnx>2xx＋－11.
关系，建立适当的函数关系，并确定函数 的定义域，通过创造在闭区间内求函数取 值的情境，即核心问题是建立适当的函数 关系。再通过研究相应函数的性质，提出 优化方案，使问题得以解决，在这个过程 中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
用函数表示的数学问题
作答 优化问题的答案
解决数学模型 用导数解决数学问题
令y′＝0，解得x＝18 10或x＝－18 10(舍去)．
因此当截下的正方形边长是 1 a时，容积最
6
大。
例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高 的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯 成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多 少？
d h
x
解：如图，设断面的宽为x，高 为h，则h2=d2－x2， 横梁的强度函数f(x)=kxh2(k为强 度系数, k>0)，
V R2
则 S(R)=2πR R2 +2πR2
=
2V R
+2πR2
令
s ( R)
2V R2
4 R
0
解得
R=
3
V
2
从而h=
V
R2
V
(3 V
)2
23 V
2
即h=2R， 因为S(R)只有一个极值，所以它
是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料 最省
2.用长度为l的铁丝围成长方形，求围成长方形 的最大面积.
例1. 在边长为a的正方形铁片的四角切去相等 的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做 成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大， 截下的小正方形边长应是多少？
解：设小正方形边长为xcm，则箱子容积
V ( x) (a 2x)2 x, 0<x a 2
所以 V ( x) 4x3 4ax2 a2 x (0 x a )
2.用长度为l的铁丝围成长方形，求围成长方形 的最大面积.
解：设长方形的长为x，则宽为2l x
长方形面积为 s x( l x) 即 s x2 l x
2
2
所以s′=-2x+ l , 令s′=0 解得x= l
2
4
当0<x< l 时, s′>0 ；当 l <x< l 时, s′<0
4
42
所以x= l 是极大值点且唯一，所以x= l 是最大
[解析]
汽车运行的时间为
130 x
h，耗油量为
130 x
·(2＋
x2 360
)L，耗油费用为2·13x0
·(2＋
x2 360
)元，司机的工资为14·13x0
元．
故这次行车的总费用为
y＝2·13x0·(2＋3x620)＋14·13x0＝130(18x0＋1x8)，
所以y′＝130(1180－1x82 )．
2．(北京卷)设 L 为曲线 C：y＝lnxx在点(1,0)处的切 线． (1)求 L 的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方．
解：(1)设
f(x)＝lnxx，则
f′(x)＝1－xl2n
x .
所以 f′(1)＝1，所以 L 的方程为 y＝x－1.
(2)证明：令 g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，
3
令V ' 0 解得 x 3 p 4
B A
C
当0<x<
3 4
pBaidu Nhomakorabea
时,
V′>0
；当 3
4
p<x<
p时,
V′<0
所以x=
3 4
p是极大值点且唯一，所以x=
3 4
p是最
大值点,此时几何体的体积最大.
这时等腰三角形的腰为 3 p
4
,则底边长为 p
2
2.做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高 与底面直径为何值时，所用材料最省？
4
值点,因此,围成长方形的最大面积为
l
2
4
16
3.把长度为l的铁丝分成两段，各围成一个正方 形，问怎样分法，才能使它们的面积之和最小.
3.把长度为l的铁丝分成两段，各围成一个正方 形，问怎样分法，才能使它们的面积之和最小.
解：设其中一段长为x，则另段长为l-x.
它们面积之和为s 1 x2 1 (l x)2
存在问题
不等式、证明等问题
1.(辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx 曲线y＝f(x)过P(1,0)且在P点处的 切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2.
解：(1)f ′(x)＝1＋2ax＋bx. 由已知条件得ff(′1()1＝)＝0，2. 即11＋＋a2＝a＋0，b＝2. 解得 a＝－1，b＝3.
(2)证明：因为 f(x)的极小值为 1， 即 f(x)在(0，e]上的最小值为 1，所以[f(x)]min＝1. 又 g′(x)＝1－x2lnx， 所以当 0<x<e 时，g′(x)>0，g(x)在(0，e]上单调递增． 所以[g(x)]max＝g(e)＝1e<12，则 g(x)＋12<1≤f(x)， 所以在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋12.
5x 3 1502 x2 0
5x 3 1502 x2
即25x2=9(1502+x2)，
解此方程，得 x=±
9 1502 3 150
112.5
舍去负值，取x0=1124.5 .
4
因为T(0)=11，T(300)=11.2，
T(112.5)= 1502 112.52 187.5 10
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知 f(x)＝x－x2＋3lnx. 设 g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则 g′(x)＝－1－2x＋3x＝－(x－1)(x2x＋3). 当 0<x<1 时，g′(x)>0；当 x>1 时，g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减． 而 g(1)＝0，故当 x>0 时，g(x)≤0，即 f(x)≤2x－2.
B
A
C
练习B
1.等腰三角形的周长为2P，它围绕底边旋转一 周成一几何体，问三角形的各边长分别是多少 时，几何体的体积最大？
解：设等腰三角形的腰为x,则底边长为2P-2x. 围绕底边旋转一周成一几何体为两个圆锥，
体积为V 2 ( p x)[ x2 ( p x)2 ]
3
即 V 2 p (2x2 3 px p2 ) 所以 V ' 32 p (4x 3 p)
送到点C，再用轮船从点C
运到海岛，问点C选在何处
可使运输时间最短？
解:设点C与点B的距离是xkm，则运输时间
1502 x2 300 x
T(x)
(0≤x≤300)
30
50
因为( 1502 x2 )'
x
1502 x2
所以T '( x)
x
1
30 1502 x2 50
令T’(x)=0，则有
1.3.3 导数的实际 应用
在经济生活中，人们经常遇到最优化问 题，例如为使经营利润最大、生产效率最 高，或为使用力最省、用料最少、消耗最 省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳 策略，这些都是最优化问题。导数是解决 这类问题的基本方法之一。现在，我们研 究几个典型的实际问题。
解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的
所以f(x)=kx(d2－x2)，0<x<d，
d h
x
在开区间(0，d)内，
令f ’(x)=k(d2－3x2)=0，
解得x=± 3d， 其中负根没有意义，舍去. 3
当0<x< 3d时，f ’(x)>0，当 3 d<x<d时，
f ’(x)<0，3
3
因此在区间(0，d)内只有一个极大值点x= 3
d，所以f(x)在x= 3 d取得最大值，
、
已知 f(x)＝xlnx (1)求 f(x)的最小值；(2)证明：对一切 x ∈(0，＋∞)都有 lnx>e1x－e2x.
[解析] (1)f′(x)＝1＋lnx，在(0，1e) f′(x)<0，f(x)递减，在(1e，＋∞) f′(x)>0，f(x)递增，所以 f(x)在 x＝1e，取得最小值 f(1e)＝－1e.
2.做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高 与底面直径为何值时，所用材料最省？
解：设圆柱底面半径为R,则圆柱的高为
h
216
R2
圆柱形容器的面积为 s 2 R2 432
R
所以
s'
4
R
432 R2
4
R3 R2
432
令s′=0
解得R
3
432
4
33
4
当0<x<
33
4
时, s′<0 ；当 33 4
曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)＞0(∀x＞0，
x≠1)．
g(x)满足 g(1)＝0，且
g′(x)＝1－f′(x)＝x2－1x＋2 ln
x .
当 0＜x＜1 时，x2－1＜0，ln x＜0，所以 g′(x)＜0，
故 g(x)单调递减；
当 x＞1 时，x2－1＞0，ln x＞0，所以 g′(x)＞0，
<x<+∞时, s′>0
所以
4 R 33
是极小值点且唯一，所以 R 33 4
是最小值点,此时所用材料最省.
这时高与底面直径为 63 4
例3．如图，一海岛驻扎一支部队，海岛 离岸边最近点B的距离是150km，在岸边 距点B300km的点A处有一军需品仓库，有 一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有 一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时 速为50km，船时速为30km，试在岸边选 一点C，先将军需品用火车
(2)要证：lnx>e1x－e2x 只需证：xlnx>exx－2e，因为 f(x)＝xlnx 在(0，＋∞)最小值 为－1e，所以构造函数 g(x)＝exx－2e(x>0)
g′(x)＝1－ex x，因此 g(x)在(0,1)是递增，在(1，＋∞)是递减，所以 g(x)最大值 为 g(1)＝－1e，又因为 f(x)与 g(x)的最值不同时取得，所以 f(x)>g(x)
3
3
这就是横梁强度的最大值，
这时h d 2 x2 6 d 3
即当宽为 3d，高为
最大。
3
6 d 时，横梁的强度
3
例．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高 与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最 省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，
则表面积 S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得 h V
即 xlnx>exx－2e 所以 lnx>e1x－e2x
已知 f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝lnxx，其中 e 是 自然对数的底数，a∈R.
(1)讨论 a＝1 时，函数 f(x)的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋12；
[解析] (1)解：因为 a＝1， 所以 f(x)＝x－lnx， f′(x)＝1－1x＝x－x 1， 所以当 0<x<1 时，f′(x)<0，此时 f(x)单调递减； 当 1<x≤e 时，f′(x)>0，此时 f(x)单调递增． 所以 f(x)的极小值为 f(1)＝1.无极大值．
即 s 1 x2 1 lx 1 16
16
88
所以 s' 1 x 1 l
16
令s′=0
解得x= l
48
2
当0<x< l 时, s′<0 ；当 l <x< l 时, s′>0
2
2
所以x= l 是极小值点且唯一，所以x= l 是最小
2
2
值点,因此,分成相等两段使它们的面积之和最小.
练习B 1.等腰三角形的周长为2P，它围绕底边旋转一 周成一几何体，问三角形的各边长分别是多少 时，几何体的体积最大？
30
50
则10是三数中最小者，
所以选点C在与点B距离为112.5km处,运输 时间最小。
货车欲以 xkm/h 的速度行驶到 130km 远的某 地．按交通法则，车辆行驶速度的允许范围是 50≤x≤100.假设汽油的价格为 2 元/L，而汽车耗油的 速率是(2＋3x620)L/h，司机的工资是 14 元/h，试问最经 济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？
2
V ( x) 12x2 8ax a2
令 V ( x) 12x2 8ax a2 0
解得x1=
1 6
a，x2=
1 2
a（舍去），
在区间(0，1
2
1
a)内，且当0<x<6
a时，
V ′ (x)>0，当
1 6
a<x<a时，V′
(x)<0，
因此x= 1 a是极大值点，
6
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接 近a）时，箱子容积很小，