压轴题07 统计与概率压轴题压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)

压轴题07统计与概率压轴题
题型/考向一：计数原理与概率
题型/考向二：随机变量及其分布列
题型/考向三：统计与成对数据的统计分析
一、计数原理与概率
热点一排列与组合
解决排列、组合问题的一般步骤
(1)认真审题弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．
热点二二项式定理
1．求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k(k＝0，1，2，…，n)．
2．求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．
3．求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法．
4．求解系数和问题应用赋值法．
热点三概率
1．古典概型的概率公式
P (A )＝
事件A 中包含的样本点数
试验的样本点总数
.
2．条件概率公式
设A ，B 为随机事件，且P (A )＞0，则P (B |A )＝
P （AB ）
P （A ）
.
3．全概率公式
设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )＞0，i ＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑n
i ＝1
P (A i )P (B |A i )．
○
热○点○题○型一计数原理与概率
一、单选题
1．现将甲乙丙丁四个人全部安排到A 市､B 市､C 市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到A 市工作的安排种数为（）
A ．12
B ．14
C ．18
D ．22
【答案】D
【详解】若甲乙两人中的1人到A 市工作，有1
2C 种选择，其余3人到另外两个地方工作，
先将3人分为两组，再进行排列，有22
32C A 安排种数，故有12223212C C A =种；
若甲乙两人中的1人到A 市工作，有12C 种选择，丙丁中一人到A 市工作，有1
2C 种选择，其
余2人到另外两个地方工作，有22A 种选择，故安排种数有112
222C C A 8=种；
若安排甲乙2人都到A 市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有2
2A 2=种，
故总共有12+8+2=22种.故选：D
2．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（
）
A ．
14
B ．
27
C ．
13
D ．
25
3．在2x x y -+的展开式中，项7x y 的系数为（）
A ．60
B ．30
C ．20
D ．60
-【答案】D
【详解】由()
()6
6
2
2
x x y x x y ⎡⎤-+=-+⎣⎦，可得其二项展开式
()
61216C ,0,1,2,3,4,5,6r
r
r r T x x y r -+=-=，
若先满足项7x y 中y 的次数，则1r =，可得()()5
5
1122
26C 6T x x y x x y =-=-，其中()
52x x -展开式的通项为()
()
()52210155C 1C ,0,1,2,3,4,5r
r
r
r r r
r T x x x r --+=-=-=，
令107r -=，得3r =，可得()3
2377
451C 10T x x =-=-，
故项7x y 的系数为()61060⨯-=-.故选：D.
4．在
)
7
3
11⎛
⋅ ⎝
的展开式中，含1x 的项的系数为（
）
A ．21
B ．35
C ．48
D ．56
择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）
A ．
193243
B ．
100243
C ．
23
D ．
59
至少有一个白球”，事件:B “3个球中至少有一个红球”，事件:C “3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（
）
A ．事件A 与事件
B 不为互斥事件B ．事件A 与事件
C 不是相互独立事件C ．()30
31
P C A =D ．()()
P AC P AB >
的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（）A ．
14
B ．
15
C ．
16
D ．
18
3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为（）
A ．1
2B ．
1115C ．
713
D ．
27
【答案】C
【详解】记“随机选取4人”为事件Ω，“代表队中既有党员又有民主党派人士”为事件A ，“党
二、多选题
9．在9
x ⎛
+ ⎝
的展开式中，下列结论正确的是（
）
A ．第6项和第7项的二项式系数相等
B ．奇数项的二项式系数和为256
C ．常数项为84
D ．有理项有2项
10．已知01239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，则下列结论成立的是（
）
A ．20911a a a a ++++=L
B ．3672
a =C ．9012393a a a a a -+-+-= D ．123912398
=++++ a a a a 【答案】ABD
【详解】()()()()()9929
012925122222x x a a x a x a x --+-=+⎣=-+-++-⎡⎤⎦
，
展开式的通项为()
()()(
)
99199C 125C 125r r
r
r
r
r r
r T x x --+=--=-⋅⋅-⎡⎤⎣⎦，
对选项A ：令3x =，可得()9
01292351a a a a ++++=⨯-= ，正确；对选项B ：()3
3498C 2T x =-，所以33
98C 672a ==，正确；对选项C ：令1x =，可得9
01293a a a a -+--=- ，错误；
对选项D ：()()()()()9239
01239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，两边同时求导，得()()()()8
2
8
12391825223292x a a x a x a x -=+-+-++- ，令3x =，
123912398=++++ a a a a ，正确．
故选：ABD
11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）
A ．()2
5
P B =
B ．()1511
P B A =
C ．事件B 与事件1A 相互独立
D ．1A 、2A 、3A 两两互斥
表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的
概率均为3
4，则（）
A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为9 16
C．表演成功的环节个数的期望为3
D．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为3 4
热点一分布列的性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
X x1x2…x i…x n
P p1p2…p i…p n 则(1)p i≥0，i＝1，2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n.
(4)D (X )＝∑n
i ＝1
[x i －E (X )]2p i .
(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ).热点二
随机变量的分布列
1.二项分布
一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，
用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －k
，k ＝0，1，2，…，n .
E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ).2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝
C k M C n －k N －M C n N
，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *
，M ≤N ，n ≤N ，m ＝
max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }，E (X )＝n ·M N .
热点三
正态分布
解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x ＝μ.(2)样本标准差σ.
(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.
○
热○点○题○型二随机变量及其分布列
一、单选题
1．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2
120,N σ，已(140)0.2P X >=，
则[100,140]X ∈的学生人数为（
）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．30
【答案】D
【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布()2
120,N σ，所以期末考试数学成绩关于
120μ=对称，
则(140)(100)0.2P X P X >=<=，所以(100140)0.6P X ≤≤=，所以[100,140]X ∈的学生人数为：0.65030⨯=人.故选：D.
2．在某个独立重复实验中，事件A ，B 相互独立，且在一次实验中，事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1p -，其中()0,1p ∈．若进行n 次实验，记事件A 发生的次数为X ，事件B 发生的次数为Y ，事件AB 发生的次数为Z ，则下列说法正确的是（）
A ．()()()1pE X p E Y =-
B ．()()()1p D X pD Y -=
C ．()()E Z
D Y =D ．()()()
2
D Z D X D Y
=⋅⎡⎤⎣⎦【答案】C
【详解】由已知，(),X B n p ，∴()E X np =，()()1D X np p =-，
(),1Y B n p ~-，∴()()1E Y n p =-，()()()()1111D Y n p p np p ⎡⎤=---=-⎣⎦，
∵事件A ，B 相互独立，
∴一次实验中，A ，B 同时发生的概率()()()()1P AB P A P B p p ==-，∴()(),1Z B n p p ~-，
∴()()1E Z np p =-，()()()()()211111D Z np p p p np p p p ⎡⎤=---=--+⎣⎦，
对于A ，()2
pE X np =，()()()2
11p E Y n p -=-，
()()()1pE X p E Y =-不一定成立，故选项A 说法不正确；
对于B ，()()()2
11p D X np p -=-，()()2
1pD Y np p =-，
()()()1p D X pD Y -=，不一定成立，故选项B 说法不正确；
对于C ，()()1E Z np p =-，()()1D Y np p =-，
()()E Z D Y =成立，故选项C 说法正确；
对于D ，()()()2
2
2
222
11D Z n p p p p ⎡⎤=--+⎣⎦，()()()2
221D X D Y n p p ⋅=-，
()()()2
D Z D X D Y =⋅⎡⎤⎣⎦不一定成立，故选项D 说法不正确.
故选：C.
3．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A 型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km ）情况，随机调
查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量2(13,)N ξσ ，若
()12140.7P ξ<<=，则样本中耗电量不小于14kW h /100km ⋅的汽车大约有（
）
A ．180辆
B ．360辆
C ．600辆
D ．840辆
4．设1122，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的
是（）
A ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥
B ．对任意实数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤
C ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥
D ．()()21P X P X σσ≤≤≤
．．
A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B ．设()21N ξσ~，
，且(0)0.2P ξ<=，则(12)0.2P ξ<<=
C ．线性回归直线ˆˆˆy
bx a =+一定经过样本点的中心()，x y D ．随机变量()B n p ξ~，，若()()3020E D ξξ==，，则90n =
从正态分布()
2
72,8
N ，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（
）
参考数据：()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．
A ．455
B ．2718
C ．6346
D ．9545
7．某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布，且使用寿
命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）
A ．0.9
B ．0.7
C ．0.3
D ．0.1
面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．假
设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质量为X ，若()
2
~,X N μσ，则买一个面
包的质量大于900g 的概率为（）
（附：①随机变量η服从正态分布()2
,N μσ，则()0.6827μσημσ-≤≤+=，
(22)0.9545P μσημσ-≤≤+=，(33)0.9973P μσημσ-≤≤+=；）
A ．0.84135
B ．0.97225
C ．0.97725
D ．0.99865
二、多选题
9．已知随机变量X 服从二项分布29,3B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，随机变量21Y X =+，则下列说法正确的是（
）
A ．随机变量X 的数学期望()6E X =
B ．5
12(2)93P X ⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
C ．随机变量X 的方差()2
D X =D ．随机变量Y 的方差()4
D Y =
10．随机变量且20.5P X ≤=，随机变量3,Y B p ，若E Y E X =，则
（）
A ．2μ=
B ．()2
2D x σ
=C ．23
p =
D ．()36
D Y =
坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则（
）
A ．P (X ＞32)＞P (Y ＞32)
B ．P (X ≤36)＝P (Y ≤36)
C ．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D ．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【答案】BCD
【详解】A.由条件可知()2
30,6X N ，()234,2Y N ~，根据对称性可知
()()320.532P Y P X >>>>，故A 错误；
B.()()36P X P X μσ≤=≤+,()()36P Y P Y μσ≤=≤+，所以()()3636P X P Y ≤=≤，故B 正确；
C.()340.5P X ≤>=()34P Y ≤，所以()()3434P X P Y ≤>≤，故C 正确；
D.()()()40422P X P X P X μσ≤<<=<+，()()403P Y P Y μσ≤=≤+，所以
()()4040P X P Y ≤<≤，故D 正确.
故选：BCD
12．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2
500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为x g ，
随机变量x 服从正态密度函数()2
200(1000)
x x ϕ--=，其中x ∈R ，则（
）
附：随机变量2(,)N ξμσ-，则()0.683P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，
()330.997P μσξμσ-<<+=．
A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%
B ．生产线乙的食盐质量()
2
~1000,100
x N C ．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常是合理的
三、解答题
13．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到．
(1)求恰有1名甲班的候选人被选中的概率；
(2)用X 表示选中的候选人中来自甲班的人数，求()3P X ≥；(3)求（2）中X 的分布列及数学期望．
()012344954954954954953
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=．14．网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A 组和B 组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响·
(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；
(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X ，估计X 的数学期望()E X ；
(3)从A 组和B 组中分别随机抽取2户家庭，记1ξ为A 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，2ξ为B 组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差()1D ξ与()2D ξ的大小．（结论不要求证明）
高科技体验．现有A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人，其工作程序依次分为三个步骤：分捡，归类，处理，每个步骤完成后进入下一步骤．若分捡步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为20分，若归类步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为30分，若处理步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为50分．若各步骤完成但效能没有达到95%，则该步骤得分为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作．现
已知A款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为4
5，
3
5，
1
3，B款机器人完
成各步骤且效能达到95%及以上的概率均为1
2
，每款机器人完成每个步骤且效能是否达到
95%及以上都相互独立．
(1)求B款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率；
(2)若准备在A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人，从最后总得分的期望角度来分析，你会选择哪一种型号？
则()416226802030507575257575E X =
⨯+⨯+⨯+⨯+14380015270801002525753
⨯+⨯+⨯==．设B 款机器人完成所有工作总得分为Y ，则Y 的可能取值为0,20,30,50,70,80,100，
所以()()3
11
0,20,30,70,80,10028P Y ξξ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，
()3
11
50224
P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，
所以Y 的分布列为：
Y
02030507080100
P
18181814181818
则()11111020305088848E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+11400
708010050,888
⨯+⨯+⨯=
=因为
152
503
>，所以()()E X E Y >，
所以从最后总得分的期望角度来分析，应该选择A 种型号的机器人．
三、统计与成对数据的统计分析
热点一用样本估计总体
1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率
组距
，频率＝组距×频率
组距
.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二回归分析
求经验回归方程的步骤
(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －
，y －
，∑n i ＝1x 2i ，∑n i ＝1
x i y i 的值.
(3)计算a ^，b ^
.
(4)写出经验回归方程.热点三
独立性检验
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列2×2列联表；
(2)根据公式χ2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，计算χ2的值；
(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○
热○点○题○型三统计与成对数据的统计分析
一、单选题
1．已知一组数据1231,31,,31n x x x --- 的方差为1，则数据12,,,n x x x 的方差为（）
A ．3
B ．1
C ．
1
3
D ．
19
抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是（）
A ．90
B ．96
C ．102
D ．120
【答案】D
绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（
）
A ．频率分布直方图中a 的值为0.004
B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D ．估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150【答案】D
【详解】由()10237621a a a a a ⨯++++=可得0.005a =，故A 错误；
前三个矩形的面积和为()102370.6a a
a ⨯++=，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B 错误；
这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误；
总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101000150a ⨯⨯=，故D 正确.故选：D
4．如图，一组数据123910,,,,,x x x x
x ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为2
2s ，则（
）
A ．5x >，22
12s s >B ．5x <，22
12s s <C ．5x =，22
12s s <D ．5x =，22
12
s s >
根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（
）
A ．若2a =，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差
B ．若4a =，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数
C ．若5a =，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差
D ．若6a =，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数
A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12
,x x 和2212,s s ，且已知12x x =，则总体方差()
2
22
1212
s s s =
+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1
C ．已知随机变量X 服从正态分布()2
,N μσ
，若()()151P X P X -+= ，则2
μ=D ．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=
1，2，…，10A ．数据141x +，241x +，…，1041x +的平均数为9B ．10
120
i i x ==∑C ．数据13x ，23x ，…，103x 的方差为D ．10
2
1
70
i i x ==∑
1制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的
函数关系的是（）
A ．1d v α=，2d =
B ．1d v α=，2
2d v β=
C ．1d =，2d v β=
D ．1d =，2
2d v
β=【答案】B
【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.
由图象知，
()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.
作出散点图，如图1.
由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.
()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，
()110,78.1，()120,93，()130,108.5，()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.
作出散点图，如图2.
由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用2
2d v β=.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A ．数据5，7，8，11，10，15，20的中位数为11
B ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为18.5
C ．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成直角三角形三边长的概率为0.1
D ．设随机事件A 和B ，已知0.8)P
A =（，0.6|P
B A =（），(|)0.1P B A =，则()0.5P B =
故选：BCD.
10．为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校大一学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这
200名学生的成绩都在区间[]60,100内，将其分成5组：[)60,68，[)68,76，[)76,84，[)84,92，[]92,100，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的
数据用该组区间的中点值为代表，则（
）
A ．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%
B ．该校学生测试成绩的中位数估计值为80
C ．该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数
D ．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩不低于84分的概率估计值为0.16
到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则（
）
A ．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%
B ．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%
C ．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半
D ．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多【答案】ABC
【详解】设2022年到该地旅游的游客总人数为a ，
由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为0.2a ，0.35a ，0.45a ，其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04a ，0.0875a ，0.135a ，所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为0.350.450.8a a a +=，所以A 正确；
因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数0.040.08750.1350.2625a a a a ++=，所以B 正确；
因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为0.2625a ，其中青年人的人数为0.135a ，所以C 正确；
因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为0.135a ，而到该地旅游的老年人的人数为0.2a ，所以D 错误．故选：ABC.
12．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（
）
A ．营业收入增速的中位数为9.1%
B ．营业收入增速极差为13.6%
C ．利润总额增速越来越小
D ．利润总额增速的平均数大于6%
【答案】ABD
【详解】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；
利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3% 5.0%8.5% 3.5% 1.0% 1.0% 1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；
故选：ABD .
三、解答题
13．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按
[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小
白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体没有抗体合计
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及0.05a =的独立性检验，判断能否认为注射疫苗
后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p ；
（ii ）以（i ）中确定的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ．试验后统计数据显示，当X =99时，P （X ）取最大值，求参加人体接种试验的人数n ．
参考公式：22
()()()()()
n ad bc x a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）
20()
P x k ≥0.500.400.250.150.1000.0500.0250
k 0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
零假设为0根据列联表中数据，得2
2
0.05200(502020110) 4.945 3.8411604070130
x x ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，
根据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A ，B ，C 发生的概率分别为(),(),()P A P B P C ，则160()0.8200
P A =
=，20
(|)0.540P B A ==，()1()1()(|)10.20.50.9P C P AB P A P B A =-=-=-⨯=，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9p =，（ii ）由题意，知随机变量~(,0.9)X B n ，
()C 0.90.1
(0,1,2,)k k n k
n P X k k n -==⨯⨯= ，因为(99)P X =最大，
所以999999989898
999999100100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1n n n n n n n
n ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得1109110,
9
n ≤≤n Q 是整数，所以109n =或110n =，∴接受接种试验的人数为109或110．
14．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平均
值根部横截面积0.040.060.040.080.080.05a b c 0.07
0.06
i
x 材积量i y 0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.44
0.39其中a ，b ，c 为等差数列，并计算得：610.146i i i x
y ==∑0.044≈，0.303≈．(1)求b
的值；(2)若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程（若0.250.75r ≤≤，则认为两个变量的线性相关性一般；若0.75r
>，则认为两个变量的线性相
关性很强）；附：相关系数n i i x y nx y
r -=∑回归直线y bx a =+$$$中，1221n i i i n i
i x y nx y b x
nx ==-=-∑∑ ，a y bx =-$$．(3)根据回归直线方程估计a ，c 的值（精确到0.01）．。