2.2.2平面与平面平行的判定(解析版)

人教版A版高中数学必修二2.2.2平面与平面平行的判定学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列条件中，能判断两个平面平行的是（）
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面
D．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
【答案】C
【解析】
【分析】
根据面面平行的判定定理或定义可得出结论.
【详解】
根据面面平行的定义可知，若两个平面没有公共点，则这两个平面平行，则一个平面内所有直线都与另一个平面没有公共点，则这两个平面平行.
由面面平行的判定定理可知，一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
故选：C.
【点睛】
本题考查面面平行的判断，一般利用面面平行的定义或判定定理来判断，考查对面面平行的定义和判定定理的理解，属于基础题.
2．下列说法正确的是（）
A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行
【答案】C
【解析】
【分析】
利用逐一验证法，结合面面平行的判定以及线线平行的特点，可得结果.
A 错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，
可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；
B 错，
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，
则这两个平面可能平行或相交；
C 正确，设,l m αβ⋂=//,m α//β，
利用线面平行的性质定理，在平面α中存在直线a //m ，
在平面β中存在直线b //m ，所以可知a //b ，
根据线面平行的判定定理，可得b //α，
然后根据线面平行的性质定理可知b //l ，所以m //l ；
D 错，两个平面可能平行，也可能相交.
故选：C
【点睛】
本题考查面面平行的判定，还考查线面平行的判定定理以及性质定理，重点在于对定理的熟练应用，属基础题.
3．已知,αβ是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ）
A ．α内有无穷多条直线与β平行
B ．直线a //,a α//β
C ．直线,a b 满足b //,a a //,b α//β
D ．异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α
【答案】D
【解析】
【分析】
采用逐一验证法，根据面面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
A 错
α内有无穷多条直线与β平行，
B 错
若直线a //,a α//β，
则平面α与平面β可能平行，也可能相交，
C 错
若b //,a a //,b α//β，
则平面α与平面β可能平行，也可能相交，
D 正确
当异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α时，
可在α上取一点P ，过点P 在α内作直线'b //b ，
由线面平行的判定定理，得'b //β，
,a b 异面，所以',a b 相交，
再由面面平行的判定定理，得α//β，
故选：D.
【点睛】
本题考查面面平行的判定，属基础题.
4．已知三条互不相同的直线l m n ，，和三个互不相同的平面αβγ，，，现给出下列三个命题：
①若l 与m 为异面直线，l m αβ⊂⊂，，则αβ∥；
②若αβ∥，l m αβ⊂⊂，，则l m P ；
其中真命题的个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】D
【解析】
【分析】
通过线面平行的性质与判定，以及线面关系，对三个命题进行判断，得到答案.
【详解】
①中，两平面也可能相交，故①错误；
本题考查线面平行的判定和性质，线面关系，属于简单题.
5．设α，β表示两个不同平面，m 表示一条直线，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//αβ，则//m β.
B ．若//m α，//m β，则//αβ.
C ．若m α⊂，//αβ，则//m β.
D ．若m α⊂，//m β，则//αβ.
【答案】C
【解析】
【分析】
由//m β或
m β⊂判断A ；由//αβ，或αβ、相交判断B ；根据线面平行与面面平行的定义判断C ；由//αβ或αβ、相交，判断D .
【详解】
若//m α，//αβ，则//m β或
m β⊂，A 不正确； 若//m α，//m β，则//αβ，或αβ、相交，B 不正确；
若m α⊂，//αβ，可得m 、β没有公共点，即//m β，C 正确；
若m α⊂，//m β，则//αβ或αβ、相交，D 不正确,故选C.
【点睛】
本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
6．能够推出平面α∥平面β的是（ ）
A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β
B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
【解析】
试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；
对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；
对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；
对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确
考点：空间线面平行的判定与性质
7．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ等价于（ ） A ．存在两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂.
B ．存在一条直线a ，//,//a a αβ.
C ．存在一条直线a ，,//β⊂a a a .
D ．存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a .
【答案】A
【解析】
【分析】
根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于A 选项，如图：,a b 为异面直线，且,,//,//a b a b αββα⊂⊂，在β内过b 上一点作//c a ，则β内有两相交直线平行于α，则有//αβ；故A 正确；
对于B 选项，若//,//a a αβ，则a 可能平行于α与β的交线，因此α与β可能平行，也可能相交，故B 错；
对于D 选项，若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ，则α与β可能平行，也可能相交，故D 错.
故选：A
【点睛】
本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.
8．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m βP ，n P P βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒P ③αβ∥，m α⊂，n m n P β⊂⇒ ④m αP ，n m n α⊂⇒P 其中正确命题的个数有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 【答案】A
【解析】
①m α⊂，n α⊂，m P β，n βP ，则α与β可能相交，①错；②n m P ，n α⊂，则m 可能在平面α内，②错；③αβP ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可能异面，③错；④m αP ，n α⊂，则m 与n 可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选A ．
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 9．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ
②存在两条不同的直线l ，m ，使得l ⊂β，m ⊂β，使得l ∥α，m ∥α
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.
其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
利用直线与平面、平面与平面的位置关系,对选项进行逐一判断,确定出正确选项即可.
【详解】
对于①:由平行于同一平面的两个平面平行可知①正确;
对于②:由面面平行的判定定理知,若,l m 是同一平面内的两条相交直线时,可以判定α与β平行,反之不成立,故②不正确;
对于③:若,αβ是两个相交平面时,如果平面α内不共线的三点在平面β的异侧时，此三点可以到平面β的距离等,此时不能判定α与β平行,故③不正确;
对于④:在平面α内作''//,//l l m m ,因为,l m 是两条异面直线,所以必有'',l m 相交,又因
为//,//l m ββ,所以''//,//l m ββ,由面面平行的判定定理知,α与β平行,故④正确;
故选:B
【点睛】
本题考查面面平行的判定及线面平行的判定;熟练掌握面面平行的判定定理是求解本题的关键;重点考查学生的逻辑思维能力;属于中档题、常考题型.
10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，点P 是侧面11CDD C 上的动点，且1MP AB C P ，则线段MP 长度的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 取CD 的中点N ，1CC 的中点R ，11B C 的中点H ，根据面面平行的判定定理，得到平
MRN ∠是直角，进而即可求出结果.
【详解】
取CD 的中点N ，1CC 的中点R ，11B C 的中点H ，则1////MN B C HR ，//MH AC ， ∴平面//MNRH 平面1AB C ，
∴MP ⊂平面MNRH ，线段MP 扫过的图形是MNR V
∵2AB =，∴MN NR MR ===
∴222MN NR MR =+，∴MRN ∠是直角，
∴线段MP 长度的取值范围是. 故选B.
【点睛】
本题主要考查面面平行的判定，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.
二、填空题
11．给出下列命题：
①任意三点确定一个平面；
②三条平行直线最多可以确定三个个平面；
③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；
④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；
其中说法正确的有_____（填序号）.
【答案】②③
【解析】
【分析】
对四个选项进行逐一分析即可.
对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；
对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；
对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；
对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误. 综上所述，正确的有②③.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.
12．过平面外两点，可作______个平面与已知平面平行．
【答案】0或1
【解析】
【分析】
当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，结论不唯一，得到结果．
【详解】
两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，
当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，
当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行， 这样的平面可能有，可能没有，
故答案为0或1．
【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论，考查过两个点的平面与已知平面的关系，本题要考查学生的空间想象能力，是一个基础题．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面ABCD平行的面是____________．
【答案】面A1B1C1D1
【分析】
根据正方体的性质，得到答案.
【详解】
在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中
根据正方体的性质，对面互相平行
所以与面ABCD 平行的面是A 1B 1C 1D 1
【点睛】
本题考查正方体的基本性质，属于简单题.
14．设直线,l m ，平面,αβ，下列条件能得出//αβ的是_____.l m αα⊂⊂①,，且//,//l m ββ；l m αβ⊂⊂②,且//l m ；③,l m αβ⊥⊥，且//l m ；
//,//l m αβ④，且//l m .
【答案】③
【解析】
【分析】
利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题分析判断得解.
【详解】
设直线,l m ，平面,αβ，
①,l m αα⊂⊂，且//,//l m ββ；l 与m 不相交时不能得出//αβ.
②,l m αβ⊂⊂且//;l m α与β可能相交.
③,l m αβ⊥⊥，且//l m ；能得出//αβ.
④//,//l m αβ，且//l m .可能得出α与β相交.
故答案为：③.
【点睛】
本题主要考查空间直线和平面位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点（包括边界），且11//A F D AE 平面，则11FA FB ⋅u u u v u u u v
的最小值为____．
【答案】
12
【解析】
【分析】 根据题意1111ABCD A B C D -，可知
2211111111111()||||FA FB FB B A FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，即求21||FB u u u r 的最小值.在侧面11BCC B 内找到满足1//A F 平面1D AE 且21||FB u u u r
最小的点即可.
【详解】 由题得21111111()||
FA FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，取1BB 中点H ，11B C 中点G ，连结1A G ，1A H ，GH ，11//A H D E Q ，∴1//A H 平面1D AE ，1//GH AD Q ，//GH ∴平面1D AE ，
∴平面1//GA H 平面1D AE ，1//A F 平面1D AE ，故F ⊂平面1GA H ，又F ⊂平面11BCC B ，则点F 在两平面交线直线GH 上，那么1FB 的最小值是1FB GH ⊥时，
11=1B G B H =，则211||=2
FB u u u r 为最小值. 【点睛】
本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.
三、解答题
16．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，//AB CD ，E ，F 分别为棱PC ，CD
的中点，3AB =，6CD =，且AC =
（1）证明：平面//PAD 平面BEF .
（2）若四棱锥P ABCD -的高为3，求该四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据3AB =,6CD =可知2CD AB =,由//AB DF 可证明//BF AD ,又根据中位线可证明//EF PD 即可由平面与平面平行的判定定理证明平面//PAD 平面BEF . （2）利用勾股定理,求得DC .底面为直角梯形,求得底面积后即可由四棱锥的体积公式求得解.
【详解】
（1）证明：因为F 为CD 的中点,且2CD AB =,所以DF AB =.
因为//AB CD ,所以//AB DF ,所以四边形ABFD 为平行四边形,
所以//BF AD .
在PDC ∆中,因为E ,F 分别为PC ,CD 的中点,所以//EF PD ,
因为EF BF F =I ,PD AD D ⋂=,
所以平面//PAD 平面BEF .
（2）因为AD CD ⊥,所以AC =
=
又AC =所以2AD =. 所以四边形ABCD 的面积为
()123692
⨯⨯+=, 故四棱锥P ABCD -的体积为13993⨯⨯=. 【点睛】
本题考查了平面与平面平行的判定,四棱锥体积的求法,属于基础题.
17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1AD ，1BD B C ，的中点. 求证：
（1）MN ∥平面11CC D D ；
（2）平面MNP P 平面11CC D D .
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接1,AC CD ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）连接1BC ，1C D ，先由线面平行的判定定理，得到PN P 平面11CC D D ，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.
【详解】
（1）如图，连接1,AC CD .
∵四边形ABCD 是正方形，N 是BD 的中点，∴N 是AC 的中点.
又∵M 是1AD 的中点，∴1//MN CD .
∵MN ⊄平面11CC D D ，1CD ⊂平面11CC D D ，
∴//MN 平面11CC D D .
（2）连接1BC ，1C D ，
∵四边形11B BCC 是正方形，P 是1B C 的中点，∴P 是1BC 的中点.
又∵N 是BD 中点，∴1PN C D P .
∵PN ⊄平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D ，
∴PN P 平面11CC D D .
由（1）知MN ∥平面11CC D D ，且MN PN N ⋂=，
∴平面//MNP 平面11CC D D .
【点睛】
本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：
（1）1AC ∥平面1B CD ；
（2）平面1APC P 平面1B CD ．
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC P ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；
（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1AP DB P ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC P 平面1B CD ．
【详解】
证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，
∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点，
又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC P ，
又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，
∴1AC ∥平面1B CD ；
（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，
∴1AD B P P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形，
∴1AP DB P ，
又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，
∴AP ∥平面1B CD ．
又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =I ，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ， ∴平面1APC P 平面1B CD ．
【点睛】
本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别是平面11AA D D ､平面1111D C B A 的中心，证明:
（1）1//D Q 平面1C DB ；
（2）平面1//D PQ 平面1C DB .
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)证明1//D Q DB 即可.
(2)根据(1)中的结论再证明11//D P C B 即可.
【详解】
（1）由1111ABCD A B C D -是正方体,可知,1//D Q DB ,∵1D Q ⊄平面1C DB ,DB ⊂平面1C DB ,∴1//D Q 平面1C DB .
（2）由1111ABCD A B C D -是正方体,可知,11//D P C B ,
∵1D P ⊄平面1C DB ,1C B ⊂年平面1C DB ,
∴1//D P 平面1C DB ,由（1）知,1//D Q 平面1C DB ,又111D Q D P D =I , ∴平面1//D PQ 平面1C DB .
【点睛】
本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.
20．如图，矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，
2,1EP BP AD AE ====，,//,,AE EP AE BP G F ⊥分别是,BP BC 的中点．
求证：平面//AFG 平面PCE ；
【详解】
因为G 是BP 的中点，2BP =，所以112
PG BP ==． 又因为1AE =， //AE BP ，所以//AE PG ，且AE PG =，
所以四边形AEPG 是平行四边形，所以//AG EP ．
又因为AG ⊄平面,PCE EP ⊂平面PCE ，所以//AG 平面PCE ． 因为G F 、分别是BP BC 、的中点，所以//FG PC ．
又因为PC ⊂平面,PCE FG ⊄平面PCE ，所以//FG 面PCE 又因为,AG FG G AG ⋂=⊂平面,AFG FG ⊂平面AFG ， 所以平面//AFG 平面PCE ．。