人教版高中数学选择性必修第3册8-1-2样本相关系数课件

D．③④
• 【答案】B
• 【解析】样本相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性 相关程度越高．
易错警示 样本相关系数r概念理解不到位致误
•
以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大
小x(m2)的数据.
房屋大小/m2 115 110 80 135 105
销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
65.6≈0.96，
由相关系数 r＝0.96 可知，房屋大小与销售价格呈正相关，且相关性
高，拟合程度较高．
素养达成
• 1．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在 作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一 条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性 相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．
＝
1
3 308 570×
65.6≈0.96，
• 由相关系数r＝0.96可知，房屋大小与销售价格呈负相关， 且相关性不高，拟合程度不高．
• 易错防范：判断变量之间的线性相关关系，通常利用相 关系数r，当|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，这 时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好．
• 正解：由题设数据，得
• (1)当r＞0时，称成对样本数正据______相关；当r＜0时，
称成对样本数据负相关；当r＝0时不，两个变量线性______相
关．
[－1,1]
• (2)样本相关系数r的取值范围为__________．
• 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
• 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关程度性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关程度越弱，故 D正确．
课堂互动
题型1 线性相关性的检验
•
现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时
的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
i＝1
i＝1
≈2.646.
7
yi－－y 2＝0.664，
7
i＝1
解：由折线图中数据和参考数据得－t ＝4，
7
(ti－－t )2＝28
，
i＝1
7
yi－－y 2＝0.664，
7
(ti－－t )(yi－－y )＝
7 tiyi－－t
7
yi＝47.36
i＝1
i＝1
i＝1
i＝1
－4×10.97＝3.48，
则 r＝
解：(1) x ＝2＋3＋54＋5＋6＝4. y ＝2.2＋3.8＋55.5＋6.5＋7.0＝5.
5
(2)xiyi－5 x y ＝112.3－5×4×5＝12.3，
i＝1
5
x2i －5 x 2＝90－5×42＝10，
i＝1
5
y2i －5 y 2＝140.78－5×52＝15.78，
i＝1
所以 r＝ 101×2.135.78≈0.979. 所以 x 与 y 之间具有很强的线性相关关系．
＋
i＝1
2×4＝21，
所以样本yi－－y
i＝1 5
xi－ x 2
＝
5
yi－－y 2
21 10×
46
i＝1
i＝1
≈3.162×16.80≈0.98. (2)由(1)知，r＝0.98 接近于 1，说明 y 与 x 具有较强的线性相关关系．
题型2 判断相关性的强弱
• 下图是我国2015年至2021年生活垃圾无害化处理量 (单位：亿吨)的折线图．
• 注：年份代码1～7分别对应年份2015～2021.
• 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求 出相关系数r，并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱．
7
7
参考数据：yi＝10.97，tiyi＝47.36，
y23 5 6
已知x和y线性相关，求相关系数r.
4
【 答 案 】 由 表 计 算 得 x ＝ 9 ， y ＝ 4 ， (xi － x )(yi － y ) ＝ 14 ，
i＝1
4
xi－ x 2＝2 5，
i＝1
≈0.99.
4
yi－ y 2＝
i＝1
10，所以 r＝2
14 5×
10＝5 7 2
样本相关系数r的性质
i＝1
10
xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73 796.
i＝1
所以 r＝ 116 5847－3 71906×－11007×.8210477.83×846－8 10×682≈0.750 6. 由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．
• 利用相关系数r判断相关关系，需要应用公式计算出r的值， 由于数据较大，需要借助计算器．
i xi yi
x2i
y2i
xiyi
1 115 24.8 13 225 615.04 2 852
2 110 21.6 12 100 466.56 2 376
3 80 18.4 6 400 338.56 1 472
4 135 29.2 18 225 852.64 3 942
5 105 22 11 025 484 2 310
• 【预习自测】 • 下面对样本相关系数r描述正确的是 • A．r＞0表明两个变量负相关 • B．r＞1表明两个变量正相关 • C．r只能大于零 • D．|r|越接近于0，两个变量相关关系越弱
()
• 【答案】D
• 【解析】因r＞0表明两个变量正相关，故A错误；又因
r∈[－1,1]，故B，C错误；两个变量之间的样本相关系数r的
求样本相关系数r，并作出评价．
• 错解：由题设数据，得
i xi yi
x2i
y2i
xiyi
1 115 24.8 13 225 615.04 2 852
2 110 21.6 12 100 466.56 2 376
3 80 18.4 6 400 338.56 1 472
4 135 29.2 18 225 852.64 3 942
∑ 545 116 60 975 2 756.8 12 952
x ＝5545＝109， y ＝1156＝23.2，
5
xiyi－5 x y
i＝1
r＝
5
xi2－5 x 2
5
y2i －5 y 2
i＝1
i＝1
＝
60 9751－559×521－0952×·120795×6.283－.25×23.22＝
1
3 308 570×
解：依题意， x ＝1＋2＋35＋4＋5＝3， y ＝3＋7＋8＋ 5 10＋12＝8，
5
xi－ x 2＝ 22＋12＋02＋12＋22＝ 10，
i＝1
5
yi－－y 2＝
52＋12＋02＋22＋42＝
46，
i＝1
5
(xi
－
x
)(yi
－
－ y
)
＝
(
－
2)×(
－
5)
＋
(
－
1)×(
－
1)
＋
0×0
＋
1×2
• 1．假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费 用y(万元)有如下统计资料：
x2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
5
5
5
已知 xi2＝90， yi2＝140.78， xiyi＝112.3.
i＝1
i＝1
i＝1
(1)求 x ， y ；
(2)对 x，y 进行线性相关性检验．
请问这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？
解： x ＝110(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8， y ＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68，
10
x2i ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584，
i＝1
10
y2i ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，
第八章 成对数据的统计分析
8.1 成对数据的统计相关性
8.1.2 样本相关系数
学习目标 1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的 相关性 2.了解线性样本相关系数r的求解公式，并会初步应 用
素养要求 数据分析 数学抽象
自学导引
样本相关系数r的计算 对于变量 x 和变量 y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)，其中 x1，x2，…，xn 和 y1，y2，…，yn 的均值分别 为 x 和 y ，则变量 x 和 y 的样本相关系数
• C．如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
• D．线性相关系数r∈(－1,1)
• 【答案】ABC
• 【解析】∵相关系数|r|≤1，∴D错误．
• 4．(题型2)为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关 性的强弱，某人分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的线性 相关系数，其数值分别为－0.95,0.87,0.58,0.92，则这四组数 据中线性相关性最强的是________组数据．
• 2．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值 组数，r是样本相关系数，且已知：
• ①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0.301 2；
• ③n＝17，r＝0.499 1；④n＝3，r＝0.995 0.
• 则变量y和x线性相关程度最高的两组是
()
• A．①②
B．①④
• C．②④
()
• A．y与x线性不相关 B．y与x正线性相关
• C．y与x负线性相关 D．以上都不对
• 【答案】C
• 【解析】因为r＝－0.730＜0，所以y与x负线性相关．
• 3．(题型1)(多选)下列说法正确的是
()
• A．变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自 变量唯一确定
• B．线性相关系数可以是正的或负的
5 105 22 11 025 484 2 310
∑ 545 116 60 975 2 756.8 12 952
x ＝5545＝109， y ＝1156＝23.2，
5
xiyi－5 x y
i＝1
r＝
5
x2i －5 x 2
5
y2i －5 y 2
i＝1
i＝1
＝
15 952－5×109×23.2 60 975－5×1092· 2 756.8－5×23.22
• 2．|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变 量之间的线性相关关系越强．
• 1．(题型2)两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关
系数的数值
()
• A．越小
B．越接近1
• C．越接近0
D．越接近－1
• 【答案】C
• 2．(题型1)给定y与x是一组样本数据，求得样本相关系数
r＝－0.730，则
7
ti－－t yi－－y
i＝1
7
ti－－t 2
7
yi－－y 2≈2×2.634.64×8 0.664≈0.99，
i＝1
i＝1
y 与 t 的相关系数近似为 0.99，接近于 1， 所以 y 与 t 的线性相关性较强．
• 样本相关系数能精确刻画两变量线性相关关系的强弱，|r| 越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的线 性相关关系越强．因此计算时要仔细，随时做好检查，防止 错误数据给后续步骤带来连锁反应，为避免出错，以及出错 后便于检查，可将公式分解分别求值．
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝
.
n
xi－ x 2
n
yi－ y 2
i＝1
i＝1
注：r 也可以表示为
n
xiyi－n x y
i＝1
r＝
.
n
xi2－n x 2
n
y2i －n y 2
i＝1
i＝1
• 【预习自测】 • 某研究机械对高中学生的的记忆力x和判断力y进行统计分析，
得到下列数据：
x 6 8 10 12
• 【答案】甲
• 【解析】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性 越强，所以甲组数据的线性相关性最强．
• 5．(题型1)(2022年四川一模)下表是弹簧伸长的长度 x(cm)与拉力值y(N)的对应数据：
长度x/cm 1 2 3 4 5 拉力值y/N 3 7 8 10 12 (1)求样本相关系数 r(保留两位小数)； (2)通过样本相关系数 r 说明 y 与 x 是否线性相关． 参考数据： 10≈3.16， 46≈6.80， 23≈4.80.