工程电磁场之二静电场

23
1.2 高斯定律
1.2.1 静电场中的导体
导体的定义：其内存在着能够自由运动的电 荷的物质。
有运动的电荷可以是自由电子或离子，金属是 最常见的导体。
当把导体放入外电场中，则外电场对导体内的 自由电荷将产生作用力，并使其运动，导体表面 会出现感应电荷。这些感应电荷的作用是在导体 内部产生一个附加电场，外加电场在导体内部不 断被抵消，导体内部的电场 E，最0 后达到静电平 衡状态。
6
体电荷分布 面电荷分布 线电荷分布
dq dV
E
1
4π 0
dV
V R 2 eR
dq dS
E
1
4π 0
S
dS
R2
eR
dq dl
E
1
4π 0
l Rdl2eR
7
例1-1-1 真空中有一长为L的均匀带电直导线，电荷
线密度为 ,试求P点的电场。
解: 轴对称场，取圆柱坐标系
dE(z, )
dl
q
4π ε0
rB dr r rA 2
q 4π ε0
1 ( rA
1 rB
)
设l是一条闭合回路，电荷从A点经过B点又回到A点， 静电场作的功为
W E dl
q
rA dr q ( 1 1 ) 0
l
4π ε0 r rA 2 4π ε0 rA rA
12
即 l E dl 0
电场力作功与路径无关。
cosd
4 0
(sin
2
sin
1)
( 4π 0
L2 L22 2
L1 ) L12 2
Ez
L2 L1
z 4π0 (z2
2 )32 dz
(
4π 0
1
L22 2
1 )
L12 2
当L L1 L2 时,
E(,,
z)
E e
0 Ezez
2π 0
e
无限长直导线产生的电场
30
电极化强度与极化电荷的关系
电极化强度 是P电偶极矩体密度，单个电偶极子
产生的电位
p
qd
qd cos 4π 0R2
1
4π 0
p eR R2
r
电偶极子产生的电位
体积V 内电偶极子产生的电位
1
4π 0
V
'
P(r) (r r r' 3
r'
)dV
'
31
1
4π 0
V
'
P(r '
)
R2
场强为恒值
2
，平面两侧电场强度的方向相反。
0
10
1.1.3 旋度和环路定律
1. 静电场的旋度
点电荷电场 取旋度 矢量恒等式
r r' r r' 3
E(r )
E(r)
q
4π 0
q
4π0
r r'
r r' 3
r r' r r' 3
CF C F C F
1
0
1
r r' 3 (r r ') r r' 3 (r r ')
故
r
1
r'
3
(r
E(r ) 0
r' )
3
r r' r r' 3
(r
静电场是无旋场
r' )
0
11
2. 静电场的环路定律
在静电场中，单位正试验电荷 q0 沿某一 路径l从A 点向B点移动，电场力作的功为（设电场 E 是由点电
荷q单独产生的）
W
B E dl
A
B qeR A 4π ε0r 2
根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零
PdV '
V'
S
'
P
en
dS
'
0
电介质均匀极化时，极化电荷体密度 p 0。
有电介质时，场量为
(r) 1
4π 0
V
'
(
f
r r'
p
)
dV
'
S
'
(
f r
r'
p
)
dS
'
E(r)
1
4π 0
V
( f
'
p )(r r')
r r' 3
27
静电场中的电介质
在外加电场力的作用下，非极性分子正、负电荷 的作用中心不再重合，极性分子的电矩发生转向， 它们的等效电偶极矩的矢量和不再为零。
E
非极性分子
有极性分子
电介质的极化
28
处在电场中的电介质，在电场力的作用下其分子发 生的这种变化现象称为电介质的极化现象。
电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
Ε 2π 0 e
平行平面场。
9
例1-1-2 一均匀带电的无限大平面，其电荷面密度
为，求距该平面前x处的电场。
Ε(x)
0
2πada 4π 0R2
cos
x 2 0
ada 0 (a2 x2 )3/2
x 2 0
1 2
(a2 x2 )1/ 2
3 1
2 0
2
0
均匀带电的无限大平面两边的电场均垂直于该平面，
4
1.1.2 电场强度
定义：电场强度 E等于单位正电荷所受的电场力
F
F (x, y, z)
lim E(x, y, z)
q0 0
q0
（V/m 或 N/C）
（a）单个点电荷产生的E(电r)场 F强 度 q q0 4π0R2
eR
点电荷的电场
一般表达式为
E(r)
4π 0
q r
r'
2
r r
r' r'
4π 0
18
5) 电力线（电场强度线）与等位线（面）
曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E的方向。
E线微分方程 E dl 0
直角坐标系 Ex Ey Ez dx dy dz
电力线方程
电位相等的点连成的曲面称为等位面。
等位线(面)方程 (x, y, z) C
当取不同的C 值时，可得到不同的等位线(面)。
第一章 静电场
序 电场强度和电位 高斯定律 基本方程、分界面上的衔接条件 边值问题、唯一性定理 分离变量法 有限差分法 镜像法和电轴法 电容和部分电容 静电能量与力 静电场的应用
1
1.0 序
静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化 的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。 由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应 用推广到恒定电场、恒定磁场及时变场。
本章要求 深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等
概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌 握电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、 电容、能量、力的各种计算方法。
2
D
的散度
边界条件
数值法
库仑定律 基本物理量 E、D
基本方程
边值问题
E的旋度
电位
解析法
有限差分法 镜像法,电轴法 分离变量法 直接积分法
25
1.2.2 电介质
定义：其内部存在的带电粒子，受到原子内 在力、分子内在力或分子之间的作用力不能自由 运动，这样的物质称为电介质。
介质中这些粒子所带的电荷称为束缚电荷。 电介质的分子可分为极性分子和非极性分子 两类。
26
通常情况下，非极性分子正负电荷的作用中 心是重合的。极性分子正负电荷的作用中心不相 重合而形成一个电偶极子，但由于分子的热运动， 不同电偶极子的偶极矩的方向是不规则的，因此 宏观来说，它们所有分子的等效电偶极矩的矢量 和为零，因而对外不呈现电性。
q
4π 0 r r'
C
点电荷群
(r)
1
4π 0
N i 1
qi r ri '
C
连续分布电荷
(r )
1
4π 0
dq r r'
C
式中dq dV , dS , dl相应的积分原域 V ', S ', l '。
15
3. 与 的E 积分关系
Βιβλιοθήκη Baidu
线积分
P0
E
dl
P0
dl
P
P
式中
dl
(
x
r
d 2
cos
所以
p
qd cos 4π 0r 2
p er
4π 0r 2
20
p＝qd表示电偶极矩，方向由-q 指向+q。
等位线方程(球坐标系)： r C cos
电力线方程(球坐标系)： dr rd
Er
E
E
q
4π 0r 3
(2
cos
er
sin
e
)
将 E 和 E代r 入 E线方程
r Csin 2
dV
'
(
S'
f
p )(r r')
r r' 3
dS '
34
1.2.3 真空中的高斯定律
1. E的散度
作散度运算
E(r) 1
4π 0
V
r r
r' r' 3
(r'
)dV
E(r) (r')
ex
y
ey
z
ez
)
(dxex
dyey
dzez
)
dx dy dz d
x y z
所以
P0 P
E dl
P0 P
d
P
P0
E 与 的积分关系
设P0为电位参考点，即 P0 ，0
则P点电位为
P
P0
E
dl
P
16
4. 电位参考点的选择原则 电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能
由斯托克斯公式，静电场在任一闭合环路的环量为
l E dl S ( E) dS 0
即
E 0
说明静电场是保守场，是无旋场。
13
1.1.4 电位函数
1. E与 的 微分关系
由 E 0 , 矢量恒等式 0
所以
E
称为标量电位。负号表示电场强度的方向从高电
位指向低电位。在直角坐标系中
4π 0 V ' R
4π 0 V '
R
1 'P(r ')dV ' 1 P(r ') en dS'
4π 0 V ' R
4π 0 S' R
令 p P 极化电荷体密度
p
P
en
极化电荷面密度
(r) 1
p
(r'
) dV
'
1
p
(r'
) dS
'
4π 0 V ' R
4π 0 S ' R
33
dz
P dzx
4π 0 (z 2 2 )
dEz dE cos
dEz
z dE
z2 2
dE dE sin
dE
dE
z2 2
8
E
L2 L1
4π0 (z2
)2
3 2
dz
4 0
L2
L1 ( z 2
dz
2)32
4 0
2 d(tan ) 1 sec3
4 0
2 1
eR
dV
'
eR R2
' 1 R
1 R
体积 V 内电偶极矩产生的电位 1
P(r' ) ' 1 dV '
4π 0 V '
R
矢量恒等式：
(uF )
u
F
F u
1 'P(r')dV ' 1
' P(r ')dV '
4π 0 V ' R
4π 0 V '
R
32
1 'P(r ')dV ' 1 ' P(r ')dV '
选取一个参考点。
场中任意两点之间的电位差与参考点无关。
选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要
有意义。 例如：点电荷产生的电位
q C 4π 0r
取r 为参考点，
取r 为R参考点，
C0 q
4π 0r
C q q q
4π 0R
4π0r 4π 0R
17
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。 电荷分布在无穷远区域时，选择有限远处为参考点。
静电参数(电容及部分电容)
静电能量与力
静电场知识结构
3
1.1 电场强度和电位
1.1.1 库仑定律
库仑定律
F21
q1q2
4
π
0
e12 R2
F21 F12
适用条件：
两点电荷间的作用力
两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;
真空中的介电常数 ε0 8.851012 F/m
思考 点电荷之间的作用力靠什么来传递？电场
q r
r' 3
(r
r' )
5
（b)n个点电荷产生的电场强度(矢量叠加原理)
E(r)
1
4π 0
n k 1
qk Rk 2
ek
1
4π 0
n k 1
qkr(r
rkr3k
)
（c)连续分布电荷产生的电场强度
矢量叠加原理
体电荷的电场
元电荷产生的电场
dE
dq
4π 0R2
eR
dq dV，dS ，dl
29
电极化强度 P表示电介质的极化程度，即
P
lim
V 0
p
V
C/m2 电偶极矩体密度
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
P 0E
─电介质的极化率
各向同性媒质 媒质特性不随电场的方向改变；反
之，称为各向异性媒质；
线性媒质 媒质参数不随电场的值而变化；反之，称 为非线性媒质；
均匀媒质 媒质参数不随空间坐标而变化；反之，称 为非均匀媒质。
19
例1-1-3 画出电偶极子（r>>d，一对等量异号的电荷） 的等位线和电力线。
解：在球坐标系中
r
p
q
4π 0
(1 r1
1) r2
q
4π 0
r2 r1 r1r2
r1
(r 2
d2 4
rd
1
cos )2
电偶极子
r2
(r 2
d2 4
rd
1
cos )2
用二项式展开，又有r>>d，得
r1
r
d 2
cos
r2
电偶极子的等位线和电力线
21
电力线与等位线（面）的性质：
E线不能相交；
等线不能相交；
线起始于正电荷，终 E
止于负电荷;
点电荷与接地导体的电场
E线愈密处，等位线愈密，
场强愈大;
E线与等位线（面）正交。
点电荷与不接地导体的电场
22
介质球在均匀电场中
导体球在均匀电场中
点电荷位于无限大介质上方
点电荷位于无限大导板上方
E
[ x
ex
y
ey
z
ez ]
根据 E与 的微分关系，试问静电场中的某一点
0E0 ( )
E 0 0 ( )
为常数的区域 E 0 ( √ )
14
2. 已知电荷求电位
以点电荷为例
E(r) q
4π 0
r r' r r' 3
－ q
4π 0
1
r
r'
q
4π 0 r r'
(r)
(r )
24
处在静电平衡状态下的导体的静电特性： （1）导体内部电场为零。 （2）导体为一等位体，导体表面为等位面。 （3）电荷（或感应电荷）分布在导体表面上， 形成面电荷。 （4）导体表面上任一点的电场强度与导体表 面垂直。 特点：处在静电平衡状态下的导体是一等位体， 内部电场为零，其内没有电荷，电荷以面密度分 布在其表面。
57142静电场边值问题问题微分方程边界条件初始条件场域边界条件分界面衔接条件强制边界条件有限值自然边界条件有限值lim泊松方程58场域边界条件1第一类边界条件狄里赫利条件2第二类边界条件聂以曼条件3第三类边界条件已知边界上各点电位及电位法向导数的线性组合已知边界面上各点的电位59有限差分法有限元法边界元法积分法分离变量法镜像法电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法60例141试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题