03-1 抽样误差

0.05 0.10 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812
概 率，P 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 12.706 31.821 63.657 127.321 318.309 4.303 6.965 9.925 14.089 22.327 3.182 4.541 5.841 7.453 10.215 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.5758 4.317 4.029 3.833 3.690 3.581 3.497 3.428 3.372 3.326 3.286 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733
柏建岭讲稿
标准误的意义
• 反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 离散程度，体现了抽样误差的大小。
• 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本 率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估 计总体参数越不精确。反之亦然。 • 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从 标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体 一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我们 可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
对统计量的影响。
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均数的模拟试验
• 从不同总体中进行抽样，观察均数的抽样分布规 律。 – 正态总体 – 偏三角分布总体 – 均匀分布总体 – 指数分布总体 – 双峰分布总体 • 考察： – 样本均数的均数与总体均数有何关系？ – 样本均数的标准差与总体标准差有何关系？ – 样本均数的分布形状如何？ – 不同的样本含量对上述性质的影响如何？
– 样本均数的均数为 ；
– 样本均数的标准差为 X
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n
。
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中心极限定理(central limit theorem) Case 2:
从非正态 (nonnormal) 分布总体 ( 均数为 ，方 差为2)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可 得无限多个样本，每个样本计算样本均数， 则只要样本含量足够大 (n>50), 样本均数也近 似服从正态分布。 – 样本均数的均数为 ； – 样本均数的标准差为 X
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n
。
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标准误(standard error)
• • •
样本统计量的标准差称为标准误。 样本均数的标准差称为均数的标准误。
均数的标准误表示样本均数的变异度。
X
•

n
当总体标准差未知时，用样本标准差代替，
sX
•
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s
n
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前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。
与样本含量的关系
• n 越大，均数的均数就越接近总体均数； • n 越大，变异越小，分布越窄； • 对称分布接近正态分布的速度，大于非对 称分布。分布越偏，接近正态分布所需样 本含量就越大。
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柏建岭讲稿
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中心极限定理(central limit theorem)
Case 1: 从正态分布总体N(,2),中随机抽样(每个样 本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样 本计算样本均数，则样本均数也服从正态分 布。
Medical statistics
医学统计学
抽样误差及其规律性 Sampling variability and its attributes
柏建岭 南京医科大学公共卫生学院 流行病与卫生统计学系
主要内容
抽样误差 模拟实验
标准误
中心极限定理 t分布 抽样误差规律性
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柏建岭讲稿 8
样本均数的均数和标准差
1 10 1 X X i 99.4 97.8 10 i 1 10 98.2 98.4 100
sX
X
n i 1
i
X

10 1 6 3 n 4

99.4 98.4
2


98.2 98.4
X ~ N (0,1) 。

同理 X ~ N ( , X ) , 则 u X
X
~ N (0,1) 。
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t 分布的概念
• 实际工作中，总体方差未知。所以，用样 本方差代替总体方差， • 此时
X sX
的分布如何？
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柏建岭讲稿
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0
f ( t)
n =∞(标准正态曲线)
n =5
0.3
n =1
0.2
0.1
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-4
-3
-2
-1
柏建岭讲稿 0 1
2
3
4
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t分布的性质
t分布为一簇单峰分布曲线。 t分布以0为中心，左右对称。 t分布与自由度n有关，自由度越小，t分布的峰越 低，而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t 分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大 时，t分布就是标准正态分布。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t 界值表 。
.1
.2
.3
.4
-20
-10
0 t
10
20
从N(100,62)中随机抽样，样本含量为4的 1000个u值和t值的频数分布图
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t 分布的概念
• 用样本标准差代替总体标准差，此时
X sX
不服从正态分布。而服从 t 分布。记为：
X t ~ t( n 1) sX
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柏建岭讲稿
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均数的抽样误差之特点
• 各样本均数未必等于总体均数； • 样本均数间存在差异； • 样本均数的分布很有规律，围绕总体均数， 中间多两边少，左右基本对称； • 样本均数的变异范围较之原变量的变异范 围大大缩小； • 随着样本含量的增加，样本均数的变异范 围逐渐缩小。
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0.20 0.40 1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.876 0.873 0.870 0.868 0.866
0.10 0.20 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341
0.0005 0.001 636.619 31.599 12.924 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073
26

1.796 2.201 1.782 2.179 1.771 2.160 1.761 2.145 1.753 2.131 1.6449 1.9600
X 118.21cm s =4.45cm
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 120.18cm s =4.90cm
X 120.81cm s =4.33cm
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抽样误差
• sampling error，sampling variability
– 由抽样引起的样本统计量与总体参数间 的差别。 – 原因：个体变异+抽样 – 表现：
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t分布
1908 年 Gosset 以笔名 Student 发 表 。 故 又 称Student t 分布。 t 分布是一簇分布， 与自由度有关。 自由度: degree of freedom
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自由度分别为1, 5, ∞时的 t 分布
了解抽样误差规律的重要性 总体
同质个体、个体变异
随机 抽样
样本
代表性、抽样误差
总体参数
未知
统计 推断
样本统计量已
知
风 险
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抽样误差
• 假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了 估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符 合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了三次。
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抽样误差的规律性(1)
• 均数的抽样误差规律：
– 在样本含量足够大时，无论总体分布如何，其
均数的分布趋于正态分布(大数定律)
– 在样本含量较小时：
• 总体为正态分布时：正态分布
• 总体为非正态分布时：?
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正态分布的标准化变化
• 若X~ N(,2), 则 u
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正态分布样本均数的分布
从N(100,62)中随机抽样，样本含量为4的 10份独立样本的 均数、标准差、抽样误差
样本 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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98 99 103 93 104 104 99 100 92 100