新教材高中数学第三章函数3.1.3函数的奇偶性(第1课时)函数奇偶性的概念教师用书新人教B版必修第一册

第1课时 函数奇偶性的概念

问题导学

预习教材P104－P109的内容，思考以下问题： 1．奇函数与偶函数的定义是什么？ 2．奇、偶函数的定义域有什么特点？ 3．奇、偶函数的图像有什么特征？

1．偶函数

(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝f (x )，则称y ＝f (x )为偶函数．

(2)图像特征：图像关于y 轴对称． 2．奇函数

(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，则称y ＝f (x )为奇函数．

(2)图像特征：图像关于原点对称．

■名师点拨 (1)奇、偶函数定义域的特点

由于f (x )和f (－x )须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点

①奇函数有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )

f (x )

＝－1(f (x )≠0)； ②偶函数有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )

f (x )

＝1(f (x )≠0)． (3)函数奇偶性的三个关注点

①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；

②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合；

③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( )

(2)函数f(x)＝x2的图像关于原点对称．( )

(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．( )

(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )

答案：(1)√(2)×(3)×(4)√

下列函数为奇函数的是( )

A．y＝|x| B．y＝3－x

C．y＝1

x3

D．y＝－x2＋14

解析：选C.A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选C.

若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为( )

A．－2 B．2

C．0 D．不能确定

解析：选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.

下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)

解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．

答案：②④①③

若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.

答案：－2 0

函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|； (2)f (x )＝x 2

－1＋ 1－x 2

； (3)f (x )＝

1－x

2x

；

(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，

－x ＋1，x <0.

【解】 (1)因为x ∈R ， 所以－x ∈R ，

又因为f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1| ＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|) ＝－f (x )，

所以f (x )为奇函数．

(2)因为函数f (x )的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且f (x )＝0，

所以f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )， 所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)f (x )的定义域为[－1，0)∪(0，1]． 即有－1≤x ≤1且x ≠0， 则－1≤－x ≤1，且－x ≠0， 又因为f (－x )＝1－(－x )

2

－x

＝－

1－x

2

x

＝－f (x )．

所以f (x )为奇函数．

(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，

f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )；

当x <0时，－x >0，

f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x )．

综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．

判断函数奇偶性的两种方法

(1)定义法

(2)图像法

[注意] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x 的范围取相应的函数解析式．

1．给定四个函数：①y ＝x 3

＋3

x ；②y ＝1x (x >0)；③y ＝x 3

＋1；④y ＝x 2

＋1x

.其中是奇函数

的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：选B.①函数的定义域为R ，f (x )＝x 3＋3x ，f (－x )＝－(x 3

＋3x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f (x )为非奇非偶函数；③函数的定义域为R ，f (0)＝0＋1＝1≠0，则函数f (x )为非奇非偶函数；④函数的定义域为(－∞，

0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝x 2＋1－x ＝－x 2＋1

x

＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数．

2．如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋f (x ) B ．y ＝xf (x ) C ．y ＝x 2

＋f (x )

D ．y ＝x 2

f (x )

解析：选B.因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )．

对于A ，g (－x )＝－x ＋f (－x )＝－x －f (x )＝－g (x )，所以y ＝x ＋f (x )是奇函数． 对于B ，g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )， 所以y ＝xf (x )是偶函数．