两个正态总体的假设检验

两个正态总体的均值检验 1、方差已知，检验均值相等 、方差已知， 问题： 问题： X ~ N µ X , σ 已知 σ
2 X
(
2 X
)
, σ
2 检验H Y，检验 0：
µ X = µY
Y ~ N ( µY , σ
2 Y
)
设 X 1 , X 2 ,...... X n1 是X的一个样本， Y1 , Y2 ,......Yn2 的一个样本， 的一个样本 的一个样本， 是Y的一个样本， 的一个样本
构造T统计量 T = 构造 统计量 则拒绝原假设；否则接受原假设 拒绝原假设；
单边检验
H0：µ=µ0；H1：µ>µ0 µ
X − µ0 P ≥ tα (n − 1) = α S n
或 H0：µ=µ0；H1：µ<µ0 µ
拒绝域为
T > tα (n − 1)
X − µ0 P ≤ −tα (n − 1) = α S n
H 0 : µ X = µY , H1 : µ X ≠ µY
x = 1500.8,
y = 1077.8
2 2 s X = 151.32 , sY = 47.02
1500.8 − 1077.8
因
151.3 × 9 + 47.0 × 9 1 1 + 18 10 10
2 2
≈ 8.45 > 2.101 = t0.025 (18 )
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
F 双侧检验
例3 （P161 Ex20）测得两批电子器材的样本的电阻为： ）测得两批电子器材的样本的电阻为： 单位： （单位：Ω） 第一批： 第一批：0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137 第二批： 第二批：0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 设这两批器材的电阻均服从正态分布， 设这两批器材的电阻均服从正态分布，试检验 2 H0：σ 12 = σ 2 (α = 0.05) 这是一个两正态总体的方差检验问题， 解 这是一个两正态总体的方差检验问题，用F检验法 检验法
试比较A、 两法的平均产量 点，得平均产量 y = 1.6 ，试比较 、B两法的平均产量 是否有统计意义。 是否有统计意义。(α = 0.05 ) 解 假设： 假设： 因为： 因为：
法设8个样本 x = 1.5 ；B 法设 个样本
H 0 : µ X = µY , H1 : µ X ≠ µY
= 1.5 − 1.6 ≈ 0.49 < 1.96 = u0.025 0.2 12 + 0.2 8
x− y
σ n1 + σ n2
2 2
接受H 两法的平均产量无统计意义 所以接受 假设， 、 两法的平均产量无统计意义。 所以接受 0假设，即认为 A、B两法的平均产量无统计意义。
两个正态总体的均值检验 2、方差未知，但两个总体的方差相等，检验均值相等 、方差未知，但两个总体的方差相等， 问题： 问题： X ~ N µ X , σ 未知 σ , σ
则拒绝原假设；否则接受原假设 拒绝原假设；
单 边 检 验
H0：µ=µ0；H1：µ>µ0 µ
X − µ0 P ≥ uα = α σ n
或 H0：µ=µ0；H1：µ<µ0 µ
拒绝域为
U > uα
X − µ0 P ≤ −uα = α 拒绝域为 σ n
(
)
解
先对方差作检验： 先对方差作检验：H10 : σ 1 = σ 2 ,
H11 : σ 1 ≠ σ 2
2 x = 998.0, s12 = 51.52 ; y = 820.0, s2 = 108.62 F0.975 ( 4, 4 ) = 0.104 F0.025 ( 4, 4 ) = 9.604
s12 51.52 F= 2 = ≈ 0.689 2 s2 108.6
2 2 2
2 1−α 2
( n)
则拒绝原假设； 则拒绝原假设；否则接受原假设
一个正态总体均值未知的方差检验 一个正态总体均值未知的方差检验 均值未知
问题： 问题：设总体 假设
2
χ2检验
X~N（µ，σ2），µ未知 （ ），µ
2 0 2 2 0
H 0 : σ = σ ; H1 : σ ≠ σ ; 双边检验 2 (n − 1) S 2 2统计量 χ 2 = 构造χ 构造χ ~ χ (n − 1) 由 2 σ0 2 α 2 α 2 2 P χ ≤ χ α (n − 1) = , P χ ≥ χ α (n − 1) =
X −Y
2 σ X n1 + σ Y2 n2
> uα 2
U 双侧检验
据以往资料，已知某品种小麦每4平方米产量 千克） 平方米产量（ 例1 据以往资料，已知某品种小麦每 平方米产量（千克）的 方差为 σ 2 = 0.2 。今在一块地上用A，B 两法试验，A 今在一块地上用 ， 两法试验， 法设12个样本点， 法设 个样本点，得平均产量 个样本点
则
2 σX X ~ N µX , n1
σ Y2 , Y ~ N µY , n2
2 σ X σ Y2 所以， 所以， X − Y ~ N µ X − µY , + n1 n2
两个正态总体的均值检验 1、方差已知，检验均值相等 、方差已知，
T=
2 S X ( n1 − 1) + SY2 ( n2 − 1) 1 1 + n1 + n2 − 2 n1 n2
X − Y − ( µ X − µY )
~ t ( n1 + n2 − 2 )
两个正态总体的均值检验
T检验法 检验法
2、方差未知，但两个总体的方差相等，检验均值相等 、方差未知，但两个总体的方差相等， 成立， 若 H0 成立，则
> tα 2 ( n1 + n2 − 2 )
T 双侧检验
有两种灯泡， 型灯丝， 型灯丝。 例2 有两种灯泡，一种用 A 型灯丝，另一种用 B 型灯丝。随机 抽取两种灯泡各10 只做试验，测得它们的寿命（小时） 抽取两种灯泡各 只做试验，测得它们的寿命（小时）为： A 型：1293 1380 1614 1497 1340 1643 1466 1677 1387 1711 B 型：1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1028 1119 设两种灯泡的寿命均服从正态分布且方差相等， 设两种灯泡的寿命均服从正态分布且方差相等，试检验两种 灯泡的平均寿命之间是否存在显著差异？ 灯泡的平均寿命之间是否存在显著差异？(α = 0.05 ) 解 假设： 假设：
因为 0.104 < 0.689 < 9.604 所以可认为甲、 所以可认为甲、乙两种玉米的方差没有显著差异 即可认为
拒绝域为
T < −tα (n − 1)
单个正态总体均值已知的方差检验 单个正态总体均值已知的方差检验 均值已知
问题： ），µ 问题：总体 X~N（µ，σ2），µ已知 （ 假设
χ2检验
H 0 : σ = σ ; H1 : σ ≠ σ ;
2 2 0 2
构造χ 构造χ2统计量
χ2 =
∑( X
i =1
n
2 0
2 问题： 问题： X ~ N µ X , σ X
U检验法 检验法
(
)
2 Y ~ N ( µY , σ Y )
已知 σ X ,
2
检验H σ Y2，检验 0：µ X = µY
从而， 成立时， 从而，当H0成立时， U =
X −Y
2 σ X n1 + σ Y2 n2
~ N ( 0,1)
的拒绝域： 对给定的检验水平 α , 得H0的拒绝域：
U < −uα
单个正态总体方差未知的均值检验 单个正态总体方差未知的均值检验 方差未知
问题： ），σ 问题：总体 X~N（µ，σ2），σ2未知 （ 假设 H0：µ=µ0；H1：µ≠µ0 µ µ
T检验
双边检验
X − µ0 ~ t (n − 1) S n X − µ0 由 P ≥ tα 2 (n − 1) = α S n 确定拒绝域 T ≥ tα 2 (n − 1) x − µ0 如果统计量的观测值 T = ≥ tα 2 (n − 1) S n
2 X
(
源自文库
Y
Y
)
F检验 检验
2 Y
2 2 SX σ X 定理5.4 ，知 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由P109 定理 SY σ Y 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = X ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 2 SY
的拒绝域： 对给定的检验水平 α , 得H0的拒绝域：
单个正态总体方差已知的均值检验 单个正态总体方差已知的均值检验 方差已知
问题： ），σ 问题：总体 X~N（µ，σ2），σ2已知 （ 假设 H0：µ=µ0；H1：µ≠µ0 µ µ
U检验
双边检验
X − µ0 构造U统计量 构造 统计量 U = ~ N (0,1) H0为真的前提下 σ n X − µ0 由 P ≥ uα 2 = α 确定拒绝域 U ≥ uα 2 σ n x − µ0 如果统计量的观测值 U = ≥ uα 2 σ n
2 X 2 ，但知 Y
(
2 X
2 σ X = σ Y2，检验 0：µ X = µY 检验H
)
Y ~ N ( µY , σ
2 Y
)
设 X 1 , X 2 ,...... X n1 是X的一个样本， Y1 , Y2 ,......Yn2 的一个样本， 的一个样本 的一个样本， 是Y的一个样本， 的一个样本 定理5.3， 由P107 定理 ，知
i
− µ)
2 0
2
2 α 2 α 2 2 P χ ≤ χ α ( n) = , P χ ≥ χ α ( n) = 1− 2 2 2 2 2 2 拒绝域 确定临界值 χ1−α 2 (n), χα 2 ( n)
如果统计量的观测值
σ
~ χ ( n)
2
由
χ ≥ χα 2 ( n ) 或 χ ≤ χ
2 2 假设 H 0 : σ 12 = σ 2 ; H1 : σ 12 ≠ σ 2
由样本观测数据得
2 S12 = 0.00282 ; S 2 = 0.0027 2 所以 F = 1.108
而 F1− 0.025 (5,5) = 0.13993; F0.025 (5,5) = 7.14638
所以，接受原假设， 所以，接受原假设，即可认为两批电子器材的方差相等

1− 2

2

2
2

2
确定临界值
2 2
χ
2 1−α 2
(n − 1), χα 2 (n − 1)
或
如果统计量的观测值
χ ≥ χα 2 (n − 1)
χ ≤χ
2
2 1−α 2
(n − 1)
则拒绝原假设；否则接受原假设 拒绝原假设；
引
言
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
T= S X −Y
2 X
( n1 − 1) + S ( n2 − 1)
2 Y
n1 + n2 − 2
1 1 + n1 n2
~ t ( n1 + n2 − 2 )
的拒绝域： 对给定的检验水平 α , 得H0的拒绝域：
T = X −Y
2 S X ( n1 − 1) + SY2 ( n2 − 1) 1 1 + n1 + n2 − 2 n1 n2
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 X X
(
)
未知
µ X , µY ，检验假设 0：σ = σ 检验假设H
对甲、乙两种玉米进行评比试验，得如下产量资料： 例4 P161 14 对甲、乙两种玉米进行评比试验，得如下产量资料： 甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 问这两种玉米的产量差异有没有统计意义？ 问这两种玉米的产量差异有没有统计意义？ α = 0.05