2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第六次月考数学(理)试题(解析版)

2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第六次月考数学
（理）试题
一、单选题
1．设集合()2{|log 2}A x y x ==-， 2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞
C ．()2,+∞
D ．[)2,+∞
【答案】B
【解析】A={x|y=log 2（2﹣x ）}={x|x ＜2}，
B={x|x 2﹣3x+2＜0}={x|1＜x ＜2}， 则∁A B={x|x≤1}， 故选B ．
2．设i 为虚数单位，若()2a i
z a R i -=∈+是纯虚数，则a =（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．1
D ．1-
【答案】A
【解析】按照复数的代数形式的乘除运算，计算复数z ，再根据复数z 是纯虚数即实部为零，得到方程解得. 【详解】 解：
()()()()()()2212212
222555
a i i a a i a i a a z i i i i ---+------=
===+++- 又因为复数z 是纯虚数
2105
a -∴
= 解得1
2
a =
故选：A 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的相关概念，属于基础题. 3．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
【答案】D
【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.
【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
-月总收益所以7月收益最高，A选项说法正确；4月收益最低，B选项说法正确；16
-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C选项说140万元，712
-=万元，所以D选项说法错法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100
误.故选D.
【点睛】
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
4．已知sin(
)322
π
α
-=-
，则2020cos()3πα+=（ ）
A B ． C ．
12
D ．12
-
【答案】D
【解析】利用诱导公式及二倍角公式将2020cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
变形为212sin 32πα⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，
再代入求值即可. 【详解】 解：
2020cos cos 673cos cos 233332ππππααπααπ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
cos 232πα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
212sin 32πα⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
sin()32πα-= 2
2112sin 12322πα⎛⎛⎫
∴--=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 20201cos 32πα⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
故选：D
5．已知12121ln ,2
x x e -==，3x 满足33ln x
e x -=，则（ ）
A ．123x x x <<
B ．132x x x <<
C ．213x x x <<
D ．312x x x <<
【答案】A
【解析】根据对数的化简公式得到11
ln
202
x ln ==-<,由指数的运算公式得到12
2x e -=()0,1，由对数的性质得到3
3ln x e x -=>0,31x ∴>，进而得到结果.
【详解】 已知
11ln
202
x ln ==-<,122 x e -
=()0,1,33ln x e x -=>0,31x ∴> 进而得到123x x x <<. 故答案为A. 【点睛】
本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系. 6．函数2()1sin 1x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
图象的大致形状是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在(0,)2
π
内正负情况，即可排除所有错
误选项. 【详解】
21()(1)sin sin 11x
x x
e f x x x e e
-=-=++ 则111()sin()(sin )sin ()111x x x
x x x
e e e
f x x x x f x e e e
------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D. 当(0,)2
x π
∈时，1,sin 0x e x >>即()0f x <，排除A.
故选:C. 【点睛】
解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值的正负进行判断.
7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A ．410190
-
B ．5101900-
C ．510990-
D ．4109900
-
【答案】B
【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为
110
当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为
5
52
110011********* (101900110)
-⎛
⎫- ⎪-⎝⎭+++==
- 故选B
8．函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<
，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
π，且()f x 在()0,π上单调，则下列说法正确的是( ) A ．1
2
ω=
B
．8f π⎛⎫-
= ⎪
⎝⎭
C ．函数()f x 在,2ππ⎡
⎤
--⎢⎥⎣⎦上单调递增
D ．函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】C
【解析】由题意得函数()f x 的最小正周期为2T π
ω
=，
∵()f x 在()0,π上单调， ∴
2T π
πω
=≥，解得01ω<≤．
∵8f π⎛⎫=
⎪⎝⎭02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
∴384
2ωπ
πϕωπϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2323ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，
∴2
2()2sin 3
3f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
． 对于选项A ，显然不正确． 对于选项B
，227()2sin 2sin 838312f π
πππ⎛⎫
-
=-⨯+== ⎪
⎝⎭
，故B 不正确． 对于选项C ，当2
x π
π-≤≤-时，220333
x ππ
≤
+≤，所以函数()f x 单调递增，故C 正确．
对于选项D ，32327(
)2sin 2sin 043436f ππππ⎛⎫=⨯+=≠ ⎪⎝⎭，所以点3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
不是函数()f x 图象的对称中心，故D 不正确．
综上选C ．
点睛：解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
9．AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） A
B ．2
C
．D
．【答案】A
【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解. 【详解】
||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2
cos ||||
AOB a b ∠=
2
(||||)4sin |||||||
a b AOB a b a b -∴∠==
⎪⎭
22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即22
8||||2||||a b a b =+≥
所以||||4a b ≤ 所以
22(||||)41111
||||sin ||||=(||||)4164=322||||
AOB
a b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤
-
故选：A 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题
.
10．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，O
为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率是（ ） A B C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】
由题意，1(,0)F c -，2(,0)F c ，设一条渐近线方程为b
y x a
=
，则2F 到渐近线的距离为b ，
设2F 关于渐近线的对称点为M ，2F M 与渐近线交于A ，则1M F c =，22MF b =，A 为2MF 的中点，又O 是12F F 的中点，1//OA F M ，12F MF ∴∠为直角，12MF F ∴为
直角三角形，∴由勾股定理得22244c c b =+，(
)2
22
34c c a
∴=-，2
24c
a ∴=，
2c a ∴=，则2e =.
故选：C
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足
1AP B Q =，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）．
①存在P ，Q 的某一位置，使AB PQ ∥ ②BPQ V 的面积为定值
③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面 ④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥ A ．①②④ B ．①③
C ．②④
D ．①③④
【答案】D
【解析】依次判断，每个选项：①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确；取特殊位置BPQ V 的面积为变化，故错误；③假设不成立推出矛盾，正确；④BC ⊥平面PFGQ ，正确.得到答案. 【详解】
①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确；
②当P 与A 重合时：212BPQ S a =V ；当P 与1D 重合时：2BPQ S a =V （a
为正方体边长），错误；
③当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面，矛盾，正确；
④如图所示：,F G 分别为,P Q 在平面内的投影，易证BC ⊥平面PFGQ ，正确. 故选：D
【点睛】
本题考查了空间几何中直线的平行，垂直，异面，意在考查学生的空间想象能力. 12．若函数1
()2(0)x x f x e
x a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则
实数a 的取值范围是（ ） A ．
22)e
B ．(0,2]
C ．22
2
)e + D ．3
424
(2,2
)e +
【答案】D
【解析】分离常数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出实数a 的取值. 【详解】 解：
()1
20x x f x e x a -=+-=
1
2log 12x e a x -∴=+在()0,2内有两解，
令()1
12x e f x x -=+
则()()12
12x e x f x x
--'= ()f x ∴在()0,1为减函数，在()1,2上为增函数，
∴当1x =时，取得最小值()()11min
3
11212
e f x f -==+=⨯
且当0x →时，()f x →+∞，()214
21224e e f -+=+=
⨯ 234
log 24
e a +∴<<
3424
22
e a +∴<<
故选：D 【点睛】
本题考查函数的零点问题，参变分离是解答的关键，属于中档题.
二、填空题 13．若ax 2+的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______.
【答案】-2
【解析】试题分析：因为，所以由
，
因此
【考点】二项式定理
【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.
14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为_________．
【解析】建立空间直角坐标系，列出等式求解即可． 【详解】
解：取BD 中点O ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB m =，
等边三角形ABD 中心为1I ，等边三角形BCD 中心为2I ，外接球球心为I ，
则)A ，(.0,0)B m ，(,0,0)D m -，,0)C ，1)I ，2,0)I ，
)I ， 则半径为5R IA m ==
，
因为外接球表面积为245S R ππ==，
=
，所以2
m =，所以2AB m =， 故选：B ． 【点睛】
本题考查三棱锥外接球的体积计算方法，属于中档题．
15．已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -=________， (2)
21
11
(1)
i i n
i i a a +=+-=∑_____________.
【答案】32n -. 293322
n n
--
. 【解析】（1）将已知等式中的n 换为1n -，作差即求得；
（2）将所求式子，整理后，运用等差数列的定义和求和公式，计算可得所求和． 【详解】
解：（1）11a =，135n n a a n ++=+①， 当1n =时，27a =
可得132n n a a n -+=+，2n …
②， ①-②得113n n a a +--=，2n …
； {}21n a -∴为以11a =为首项，3d =的等差数列，
2132n a n -=-∴
（2）12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+-+-+⋯-
21343522121242()()()(3)()n n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-=-++⋯+
由（1）得2{}n a 为公差为3的等差数列，又由128a a +=可得27a =，
则212233445212221(1)933(3)(73)22
n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a n -+-+-+-+⋯+-=-+=-． 故答案为：32n -；29332
n n
+-
【点睛】
本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
16．如图，哈尔滨市有相交于点
O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城
A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.
【解析】设PQ 为y kx b =+,联立22
1
4y kx b
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222
12104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,利用0∆=可得()2
2114k b =-,则()222
2
222114
b b PQ b b k b =+=+-,利用均值不等式求最值,再由取等条件求得OQ 即可 【详解】
由题,设PQ 为y kx b =+,由图易得1,2b b k >->,联立22
14
y kx b
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩可得()22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,则()()222
124104kb k b ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭
, 即()2
2
114
k b =
-,
因为P 为,0b k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,Q 为()0,b ,
则()2222
22
22
222244411114
b b b PQ b b b b k b b b =+=+=+=++--- ()
22451591b b =+
+-≥+=-,当且仅当22411b b -=
-,即b =时取等
,即OQ
=【点睛】
本题考查圆锥曲线的实际应用,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力
三、解答题
17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
tan
(sin 2cos )cos 2222
A C A C a b a +=． （1）求角
B 的值； （2）若
△ABC 的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．
【答案】（1）23
B π
=
；（
2. 【解析】（1）根据tan
(sin 2cos )cos 2222
A C A C
a b a +=，化简可得cos
sin 2A C a b A +=，进一步得到1
cos 22
B =，然后求出B 的值； （2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边A
C 的中点，所以
1
()2
BD BA BC =+，利用向量的模和基本不等式可求BD 的取值范围，即可得到BD
的最小值. 【详解】 解：（1）由tan
(sin 2cos )cos 2222
A C A C
a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222
A C A A C
a b a +=，
即(cos
cos sin sin )2sin cos 222222
A C A C A A a b -=，即cos sin 2A C
a b A +=. 由正弦定理得sin cos sin sin 2
A C A
B A +=，因0,sin 0,sin 02B
A A π<<≠≠，
所以cos
sin 2
A C A +=，则sin sin 2sin cos 222
B B B
B ==，
所以1cos
(0)2222
B B π=<<， 所以23B π=，即23B π
=.
（2）由△ABC 的面积为1
sin 2
ac B =12ac =. 因为D 为边AC 的中点，所以1
()2
BD BA BC =
+，所以2221
(2)4BD BA BC BA BC =++，
即222
111(2cos )(2)3444
BD c a ac B ac ac ac =++≥-==，
当且仅当a c ==“=”，所以3BD ≥，即线段BD . 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，面积公式和基本不等式，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．
18．已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为()0θθπ<<.
（1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）sin 4
θ=
. 【解析】（1）过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD ．证明G 在CD 的垂直平分线上，则点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，
（2）以G 点为坐标原点，以GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过G 点作平
行于DC 的向量为x 轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为2a ，分别求出平面DEC 与平面ADE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得角θ的正弦值． 【详解】
（1）证明：过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD. 因为△ACD 为等边三角形，所以AC=AD ，所以点G 在CD 的垂直平分线上. 又因为EF 是CD 的垂直平线，所以点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 另证：过点A 作AG ⊥EF ，再证AG ⊥CD ，从而证得AG ⊥平面BCDE ， 即点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上
（2）解：以G 为坐标原点，GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过点G 作平行于DC 的直线为x 轴建立空间直角坐标系
.
设正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ，
则AF =
，AE a =，2EF a =
所以33(0,0,0),),(,,0),(,,0),(0,,0)222
a
G A C a a D a a E -- 设平面ADE 的一个法向量为(),,m x y z =
，则302·20m AD ax ay m DE ax ay ⎧⋅=+=⎪⎨⎪=+=⎩
， 令1y =
，得2,1,m 骣
ç=--ççç桫
，又平面CDE 的一个法向量()0,0,1n = 所以1
cos 4
m n m
n
q=
=
， sin θ∴=
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，属于中档题．
19．如图，已知椭圆的长轴，长为4，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线交椭圆于、两点，直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线，直线，分别与相交于、两点，设为线段的中点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由长轴长为4可得a，设出点B，C的坐标，利用斜率之积为，可得，即可得到b2，可得椭圆方程；
（2）设直线BC的方程为：y＝k（x﹣1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线
的方程为：y（x+2）与x=4联立，可得点M，N的坐标，可得线段MN的中点E．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得，只要证明1即可．【详解】
（1）设，，因点在椭圆上，所以，
故.又，，
所以，即，又，所以
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，，，
联立方程组，消去并整理得，
，则，.
直线的方程为，令得，
同理，；
所以，
代入化简得，即点
，又
，
所以，所以
.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．已知函数()()e sin 2R 2x
f x ax x a π
⎛⎫
=+-
-∈ ⎪⎝
⎭
. （1）当1a =时，求函数()f x 在区间[],ππ-上的值域. （2）对于任意120x x π<<<，都有()()2
1
212e e
2
x x f x f x a π
->--
-，求实数a 的取值范
围.
【答案】(1)()()4e 34e ,22ππππ-⎡⎤-+-⎢
⎥⎣
⎦
(2) 1
a π≥
【解析】试题分析：（1）先求导数，再求()sin cos 12
g x x x x π
=++-
-导数，得
()02g x g π⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
，从而确定()0f x '≤，再根据()f x 单调性得值域（2）先整理不等
式得()()2
1212e 2e 22x x f x a f x a ππ⎛⎫
⎛⎫---
>--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，转化为函数()()2e 2x G x f x a π⎛
⎫=--- ⎪⎝
⎭在区间()0,π为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，
分离变量得sin cos x x a x +-≤
最小值，最后利用导数求函数()sin cos x x
h x x
+=单调性，得最值，即得实数a 的取值范围.
试题解析：（1）当1a =时，()e sin 22x
f x x x π
⎛
⎫=+-
- ⎪⎝
⎭
， ()e sin cos 12x f x x x x π⎛
⎫=++-- ⎝
'⎪⎭，
令()sin cos 12g x x x x π
=++-
-，有()1cos sin 14g x x x x π⎛
⎫=+-=-' ⎪⎝
⎭，
当x ππ-≤≤时，53
4
44
x π
ππ-≤-≤，
当()0g x '<时sin 42
x π⎛⎫
-> ⎪
⎝
⎭， 得
34
44x π
π
π≤-
≤，解得：2
x π
π≤≤， 故当
2
x π
π≤≤时，函数()g x 单调递减，当2
x π
π-≤≤
时，函数()g x 单调递增，
所以当x ππ-≤≤时，()02g x g π⎛⎫
≤=
⎪⎝⎭
，可得()0f x '≤， 函数()f x 在区间[]
,ππ-上单调递减， ()()()min 4e e 222f x f π
ππππ-⎛⎫==-=
⎪⎝⎭
， ()()()max
34e 3e 222f x f π
π
πππ--+⎛⎫
=-=--=-
⎪⎝⎭
，
故函数()f x 在区间[],ππ-上的值域为()()4e 34e ,22ππππ-⎡⎤
-+-⎢
⎥⎣
⎦
. （2）由120x x π<<<，有21e e 0x x ->， 故
()()21
212e e 2
x x f x f x a π
->---可化为()()()
2
1212e e 2x x f x f x a π⎛⎫
->--
- ⎪⎝
⎭
，
整理为：()()2
1212e 2e 22x x f x a f x a ππ⎛⎫
⎛⎫---
>--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 即函数()()2e 2x
G x f x a π⎛⎫
=---
⎪⎝
⎭
在区间()0,π为增函数， ()e sin 22x G x ax x π⎛⎫
=+--- ⎪⎝⎭
()2e e sin 2x x
a ax x a π⎛⎫--=+- ⎪⎝
⎭，
()()e sin cos x G x ax x x ='++，故当[]0,x π∈时，()0G x '≥，
即sin cos 0ax x x ++≥， ①当0x =时，R a ∈；
②当0x π<≤时，整理为：sin cos x x a x
+-≤， 令()sin cos x x
h x x +=
，有()()()2
cos sin sin cos x x x x x h x x
--+='
()()2
1cos 1sin x x x x x --+=
， 当01x <<，()1cos 0x x -<，()1sin 0x x +>，有()0h x '<， 当1x π≤≤时，由cos sin x x ≤，有()()1cos 1sin x x x x --+≤
()()1sin 1sin 2sin 0x x x x x --+=-<，可得()0h x '<，
由上知0x π<≤时，函数()h x 单调递减， 故()()min sin cos 1
h x h ππ
ππ
π
+===-
，
故有：1
a π
-≤-
，可得1
a π
≥
.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
21．随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：
（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是
1
2
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。

遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。

设遥控车移到第(119)n n ≤≤格的概率为n P ，试证明
{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx
y
b a
y b x x
nx ==-==--∑∑. 【答案】（1）ˆ4226y
x =-，预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人； （2）约400元.
【解析】（1）依题意，先求出5
5
21
1
3,100,
1920,55,i i
i i i x y x y
x ======∑∑，代入公式即
可得到b ，a ，可得回归方程为4226y x =-，令4226300x ->，8x N x +∈⇒…．所以预计到2022年该公司的网购人数能超过300万；
（2）遥控车移到第n （219n 剟
）格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①遥控车先到第2n -格，又掷出偶数，其概率为
21
2n P - ②遥控车先到第1n -格，又掷出奇数，其概率为11
2
n P -
所以2111
22
n n n P P P --=+，即可证得{}1n n P P --是等比数列，
利用累加法求出数列{}n P 的通项公式，即可求得失败和获胜的概率，从而计算出期望. 【详解】 解：（1）12345
3,5
x ++++=
=
20501001501801005
y ++++==
5
11202503100415051801920i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑
5
2
222221
1234555,i
i x
==++++=∑
故192053100
42,5559
b -⨯⨯=
=-⨯ 从而10042326,a y bx =-=-⨯=-
所以所求线性回归方程为4226y x =-， 令*
4226300,x x N ->∈，解得8x ≥.
故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人
（2）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到
第一格，其概率为
12,即112
P =.遥控车移到第n （219n 剟）格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①遥控车先到第2n -格，又掷出奇数，其概率为
212
n P - ②遥控车先到第1n -格，又掷出偶数，其概率为112
n P - 所以211122
n n n P P P --=+，1121()2n n n n P P P P ---∴-=-- ∴当119n 剟时，数列1{}n n P P --是公比为12
-的等比数列 2312132111111,(),(),()2222n n n P P P P P P P -∴-=--=--=-⋅⋅⋅-=- 以上各式相加，得2311111()()()()2222
n n P -=-+-+-+⋅⋅⋅+-=11()1()32n ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ 1211()32n n P +⎡⎤∴=--⎢⎥⎣⎦
（0,1,2,,19n =⋅⋅⋅）， ∴获胜的概率2019211()32P ⎡⎤=
--⎢⎥⎣⎦ 失败的概率1920181111232P P ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦
（） ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 元，200X =或500
∴X 的期望201919211115001()2001()1004()32322EX ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯-+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ ∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为1911004()2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦，约400元. 【点睛】
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，等比数列的证明，等比数列求和公式，累加法求数列的通项公式以及数学期望的计算，属于难题．
22．己知直线l 的参数方程为132x t y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）求11PA PB
+的值．
【答案】（1）21y x =+ ，216y x = ；（2
）35
. 【解析】（1）直线的参数方程消去t 可求得普通方程。

由直角坐标与极坐标互换公式
222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，求得曲线C 普通方程。

（2
）直线的参数方程改写为135x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），由t 的几何意义求值。

【详解】
()1直线l 的参数方程为1(t 32x t y t
=+⎧⎨=+⎩为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程y 2x 1=+，
曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ16cos θ0-=，即22
ρsin θ16ρcos θ=，曲线C 的直角坐标方程为2y 16x =， ()2
直线的参数方程改写为13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）， 代入2y 16x =
，24t t 7055
--=
，12t t +=1235t t 4=-，
1212t t 11PA PB t t -+==． 【点睛】
由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩
，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐
标的相互转化。

23．已知函数()1(1)f x x m x m m
=-++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；
（2）证明：1()3(1)
f x m m +≥-．
【答案】（1）39(,)(,)44
-∞-+∞；（2）见解析. 【解析】（1）分3段去绝对值解不等式组，再取并集； （Ⅱ）由题1()||||f x x m x m =-++，1m >，11||m m m m ∴+=+，所以1()f x m m
+…，当且仅当1,x m m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时等号成立，再利用基本不等式可证． 【详解】
解：（1）当2m =时，1()|2|||2
f x x x =-++； ①当12x -
…时，原不等式等价于1(2)()32x x --+>，解得34x <-； ②当122
x -<<时，原不等式等价于532>，不等式无解； ③当2x …时，原不等式等价于1(2)()32
x x -++>，解得94x >， 综上，不等式()3f x >的解集为39(,)(,)44
-∞-+∞； （2）证明：因为1m >，所以()11f x m m m m ≥+
=+，当且仅当1,x m m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时取“=”
所以()11111113(1)(1)11f x m m m m m m m m m m +≥++=+=-++≥---- 当且仅当2m =且1,22x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
时取“=”，故得证. 【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．。