28.2.2应用举例3(坡度角)
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以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直， 以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数 学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内 容．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
（1）坡角a和β; （2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan AF i 1：1.5
BF
i=1:1.5
AD 6m
33.7o
Bα
FE
i=1:3
β
C
在Rt△CDE中，∠CED=90° （2）在Rt△AFB中，
tan DE i 1: 3
CE
sin a AF , AB
18.4o
AB
AF sin a
6 sin 33.7
10.8(m),
方法小结
1. 认清图形中的有关线段; 2. 分析辅助线的作法; 3. 坡角在解题中的作用; 4. 探索解题过程.
例2一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的 宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45° 和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1
米 2 1.414 3 1.732）
如何构造直角三
角形
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）．
D 12米
C
在Rt△ADE中，
i DE 4 tan45 AE AE
AE 4 4(米) tan 45
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
1. 坡角、坡度; 2. 与坡度、坡角有关的解直角三角形。
作业：1、课本P77课堂习题2； 2、课件练习1、2、3
独立完成作业的良好习惯， 是成长过程中的良师益友。
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“ 化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划 分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以 量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段 山坡的高度h1=l1sina1.
l1 h1
α1
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整 ”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
先构造直 角三角形!
如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽 两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原
背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的
坡角 和加宽后的背水坡的坡角 ;
(2)加宽后水坝的横截面面积增加了 多少?(精确到0.01)
2.0
C
D
1:2.5 1:2
A
B
E
F
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
1、斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 __1_：_1___。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_1_:__3___。
h α
L
(P77)例1. 如图，拦水坝的横断面为梯形ACE的比），根据图中 数据求：
4米
45°
A
E
30°
F
B
在Rt△BCF中，同理可得
BF 4 6.93(米) tan 30
因此AB＝AE＋EF＋BF
≈4＋12＋6.93≈22.93（米）． 答： 路基下底的宽约为22.93米．
A
B
F
咋 办
D EC
如图,水库大坝的截面是梯形 ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底 BC=30m,∠ADC=1350. (1)求坡角∠ABC的大小; (2)如果坝长100m,那么修建这个 大坝共需多少土石方(结果精确到 0.01m3 ).
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（4）
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
i=1:3 β C
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
i=1:3
β
C
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度（坡度）. 今天我们来学习与坡度坡角有关的解直角三角形
先来认识 坡角 坡度
1、坡角
i= h : l
坡面
h
α
水平面
l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
2、坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值
i
h l
tan
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高 度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina， 但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了 ，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而 山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
（1）坡角a和β; （2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan AF i 1：1.5
BF
i=1:1.5
AD 6m
33.7o
Bα
FE
i=1:3
β
C
在Rt△CDE中，∠CED=90° （2）在Rt△AFB中，
tan DE i 1: 3
CE
sin a AF , AB
18.4o
AB
AF sin a
6 sin 33.7
10.8(m),
方法小结
1. 认清图形中的有关线段; 2. 分析辅助线的作法; 3. 坡角在解题中的作用; 4. 探索解题过程.
例2一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的 宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45° 和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1
米 2 1.414 3 1.732）
如何构造直角三
角形
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）．
D 12米
C
在Rt△ADE中，
i DE 4 tan45 AE AE
AE 4 4(米) tan 45
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
1. 坡角、坡度; 2. 与坡度、坡角有关的解直角三角形。
作业：1、课本P77课堂习题2； 2、课件练习1、2、3
独立完成作业的良好习惯， 是成长过程中的良师益友。
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“ 化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划 分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以 量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段 山坡的高度h1=l1sina1.
l1 h1
α1
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整 ”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
先构造直 角三角形!
如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽 两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原
背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的
坡角 和加宽后的背水坡的坡角 ;
(2)加宽后水坝的横截面面积增加了 多少?(精确到0.01)
2.0
C
D
1:2.5 1:2
A
B
E
F
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
1、斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 __1_：_1___。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_1_:__3___。
h α
L
(P77)例1. 如图，拦水坝的横断面为梯形ACE的比），根据图中 数据求：
4米
45°
A
E
30°
F
B
在Rt△BCF中，同理可得
BF 4 6.93(米) tan 30
因此AB＝AE＋EF＋BF
≈4＋12＋6.93≈22.93（米）． 答： 路基下底的宽约为22.93米．
A
B
F
咋 办
D EC
如图,水库大坝的截面是梯形 ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底 BC=30m,∠ADC=1350. (1)求坡角∠ABC的大小; (2)如果坝长100m,那么修建这个 大坝共需多少土石方(结果精确到 0.01m3 ).
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（4）
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
i=1:3 β C
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
i=1:3
β
C
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度（坡度）. 今天我们来学习与坡度坡角有关的解直角三角形
先来认识 坡角 坡度
1、坡角
i= h : l
坡面
h
α
水平面
l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
2、坡度（或坡比）
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值
i
h l
tan
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高 度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina， 但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了 ，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而 山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？