【高三】2021届高考数学备考复习：计数原理二项式定理

【高三】2021届高考数学备考复习：计数原理、二项式定理专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数

第一讲计数原理、二项式定理

【备考策略】

根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：

1．复习时要注意控制难度，以中低档题为主；

2．注意各知识点的交汇，如统计与概率，计数原理与概率等；

3．统计部分应重视茎叶图的复习，概率部分应重视条件概率，相互独立事件同时发生的概率和几何概型；程序框图应有所降温。

【最新考纲透析】

1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理

（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；

（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。

2．排列与组合

（1）理解排列、组合的概念；

（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；

（3）能解决简单的实际问题。

3．二项式定理

（1）能用计数原理证明二项式定理；

（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

【核心要点突破】

要点考向1：利用分步加法和分步乘法计数原理计数

考情聚焦：1．两个计数原理是排列、组合的基础，又是古典概率的必要工具，在每年的高考中都直接或间接考查。

2．多在选择、填空题中出现，属中档或较难题目。

考向链接：1．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步。分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘。

2．对于较复杂的问题，一般要分类讨论，此时要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准。

例1：用1，2，3这三个数字组成四位数，要求这三个数字必须都使用，

但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（）

A．9个B．12个C．18个D．36个

【解析】选C.先选取使用两次的数字有种，然后将剩余的两个数字全排列有种，再将使用两次的数字插入到这两个数字之间有种，故共有 =18种组合方式.

要点考向2：利用排列组合计数问题

考情聚焦：1．在高考题中可单独考查，也可与古典概型结合起来考查。常与两个计数原理交汇命题，是各省市高考的热点。

2．以选择、填空题的形式呈现，属中档题或较难题目。

考向链接：解排列组合综合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手。“分析”就是找出题目的条件、结论。哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决。

例2：（2021?北京高考理科?Ｔ4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）

（A）（B）（C）（D）

【命题立意】本题考查排列组合的相关知识。所用技巧：有序排列无序组合、不相邻问题插空法。

【思路点拨】先排8名学生，再把老师插入到9个空中去。

【规范解答】选A。8名学生共有种排法，把2位老师插入到9个空中有种排法，故共有种排法。

【方法技巧】解决排列组合问题常用的方法与技巧：（1）有序排列无序组合；（2）不相邻问题插空法：可以把要求不相邻的元素插入到前面元素间的空中；（3）相邻问题捆绑法。

要点考向3：二项式定理

考情聚焦：1．二项展开式的指定项、二项式系数和各项的系数是高考的重点。常与

组合数、幂的运算交汇命题。

2．多出现在选择题、填空题中，属容易题或中档题。

例3：（2021?陕西高考理科?Ｔ4）（）展开式中的系数为10，则实数等于（）

（A）-1 （B） (C) 1 (D) 2

【命题立意】本题考查二项式定理的通项公式的应用及运算能力，属保分题。

【思路点拨】

【规范解答】选D ，令，所以，所以

【高考真题探究】

1．（2021?山东高考理科?Ｔ8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节

目演出顺序的编排方案共有

（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种

【命题立意】本题考查排列组合的基础知识，考查分类与分步计数原理，考查了考生

的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.

【思路点拨】根据甲的位置分类讨论.

【规范解答】选B，分两类：第一类：甲排在第一位，共有种排法；第二类：甲排在第二位，共有种排法，所以共有编排方案种，故选B.

【方法技巧】排列问题常见的限制条件及对策

1、有特殊元素或特殊位置，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或

位置.

2、元素必须相邻的排列，将必须相邻的的元素捆绑，作为一个整体，但要注意其内

部元素的顺序.

3、元素不相邻的排列，先排其他元素，然后“插空”.

4、元素有顺序限制的排列.

2．（2021?天津高考理科?Ｔ１0）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用

（A）288种（B）264种（C）240种（D）168种

【命题立意】本题考查分类计数原理，排列组合等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】先分步再排列

【规范解答】先涂色点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：

1、B与E相同时，依次涂点F,C,D,A，涂法分别有3,2,2,2种；

2、B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：

（1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：

①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；

②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法。

（2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：

①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；

②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法。

所以不同的涂色方法有

。

【方法技巧】解题的关键是处理好相交线端点的颜色问题，解决排列组合应用题，要做到合理的分类，准确的分类，才能正确的解决问题。

3．（2021?辽宁高考理科?Ｔ13）的展开式中的常数项为___-5______.

【命题立意】考查了二项式的展开式，

【思路点拨】展开式中的常数项只可能是中的常数项与中的常数项的积和中的一次项与中的项的积以及中的二次项与中的项积的和

【规范解答】

【方法技巧】