高三试卷数学-浙江省宁波市镇海中学2023届高三下学期5月第二学期模拟考试数学试卷及参考答案

2023年高三数学模拟卷（一）
第I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}|20A x x =+>，{}|4B x x =>R ð，则A B =I （）
A ．{2x x <-或}4x >
B ．{}24
x x -<≤C ．{}
4
x x >D ．{
}
24x x -<<2．已知x R ∈，则“0x >”是“23x x <”的（）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要
3．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中5x 的系数为（）
A ．120
B ．135
C ．-140
D ．-162
4．数列{}n a 满足131
,31n n
a a a +==-，则2023a =（）A ．12
-
B ．
23
C ．
52
D ．3
5.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角
形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为θ，且1
tan 23
θ=，则大正方形的面积为（）A ．4B ．5
C ．16
D ．25
6.已知2a =r ，1b =r ，2a b -=r r ，则向量a r 在向量b r
方
向上的投影向量为（
）
A ．b
B ．b
- C D ．7．设1
cos 0.1,10sin 0.110tan 0.1
a b c ===
，，则（）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<8.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（）A.4π B.8π C.12π D.16π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某地区高三男生的身高X 服从正态分布(
)()2
170,0N σσ>，则（
）
A ．()1700.5P X >=
B ．若σ越大，则()165175P X <<越大
C ．()()
180160P X P X >=<D ．()()160165165170P X P X <<=<<
10．随机变量ξ的分布列如右表：其中0xy ≠，下列说法正确的是（）
A ．1
x y +=B ．5(3
)y E ξ=
C ．()
D ξ有最大值
D ．()D ξ随y 的增大而减
小
11．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
(1)过点0000(,,)P x y z ，
且以(,,)(0)u a b c abc =≠
为方向向量的空间直线l 的方程为
000
x x y y z z a b c
---==.(2)过点()000,,P x y z ，且()0)=(,,v m n mnt t ≠
为法向量的平面α的方程为
()()()0000m x x n y y t z z -+-+-=.
现已知平面236x y z α++=：，1l ：21321
x y y z -=⎧⎨
-=⎩，
2l ：2x y z ==-，3l ：1541x y z
-==-则下列说法正确的是（）
A.1//l α
B.2//l α
C.3//l α
D.1l α
⊥12.定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称M 是数列
{}n a 的一个上界.现已知{}n a 为正项递增数列，()12n n n a
b n a -=≥，下列说法正确的是
（）
A.若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界.
B.若{}n a 有上界,则{}n a 可能不存在最小的上界.
C.若{}n a 无上界,则对于任意的n N *∈，均存在k N *∈，使得
1
2023
n n k a a +<
D.若{}n a 无上界，则存在k *∈Ν，当n k >时，恒有232023n b b b n ++<- .
第II 卷（非选择题）
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数2(1i)z =-，则||z =___________．
14.已知,a b 为两个正实数，且41a b +=
+的最大值为___________.
ξ
012
P
x
3y 23
y
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数1()sin()cos ,3(0,),().22
f x x x f π
παα=+-∈=(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)已知凸四边形ABCD 中，()241AB AC AD f BAD ∠====，，，求凸四边形
ABCD 面积的最大值.
19．在直角梯形ABCD 中，CD AD ⊥，22AB BC CD ===，AD =现将D AC ∆沿着对角线AC 折起，使点D 到达点P 位置，此时二面角P AC D --为3
π（1）求异面直线PA ，BC 所成角的余弦值；
（2）求点A 到平面PBC 的距离.
21.已知椭圆22
143
x y +=，F 为其右焦点，(0,)M t ，(0,)N t -为椭圆外两点，
直线MF 交椭圆于AB 两点.
(1)若MA AF λ= ，MB uBF =
，求u λ+的值；
(2)若三角形NAB 面积为S ，求S 的取值范围.
22．已知()sin ,[0,]f x x x π=∈，（1）求()f x 在x π=处的切线方程；
（2）求证：对于12,[0,]x x π∀∈和12,0λλ∀>，且121λλ+=，都有
()11221122sin sin sin x x x x λλλλ+≥+；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
高三数学
第1页
共8页
2023.5高三数学模拟考
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
12345678B
C
D
A
D
B
D
B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9101112AC
ABC
CD
ACD
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．215.[1,1)
e -16.
316
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】（1）由题意知1sin(
)cos
3
3
2ππα+-=
，得sin()13
π
α+=因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336ππαπ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦，所以32ππα+=，所以6πα=
()sin cos sin 66f x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫∴=+-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭所()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡
⎤-+
∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1f
BAD ∠=，得2
3
BAD π
∠=所以四边形ABCD
的面积BAC DAC S S S ∆∆=+设BAC α∠=，则()22sin 4sin 3S παααϕ⎛⎫
=+-
=+≤
⎪⎝⎭
当21
sin cos 7
αϕ==
时，取到最大值
高三数学
第2页
共8页
18.
【解析】（1）当1n =时，215160a a ++=，264
25
a ∴=-，当2n ≥时，由10516n n a S +++=①，
得10516n n a S -+=+②，
①-②得154n n
a a +=12644
0,0,255
n n n a a a a +=-
≠∴≠∴=，又
214
,{}5n a a a =∴是首项为165-，公比为45的等比数列，11644
()4()555
n n n a -∴=-
⋅=-⋅；（2）由4(5)0n n b n a +-=，得54
(5)()45
n n n n b a n -=-
=-，所以2
3
4
444432(1)(5)5554455n
n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，
2
4
1
3
444444432(6)(555)5555n
n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，
两式相减得2
3
4
1
14444444(5)5555555n
n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1
1
1612516(45)5554145n n n -+⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+
-- ⎪⎝⎭
-1
1
1
5(5)161644455555n n n n n +++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，
所以1
45()
5
n n T n +=-⋅，
由n n T b λ≤得1445()(5)()55
n n
n n λ+-⋅≤-⋅恒成立，
即(5)40n n λ-+≥恒成立，
5n =时不等式恒成立；
高三数学第3页共8页
5n <时，420
455n n n λ≤-
=----，得1λ≤；5n >时，412
455n n n λ≥-
=----，得4λ≥-；所以41λ-≤≤.
19.
过点D 做DO AC ⊥交AC 于O 连接OP
以O 点为原点，以OA 为x 轴，在平面ABCD 内，过点O 垂直于AC 的线为y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
(1)因为DO AC ⊥，所以PO AC ⊥，所以DOP ∠为二面角P AC D --的平面角.
所以3DOP π∠=，又因为3||||2OD OP ==，所以点330,,44P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
又因为1,0,02C ⎛⎫-
⎪⎝⎭，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，12B ⎛⎫
⎪⎝⎭
所以33,,244AP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，()
1,BC =-
所以333324cos ,8||||
AP BC
AP BC AP BC +
⋅<>===
所以AP 与BC 夹角的余弦值为
33
8
.
高三数学第4页共8页
(2)13,,244PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
,()
1,BC =-
设(),,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则00
n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即1330244
0x y z x ⎧-+
-=⎪⎨⎪-=⎩
令x =
1,n =-
所以点A 到平面PBC
的距离为||2217||AP n d n ⋅===
.20.【解析】
（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A ，则
两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为2
20C ，
数目为2的为2
40
C ，数目为3的有240
C ，则()222
204040
2
100C C C 35C 99
P A ++==.；（2）由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2.
为0时对应概率为（1）中所求概率：()222
204040
2
100C C C 0C 5939
P X ++===；为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：
()1111
204040402100C C C C 16
1C 33
P X +===；
为2时，1人为1，1人为3：()11
2040
2
100C C 162C 99
P X ===.则分布列如图所示：X
012
P
35
99
1633
1699
故X 的期望为()3516168001299339999
E X =⨯+⨯+⨯=；（3）
高三数学
第5页
共8页
性别纯理科生非纯理科生总计男性305585女性10515总计
40
60
100
零假设为0H ：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关.
()
()()()()
()2
2
21003051055 5.229 3.841
40608515
n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯=
=
≈>++++⨯⨯⨯所以依据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，
即认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.21.(1)设()()1122,,,A x y B x y 因为,M N 在椭圆外，所以23t >.
由题意知，AB 的方程为11x y t =-+，联立椭圆方程，得2211
34120
x y t x y ⎧
=-+⎪⎨
⎪+-=⎩化简，得2236(
4)90y y t t
+--=（*）由MA AF λ=
，得()
11y t y λ-=-由MB uBF =
，得()22y t u y -=-所以121212112y y t t
u t y y y y λ⎛⎫++=-+
-+=-+ ⎪⎝⎭
由（*）式可得，12
126
293y y t y y t
+==--所以12128
23y y u t y y λ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭
.
高三数学
第6页
共8页
(2)1222122||||332
44NAB OAB
S S OF y y t t
∆∆==⋅⋅-=++
令m =，所以21231NAB
m S m ∆=+因为23t >
，所以m ⎛= ⎝
，所以2121283,313153NAB m S m m m ∆⎛⎫==∈ ⎪ ⎪+⎝⎭+.所以S 的取值范围是83,35⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
22.
【解析】
（1）因为()cos f x x '=,所以cos |1x k x π===-，又()0f π=所以求()f x 在x π=处的切线方程为y x π=-+.(2)不妨设12
x x ≤令122122()sin()sin sin g x x x x x λλλλ=+--，2[0,]x x ∈则11221()cos()cos g x x x x λλλλ'=+-因为122120
x x x x x πλλλλ≥+>+=≥所以122cos()cos x x x λλ+≤所以()0g x '≤在
2[0,]x x ∈上恒成立.
所以2()()0
g x g x ≥=即122122sin()sin sin x x x x λλλλ+≥+.
(3)对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，
1
1
n
i
i λ
==∑都有11
sin sin n n
i i i i
i i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑
高三数学第7页共8页证明：①当2n =时，由（2）知，命题显然成立.
②假设当n k =时命题成立.
即对任意的123,,,[0,]k x x x x π∈ 及0,1,2,3,,,i i k μ>= 11k i i μ
==∑.
都有11
sin sin k k
i i i i i i x x μμ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.现设1231,,,,[0,]k k x x x x x π+∈ 及0,1,2,3,,,1i i k k λ>=+ ，
111k i i λ+==∑.令1,1,2,3,,,1i i k i k λμλ+==- 则11k i i μ==∑.由归纳假设可知()()11221122111111sin sin 11k k k k k k k k k k x x x x x x x x λλλλλλλλλλ++++++⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦
()()1112211
1sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()[]1112211
1sin sin sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦
()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦
1
1sin k i i i x λ+==∑所以当1n k =+时命题也成立.
综上对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，且11
n i i λ
==∑都有11
sin sin n n
i i i i i i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑。