高中数学：人教A版 2.3.2 等差数列(习题课)学案

2.3.3 等差数列(习题课)-----学案 一、学习目标 1．掌握a n 与S n 的关系并会应用．(难点)
2．掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点)
3．会求等差数列前n 项和的最值．(重点、易错点)
二、自主学习
教材整理 等差数列前n 项和的性质
阅读教材P 44例3～P 45，完成下列问题．
1．S n 与a n 的关系a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1S n －S n －1.n ≥2 2．等差数列前n 项和的性质
(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，
S 4n －S 3n ，…构成等差数列．
(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．
3．等差数列前n 项和S n 的最值
(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．
(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．
特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值． 做一做：
1．下列说法中正确的有________(填序号)．
(1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也是等差数列． (2)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.
(3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．
(4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .
【解析】 (1)正确．因为由等差数列前n 项和公式知S n n ＝d 2n ＋a 1－12d ，所以数列S n n
为等差数列．
(2)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd .
(3)正确．由实数的运算可知该说法正确．
(4)正确．因为S 2n －1＝a 1＋a 2n －12n －12＝2n －12
[a n ＋(1－n )d ＋a n ＋(n －1)d ]＝(2n －1)a n .
【★答案★】 (1)(3)(4)
三、合作探究
探究1：由数列的前n 项和S n 求a n
例1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12
n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？
如果是，它的首项与公差分别是什么？
【精彩点拨】
【自主解答】 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)，
可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32
，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12
. 由此可知：数列{a n }是以32
为首项，以2为公差的等差数列． 归纳总结
1．已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．
2．由数列的前n 项和S n 求a n 的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列．
探究2：等差数列前n 项和的性质应用
例2. (1)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( )
A ．9
B ．12
C ．16
D ．17
(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．
(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5
＝________. 【精彩点拨】 (1)解决本题关键是能发现S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，a 17＋a 18＋a 19＋a 20
能构成等差数列．
(2)利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用“基本量法”求解．
(3)解决本题关键是如何将a n 转化为用等差数列的前(2n －1)项的和表示．
【自主解答】 (1)由题意知：S 4＝1，S 8－S 4＝3，
而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列．
即1,3,5,7,9，a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.
(2)法一：(巧用性质)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1
即132－120＝132＋1202n ＋1
，解得n ＝10. 法二：(基本量思想)可设等差数列的首项为a 1，公差为d .依题意可列方程组
⎩⎨⎧ n ＋1a 1＋n n
＋12×2d ＝132，na 2＋n －1n 2×2d ＝120，
即⎩⎪⎨⎪⎧
n ＋1a 1＋nd ＝132，n a 1＋nd ＝120，所以n ＋1n ＝132120，即n ＝10. (3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92
×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. 【★答案★】 (1)A (2)10 (3)53
探究3：等差数列前n 项和S n 的函数特征
探究1 将首项为a 1＝2，公差d ＝3的等差数列的前n 项和看作关于n 的函数，那么这
个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？
【提示】 首项为2，公差为3的等差数列的前n 项和为S n ＝2n ＋
n n －1×32＝32
n 2＋12
n ， 显然S n 是关于n 的二次型函数． 且常数项为0，二次项系数为d 2，一次项系数为a 1－d 2
；如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么当n ＝1时，S 1＝a 1＝4.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，则该数列的通项公式为a n ＝6n －2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n 项和都是关于n 的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n 项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．
探究2 已知一个数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－5n ，试画出S n 关于n 的函数图象．
你能说明数列{a n }的单调性吗？该数列前n 项和有最值吗？
【提示】 S n ＝n 2－5n ＝⎝⎛⎭⎫n －522－254
，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n }前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小，最小值为－6，即数列{a n }前2项或前3项和最小．
例3. 数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2，
(1)求{a n }的通项公式；
(2)问{a n }的前多少项和最大；
(3)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和S ′n .
【精彩点拨】 (1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1，d ，从而求出通项．
(2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．
(3)利用a n 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用S n 的函数特征判断项的正负求解．
【自主解答】 (1)法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，
又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n .
故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .
法二：由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，
由S n 的结构特征知⎩⎨⎧ d 2＝－1，a 1－d 2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .
(2)法一：令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17，
故数列{a n }的前17项大于或等于零．
又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．
法二：由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332
. 距离332
最近的整数为16,17.由S n ＝－n 2＋33n 的 图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0，
故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n ≤17时，a n ≥0；
当n ≥18时，a n <0.
所以当n ≤17时，S n ′＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.
当n ≥18时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.
故S n ′＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 33n －n 2n ≤17，n 2－33n ＋544n ≥18. 归纳总结
1．在等差数列中，求S n 的最小(大)值的方法：
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法：
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≤0，a n ＋1
≥0来寻找． (2)利用到y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|a n |}的前n 项和，应先判断{a n }的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题． 四、学以致用
1．已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．
(1)S n ＝2n 2－3n ；
(2)S n ＝3n －2.
【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1；
当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)＝2n 2－7n ＋5，
则a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－(2n 2－7n ＋5)＝2n 2－3n －2n 2＋7n －5＝4n －5.
此时若n ＝1，a n ＝4n －5＝4×1－5＝－1＝a 1，故a n ＝4n －5.
(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1；
当n ≥2时，S n －1＝3n －1－2，则a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝3n －3n －1
＝3·3n －1－3n －1＝2·3n －1.
此时若n ＝1，a n ＝2·3n －1＝2·31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，2·
3n －1，n ≥2. 2．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.
(2)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为
________． 【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8，所以S 13＝a 1＋a 132
×13＝a 7·13＝104. (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3.
所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n
＝n ＋2， 所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75. 【★答案★】 (1)104 (2)75
3．在等差数列中，a 10＝23，a 25＝－22.
(1)该数列第几项开始为负；
(2)求数列{|a n |}的前n 项和．
【解】 设等差数列{a n }中，公差为d ，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ a 25－a 10＝15d ＝－45，23＝a 1＋10－1×d ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧ a 1＝50，d ＝－3. (1)设第n 项开始为负，a n ＝50－3(n －1)＝53－3n <0，
∴n >533
，∴从第18项开始为负． (2)|a n |＝|53－3n |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 53－3n 1<n ≤17，3n －53n >17.
当n ≤17时，S n ′＝－32n 2＋1032
n ；当n >17时， S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )，
S n ′＝－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＋2S 17＝32n 2－1032n ＋884，∴S n ′＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1032n n ≤17，32n 2－1032n ＋884n >17.
五、自主小测
1．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n ＝________.
4．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值为________．
5．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n .
(1)求数列 {a n }的通项a n ；
(2)求S n 的最小值及对应的n 值.
参考★答案★
1.【解析】 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.
【★答案★】 B
2.【解析】 由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝
3.
或由解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30，求得d ＝3，故选C. 【★答案★】 C
3.【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又因为a 1＝1适合a n ＝2n －1.所以a n ＝2n －1.
【★答案★】 2n －1
4.【解析】 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.
【★答案★】 －1
5.【解】 (1)∵S n ＝2n 2－30n ，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. ∵n ＝1也适合，∴a n ＝4n －32，n ∈N *.
(2)法一：S n ＝2n 2－30n ＝2⎝⎛⎭⎫n －1522－2252
∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 法二：∵a n ＝4n －32，∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0，当n ≥9时，a n >0. ∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112.。