22.2.4直角三角形相似判定定理

A
A'B' A'C'
AB kA' B'，AC kA'C'
BC AB2 AC2
k 2 A' B'2 k 2 A'C'2
C
B
k A' B'2 A'C'2
A'
kB'C'
AB AC BC k A'B' A'C' B'C'
RtABC∽RtA' B'C'
C' B'
上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC，
求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE.
C E
F
A
D
B
分析：(1)要证明AE是∠CAB的平分线，
只要证明RtΔACE∽RtΔADF即可
(2)要证明AB•AF＝AC•AE， 只要证明ΔACF∽ΔABE
C E
F
证明：
A
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°； (2) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8； (3) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°；
A 25°
B' 65°
65°
C'
A'
C
B
∵ ∠B=∠B ∠C=∠C
∴ ΔABC∽ΔA'B'C'
两角分别对应相等的两个三角形相似.
a BD
a2
A
b
BD
b
C
a
答:当BD a2 时，ΔABC∽ΔCDB
b
B
D
如图，已知∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b,当BD与 a,b之间满足怎样的函数表达式时,以点A,B,C为顶 点的三角形与以点C,D,B为顶点的三角形相似？
A
b
C
分析：
如图（1）：当AC与CB，CB与BD对应成比例，
9
B'
∵ AC:A'C'=BC:B'C'=AB:A'B ' ∴ ΔABC∽ΔA'B'C'
三边对应成比例的两个三角形相似.
已知:如图，RtΔABC与RtΔA'B'C'中，
∠C=∠C'=90°, AB AC
A' B' A'C'
求证: RtΔABC ∽ RtΔA'B'C'
A A'
C' B'
C
B
证明：设 AB AC k，则
斜边和一条直角边对应成比例的
HL
两个直角三角形相似
1.如图,已知∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b,当BD与 a,b之间满足怎样的函数表达式时,ΔABC∽ΔCDB?
解:ABC CDB 90,
当 AC BC 时，ΔABC∽ΔCDB
BC BD
b
即
a
时，ΔABC∽ΔCDB
AC AF
AB AE
AE是∠CAB的角平分线 AB•AF=AC•AE
思考：
如图，在RtΔABC中,∠C=90°,CD是AB边上的高. 求证：(1) CD2 AD BD;
(2)BBCC22 ABBBBDD, ,AACC2 2 ABABADA; D; (3)能否根据（2）证明勾股定理？
(2) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8；
A' A
3
6
C
4
B
C'
8
B'
∵ AC:A'C'=BC:B'C'， ∠C=∠C '
∴ ΔABC∽ΔA'B'C'
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
(3) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
A
8
10
A'
12
15
C 6B
C'
C
A
D
B
则RtΔABC∽RtΔCDB，由上例知 BD b2 a
a
B
D
图（1）
分析：
如图（2）：当AC与BC，AB与BD对应成比例，则
RtΔABC∽RtΔBDC，仿照上例可求出BD关于a，b的函数表达式
解：ABC CDB 90
C
当 AC AB 时，ΔABC∽ΔBDC，
b
BC BD
A
∴RtΔABC∽RtΔA'B'C'
C
C' B' B
思考： 我们学过的全等三角形的判定和相似三角形的
判定之间有什么对应关系？
全等三角形的判定
相似三角形的判定
SAS
判定定理1: 两角分别对应相等的两个三角形相似.
ASA
判定定理2:
AAS
两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似.
SSS
判定定理3: 三边对应成比例的两个三角形相似.
直角三角形相似的判定定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一 个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么 这两个直角三形相似.
可简单说成： 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
几何语言：
A
A'
∵RtΔABC与RtΔA'B'C'中，
∠C=∠C'=90°, AB AC
A' B' A'C'
b
b2 a2 ,ΔABC∽ΔBDC，
a
a
BD
B
D
BD a b2 a2
图（2）
答：当
BD

a2
b
或 BD
a
b2 a2 时，两个三角形相似.
注意：两个三角b 形相似，没有用b 数学符号表示出来，对应边
不确定，要分类讨论！
2.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是BC
22.2.4 直角三角形相似的判定定理
A
A′
c
b
Ba C
B′ C′
知识回复顾习☞
问题1 我们学过的三角形相似的判定定理有哪些？ 判定定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似.
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三 角形相似.
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.
知识回复顾习☞
问题2 在RtΔABC和RtΔA'B'C'中，∠C＝∠C'＝ 90°．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似 ，并说明理由？
D
B
(1)CD是斜边AB上的高 (2)∠ACD+∠CAB=90°
ADF ACE 90 又 AE AD AF AC AE AC
AF AD
ΔAEC∽ΔAFD
∠CAE=∠BAE
∠B+∠CAB=90°ห้องสมุดไป่ตู้
∠ACD=∠B 又 ∠CAE=∠EAB ΔACF∽ΔABE