平行四边形与勾股定理结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练

专题26 平行四边形与勾股定理结合
1. 如图，BD 垂直平分AC ，交AC 于E ，∠BCD ＝∠ADF ，FA ⊥AC ，垂足为A ，AF ＝DF ＝5，AD ＝6，则AC 的长为__．
2. 如图，已知四边形ABCD 和四边形BCEF 均为平行四边形，∠D ＝60°，连接AF ，并延长交BE 于点P ，若AP ⊥BE ，AB ＝3，BC ＝2，AF ＝1，则BE 的长为（ ）
A. 53. 如图，四边形ABCD 中，90,1,3A ABC AD BC ︒∠=∠===,E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相较于点F ．
（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形；
（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．
4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，延长DE 、BF ，分别交AB 于点H ，交BC 于点G ，若AD ∥BC ，AE ＝CF ．
（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；
（2）若∠DAH ＝∠GBA ，GF ＝2，CF ＝4，求AD 的长．
5. 已知：如图所示，在平行四边形ABCD 中DE 、BF 分别是∠ADC 和∠ABC 的角平分线，交AB 、CD 于点E 、F
（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；
（2）若∠A ＝60°，AE ＝2EB ，AD ＝4，求平行四边形ABCD 的面积．
6. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点O 是AC 的中点，//AD BC ．
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；
（2）若4AD BD ==，且90ADB ∠=︒，求AC 的长．
7. 如图，四边形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点G ，DF ⊥AC 于点F ，已知AF =CE ，AB =CD ．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的长．
8. 如图，等边△ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至
BC，连接CD和EF．
点F，使CF=1
2
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
9. 如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连结DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
10. 如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD 的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP +PM +ME′的长度最小时，请直接写出此时点P 的坐标为_____；
（3）如图2，点N 为线段BC 上的动点且CM=CN ，连接MN ，是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP 的值；若不存在，请说明理由．
11. 如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，16cm AD =，12cm AB =，20cm BC =，点Q 从点A 出发以2cm/s 的速度向点D 运动，点P 从点B 出发以4cm/s 的速度向点C 运动，P ， Q 两点同时出发，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ．
（1）当2t =时，四边形PCDQ 的面积为 ．
（2）若以P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求t 的值；
（3）当05t <<时，若DQ DP ≠，则当t 为何值时，DPQ ∆是等腰三角形？
12. 已知：直线y＝3
4
x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO
上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
专题26 平行四边形与勾股定理结合
【1题答案】
【答案】9.6
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA =DC ，BA =BC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC =∠DCA ，∠BAC =∠BCA ，证明AB ∥DF ，进而得到四边形AFDB 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD =AF =5，AB =DF =5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：∵BD 垂直平分AC ，
∴DA ＝DC ，BA ＝BC ，
∴∠DAC ＝∠DCA ，∠BAC ＝∠BCA ，
∴∠DAC ＋∠BAC ＝∠DCA ＋∠BCA ，即∠DAB ＝∠BCD ，
∵∠BCD ＝∠ADF ，
∴∠DAB ＝∠ADF ，
∴AB ∥DF ，
∵FA ⊥AC ，DB ⊥AC ，
∴AF ∥BD ，
∴四边形AFDB 为平行四边形，
∴BD ＝AF ＝5，AB ＝DF ＝5，
设BE ＝x ，则DE ＝5－x ，
在Rt △AEB 中，222AB BE AE -=，
在Rt △AED 中，222AD DE AE -=，
∴2222AB BE AD DE -=-，即()2222565x x -=--，
解得：x ＝75
，
∴AE 245=，∴AC ＝2AE ＝9.6，
故AC 的长为9.6，
故答案为：9.6．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，先证∠DHC =90º，再证四边形ADEF 是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．
【详解】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =3，∠ADC =60º，
∴CD =AB =3，∠DCH =∠ABC =∠ADC =60º，
∵DH ⊥BC ，
∴∠DHC =90º，∴∠ADC +∠CDH =90°，∴∠CDH =30°，
在Rt △DCH 中，CH =12CD =32，DH ，
∴222223(2)192BD BH DH =+=++=，∵四边形BCEF 是平行四边形，
∴AD =BC =EF ，AD ∥EF ，
∴四边形ADEF 是平行四边形，
∴AF ∥DE ，AF =DE =1，
∵AF ⊥BE ，
∴DE ⊥BE ，
∴22219118BE BD DE =-=-=，
∴BE =故选D ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．
【3题答案】
【答案】（1）见解析；（2）或
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；
（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．
【详解】解：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴AF∥BC．
∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE．
∵E是边CD的中点，
∴CE=DE．
∴△BCE≌△FDE（AAS）．
∴BE=EF．
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）若△BCD是等腰三角形，
①若BD=BC=3 ．
在Rt△ABD中，==．
∴四边形BDFC的面积为S=；
②若BC=DC=3，
过点C 作CG ⊥AF 于G ，则四边形AGCB 是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG-AD=3-1=2，
在Rt △CDG 中，由勾股定理得， CG ===，
∴四边形BDFC 的面积为S=．
③BD=CD 时，BC 边上的中线应该与BC 垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC 的面积是或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．
【4题答案】
【答案】（1）见解析
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据AD ∥BC ，可得DAE BCF ∠=∠，根据，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，可得∠AED =∠CFB =90°，结合AE ＝CF 即可证明DAE BCF ≌△△，根据全等三角形的性质可得AD BC =，即可得证；
（2）勾股定理可得CG =证明四边形DGBH 是平行四边形，可得DG HB =，继而可得AH CG =，勾股定理求得2EH =，在Rt ADE △中勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，
∴∠AED =∠CFB =90°，DE BF
∥∵AD ∥BC ，
∴∠DAE =∠BCF ，
在Rt △△DAE 和△BCF 中，
90DEA BFC AE CF
DAE BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△DAE ≌△BCF （ASA ），∴AD =CB ，
∵AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形；
【小问2详解】
DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，
∴ DH BG ∥，
GBA DHA ∴∠=∠，
∠DAH ＝∠GBA ，
DAH DHA ∴∠=∠，
AD DH =∴，
在Rt GCF △中，2,4GF CF ==
，CG ∴==， 四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，AB CD =，DG HB ∴∥，
DH GB ∥ ，
∴四边形DHBG 是平行四边形，DG HB ∴=
，
AH CG ∴==Rt AEH △
中，4,AE CF AH ===，2EH ∴=，
在Rt ADE △中，222AD DE AE =+，()2
2224AD AD =-+，解得5AD =．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【5题答案】
【答案】（1）见解析；（2）【解析】
【分析】（1）证明EF 、BD 互相平分，只要证四边形DEBF 是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明；
（2）根据等边三角形的判定定理得到ADE ∆是等边三角形，求得4DE AE ==，得到2BE GE ==，过D 点作DG AB ⊥于点G ，根据直角三角形的性质得到1
2
2
AG AD ==，由勾股定理得到DG ===形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，
ADC ABC ∴∠=∠．
又DE ，BF 分别是ADC ∠，ABC ∠的平分线，
ABF CDE ∴∠=∠．
//AB CD ，
CDE AED ∴∠=∠，
ABF AED ∴∠=∠，
//DE BF ∴，
//DE BF ，//DF BE ，
∴四边形DEBF 是平行四边形；
（2）解：60A ∠=︒ ，AB //CD ，
120ADC ∴∠=︒，
∵DE 是∠ADC 的角平分线，
60ADE CDE ∠=∠=︒∴，
ADE ∴ 为等边三角形，
AE AD ∴=，
4AD = ，
4DE AE ∴==，
过D 点作DG AB ⊥于点G ，
2AE EB = ，
2EB ∴=，
在Rt DGE 中
60DEG ∠=︒ ，
30GDE ∴∠=︒，
114222
GE DE ∴==⨯=，224BG GE BE ∴=+=+=，
在Rt ADG 中，4=AD ，60A ∠=︒，
122
AG AD ∴==，
DG ∴==∴
平行四边形ABCD 的面积6AB DG =⋅=⨯=．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，证得ADE ∆是等边三角形是解题的关键．
【6题答案】
【答案】（1）见解析；（2）【解析】
【分析】（1）由已知条件易证△AOD ≌△COB ，由此可得OD =OB ，进而可证明四边形ABCD 是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得出AC =2OA ，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵O 是AC 的中点，∴OA OC =，
∵//AD BC ，∴ADO CBO ∠=∠，
在AOD △和COB △中，ADO CBO AOD COB OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AOD △≌COB △，∴OD OB =，
∵OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴122OB OD BD ===，2AC OA =，
∵90ADB ∠=︒
，∴OA =
==
∴2AC OA ==【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明四边形ABCD 是平行四边形，属于中考常考题型．
【7题答案】
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】（1）先证明Rt △ABE ≌Rt △CDF ，得到AB ∥CD ，即可判定平行四边形；
（2）证明AB=GB ，根据勾股定理构造方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）∵AF=CE ，
∴AF-EF=CE-EF ，
∴AE=CF ，
∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD ，
∴Rt △ABE ≌Rt △CDF ，
∴∠BAE=∠DCF ，
∴AB ∥CD
，
∵AB=CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，
∴∠AGB=∠GBC ，
∵∠GBC =∠BCD ，
∴∠AGB=∠BAG ，
∴AB=GB ，
设AB=GB=x ，则BE=x-2，
∵BG ⊥AC ，
∴2222AB BE AG GE -=-，
∴()2
222262x x --=- ，
解得x=9，
∴AB =9．
【点睛】本题考查了平行四边的判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据已知条件合理选择定理是解题关键．
【8题答案】
【答案】（1）见解析；（2）EF=（3）．
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；
（2）先求出CD ，再证明四边形DEFC 是平行四边形即可；
（3）过点D 作DH ⊥BC 于H ，求出CF 、DH 即可解决问题．
【详解】解：（1）在△ABC 中，
∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，
∴DE 为△ABC 的中位线，
∴DE ＝12BC ，
∵CF ＝12BC ，
∴DE ＝CF ；
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝
（3）过点D作DH⊥BC于H，
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
DC，
∴DH＝1
2
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF•DH＝＝
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
【9题答案】
【答案】（1）见解析（2
【解析】
【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等
（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角
△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD BC，且AD=BC
∵F是AD的中点
AD
∴DF=1
2
BC
又∵CE=1
2
∴DF=CE，且DF CE
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在▱ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
CD=2，DH
∴CH=1
2
AD=3，则EH=1．
在▱CEDF中，CE=DF=1
2
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．
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【10题答案】
【答案】（1）（﹣2，，（4，；（2）（2；（3）EP的值为3或6
或5．
【解析】
【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD 的长即可解决问题；
（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；
（3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD A（﹣2，2
，
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，；（2）如图1中，连接OP．
∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形
OMPE是矩形，∴PM=OE
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．
∵直线OB的解析式为y，∴P（2）．
故答案为（2）．
（3）如图2中，当PM=PN时，
∵AOCB 是平行四边形，∴∠MCN =∠A =60°．∵MC =CN ，∴△MNC 是等边三角形，∴∠CMN =∠CNM =60°．
∵PM ⊥OC ，∴∠PMN =∠PNM =30°，∴∠PNF =30°+60°=90°，
∵∠PFN =∠BCO =60°，∴∠NPF =30°，NF =1，∴PF =2NF =2，
∵EF =2
BD OC =5，∴PE =5﹣2=3．如图3中，当PM =MN 时，
∵PM =MN =CM ，∴EP =OM =6如图4中，当点P 与F 重合时，NP =NM ，此时PE =EF =5．
综上所述：满足条件的EP 的值为3或65．
【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
【11题答案】
【答案】（1）2144cm ；（2）2t =；（3）83t =或74t =【解析】
【分析】（1）当2t =时，算出AQ 、PB 的值，进而求出DQ 、PC 的值，由平行四边形的判定得出四边形PCDQ 为平行四边形，进而求出平行四边形的面积；（2）P 未到达C 点时，要使四边形PCDQ 是平行四边形，由平行四边形的性质得出QD PC =，列出等式解答即可；
（3）分PQ PD =，QD QP =两种情况讨论计算，求出时间即可得出答案．
【详解】解：（1）∵边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，16cm AD =，12cm AB =，20cm BC =，
点Q 从点A 出发以2cm/s 的速度向点D 运动，点P 从点B 出发以4cm/s 的速度向点C 运动，
当2t =时，AQ ＝4cm ，PB ＝8cm ，
∴DQ ＝16－2＝12cm ，PC ＝20－8＝12cm ，
∴DQ ＝PC ，
∴此时四边形PCDQ 为平行四边形，
四边形PCDQ 的面积为：1212=⨯2144cm ，
故答案为：2144cm ；
（2）P 未到达C 点时，要使四边形PCDQ 是平行四边形，
则QD PC =，
162204t t -=-，
解得2t =．
∴ 四边形PCDQ 是平行四边形时，t 的值是2．
（3）①如图，若PQ PD =，
过点P 作PE AD ⊥于点E ，则162QD t =-，
11(162)822
QE QD t t ==-=-，2(8)8AE AQ QE t t t =+=+-=+，AE BP = ，
84t t ∴+=，解得：83
t =．②如图，若QD QP =，
过Q 作QF BC ⊥于F ，则12QF =，
422FP t t t =-=，
在Rt QPF ∆中，
222QF FP QP +=，
()()2
2122162t t 2∴+=-，解得74
t =
．∴当83t =或74t =时，DPQ ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．
【12题答案】
【答案】（1）A （-8，0），B （0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E （-6，-6）；（4）21(1,
)4
-或27(1,)4或3(7,4-【解析】
【分析】（1）在直线364
y x =+中，分别令x =0，y =0，可得A ，B 坐标；（2）由翻折不变性可知，OC CD =，6OB BD ==，90ODB BOC ∠=∠=︒，在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，利用222AD CD AC +=，即可求解；
（3）证明()FMA ANE AAS ∆≅∆，则NE AM =，MF AN =，即可求解；（4）分MC 是边、MC 是对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）对于直线364
y x =+，令0x =，得到6y =，(0,6)B ∴，
令0y =，得到8x =-，
,0()8A ∴-．
(8,0)A - ．(0,6)B ；
（2）由（1）可得：(8,0)A -．(0,6)B ，
8OA ∴=，6OB =，
90AOB ∠=︒ ，
10AB ∴==，
由翻折不变性可知，OC CD =，6OB BD ==，90ODB BOC ∠=∠=︒，
4AD AB BD ∴=-=，设CD OC x ==，
在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，
222AD CD AC ∴+=，
2224(8)x x ∴+=-，
解得3x =，
3OC ∴=；
（3）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：26y x =+，
设点(,26)F m m +、(,26)E n n +，
过点A 作y 轴的平行线交过点F 与x 轴的平行线于点M ，
交过点E 与x 轴的平行线于点N ，
AEF ∆ 为等腰直角三角形，故AE AF =，
90NAE MAF ∠+∠=︒ ，90MAF MFA ∠+∠=︒，
NAE MFA ∴∠=∠，
90FMA ANE ∠=∠=︒ ，AE AF =，
()FMA ANE AAS ∴∆≅∆，
NE AM ∴=，MF AN =，
即268m n --=+，268n m +=+，
解得：2m =-，6n =-，
故点F 的坐标为(2,2)-、点(6,6)E --；
由于E 、F 的位置可能互换，故点E 的坐标为(2,2)-、点(6,6)F --；
综上，点F 的坐标为(2,2)-或(6,6)E --；
（4）点M 是AB 的中点，则点(4,3)M -，而点(8,0)A -，
设点(0,)P n ，点3(,6)4
Q m m +，
①当MC 是边时，
点M 向右平移1个单位向下平移3个单位得到点C ，
同样点()P Q 右平移1个单位向下平移3个单位得到点()Q P ，
故01m +=且3364n m -=+或01m -=且3364n m +=+，
解得：1m =或1-，
故点Q 的坐标为21(1,)4
Q -或27(1,)4；②当MC 是对角线时，由中点公式得：43m --=且3
364n m =++，
解得：7m =-，故点Q 的坐标为3(7,)4
-；
综上，点Q 的坐标为：21(1,4-或27(1,)4或3(7,)4-．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等等，其中（4），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．。