【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八年级上学期数学期末压轴题综合训练试卷1(解析版)

【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八年级上学期数学
期末压轴题综合训练试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=（）
A．10∘B．15∘C．30∘D．25∘
【答案】B
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG=60°．
∵CG=CD，
∴∠CGD=∠CDG=30°．
∵∠CDG=∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E=30°．
∵DF=DE，
∴∠DFE=∠E=15°．
故答案为：B.
2．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥BC于点E，过E作EF⊥AC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（）
A．9B．8C．4D．3
【答案】C
【解析】设AD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F，FG⊥AB于点G，
∴∠BDF=∠DEB=∠EFC=90°，
∴AF=2x，
∴CF=12-2x，
∴CE=2CF=24-4x，
∴BE=12-CE=4x-12，
∴BD=2BE=8x-24，
∵AD+BD=AB，
∴8x-24+x=12，
∴x=4，
∴AD=4.
故答案为：C.
3．如图，已知点K为直线I：y=2x+4上一点，先将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至
点K 1，然后再将点K 1向上平移b 个单位，向右平1个单位至点K 2，若点K 2也恰好落在直线l 上，则a ，b 应满足的关系是（ )
A ．a+2b=4
B ．2a-b=4
C ．2a+b=4
D ．a+b=4 【答案】C
【解析】∵点K 为直线l ： y=2x+4上一点，设K(x ，2x+4)，将点K 向下平移2个单位，再向左平移a 个单位至点K 1 ， ∴K 1(x-a ，2x+2)，
将点K 向上平移b 个单位，向右平1个单位至点K 2 ， ∴K 2(x-a+ 1，2x+2+b)，
∵点K 2也恰好落在直线上， 2(x-a+ 1)+4= 2x+2+b ， 整理得：2a+b=4. 故答案为：C.
4．如图，直线 y =ax +b 与 x 轴交于点 A(4,0) ，与直线 y =mx 交于点 B(2,n) ，则关于 x 的不等式组 0<ax −b <mx 的解为（ ）
A ．−4<x <−2
B ．x <−2
C ．x >4
D ．2<x <4
【答案】A
【解析】∵{
y =ax +b
y =mx
∴ax +b =mx
解得 x =
b m−a
∵直线 y =ax +b 与直线 y =mx 交于点 B(2,n) ∴b m−a
=2 ∵{
y =ax −b
y =mx ∴ax −b =mx
解得 x =−b
m−a
=−2
∵直线 y =ax −b 与直线 y =mx 交点的横坐标为：-2 ∵直线 y =ax +b 与 x 轴交于点 A(4,0)
又∵当y=0时， x =−b
a
∴−b
a =4
∴b
a
=−4 ∵直线 y =ax −b 与 x 轴交于点 (b
a ，0)
∴直线 y =ax −b 与 x 轴交于点 (−4，0)
故可得图象
由图象可知， 0<ax −b <mx 的解集是 −4<x <−2 . 故答案为：A
5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点A ，B 的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x 轴下方有一点P ，使以O ，A ，P 为顶点的三角形与△OAB 全等，则满足条件的P 点的坐标是（ ） A ．（4，﹣2） B ．（﹣4，﹣2） C ．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D ．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） 【答案】C
【解析】点P 关于x 轴的对称点为点B ， 点P 1的坐标为（4，-2）， 在△OAB 和△OAP 1中， ∵{OB =OP 1
AB =AP 1OA =OA
，
∴△OAB 和△OAP 1（SSS ），
过点A 作AP ∥BO ，过点O 作OP ∥BA ，
则四边形PABO 为平行四边形， 所以OP=AB ，AP=OB ， 在△OAP 和△AOB 中， ∵{OP =AB AP =OB OA =AO
， △OAP ≌△AOB （SSS ），
∴0−x P =4−2，x P =−2 ， 0−y P =2−0，y P =−2 ， 点P （-2，-2），
∴满足条件的P 点的坐标（-2，-2）或（4，-2）. 故答案为：C.
6．如图， △ABC 顶角为120°， AB =AC ， EC =4 ，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE ，则 DE 的长为（ ）
A．1B．2C．√2D．√3【答案】A
【解析】∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴∠BAE=∠B=30°，ED⊥AB，
∴∠EAC=120°－30°=90°，
∵EC=4，
∴AE=1
2EC=2
，
在△ADE中，∵∠ADE=90°，∠DAE=30°，
∴DE=1
2AE=1
.
故答案为：A.
7．如图，已知长方形纸板的边长DE=10，EF=11，在纸板内部画Rt△ABC，并分别以三边为边长向外作正方形，当边HI、LM和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则△ABC的面积为（）
A．6B．112C．254D．3√5
【答案】A
【解析】延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，
设AC=b，BC=a，则AB=√a2+b2，
∵四边形ABJK是正方形，四边形ACML是正方形，四边形BCHI是正方形，
∴AB=BJ，∠ABJ=90°，
∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=∠JBP，
∵∠ACB=∠BPJ=90°，
∴△ABC≌△BJK（AAS），
同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，
∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a，
∵DE=10，EF=11，
∴2b+a=10，2a+b=11， ∴a+b=7，
∴a 2+b 2=49-2ab ，
∵长方形DEFG 的面积=十个小图形的面积和，
∴10×
11=3ab+12
ab×4+a 2+b 2+（√a 2+b 2）2， 整理得：5ab+2（a 2+b 2）=110，
把a 2+b 2=49-2ab ，代入得：5ab+2（49-2ab ）=110， ∴ab=12，
∴△ABC 的面积为12
ab=6.
故答案为：A.
8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG ⊥CE 于点G ，CD=AE.若BD=6，CD=5，则△DCG 的面积是（ ）
A ．10
B ．5
C ．103
D ．53
【答案】B
【解析】∵AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线， ∴△ABD 为直角三角形，E 为斜边AB 上的中点， ∴AE=BE=DE ， ∵CD=AE ，CD=5， ∴AB=2AE=10，
在Rt △ABD 中，由勾股定理可得： AD =√AB 2−BD 2 ， ∴AD=8，
作EF ⊥BC 于F 点，则EF 为△ABD 的中位线，
∴EF =1
2
AD =4 ，
又∵CD=ED ，DG ⊥CE 于点G ， ∴EG=CG ， S △DCG =12
S △EDC ，
∵S △EDC =12CD ·EF =12×5×4=10 ，
∴S △DCG =1
2
×10=5 ，
故答案为：B. 9．如图，在 △ABC 中， ∠ACB =90° ，以 △ABC 的各边为边分别作正方形 BAHI ，正方形 BCFG 与正方形 CADE .延长 BG ， FG 分别交 AD ， DE 于点K ，J ，连结 DH ， IJ .图中两块阴影部
分面积分别记为 S 1 ， S 2 ，若 S 1:S 2=1:4 ，四边形 S BAHE =18 ，则四边形 MBNJ 的面积为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．9 【答案】B
【解析】∵S 1:S 2=1:4 ∴GJ BC =12
∵四边形 BCFG 与四边形 CADE 是正方形 ∴BC =FC =FG =GB =2GJ
∴AC =AD =DE =CE =BC +GJ =3GJ ∵∠ACB =90°
∴AB =√AC 2+BC 2=√13GJ
∵AH =AB ， ∠ADH =180°−∠ADE =90° ∴HD =√AH 2−AD 2=2GJ
∵四边形 S BAHE =S △AHD +梯形 S ADEB =18
∴12AD ×HD +12(AD +BE)×DE =12×3GJ ×2GJ +12(3GJ +GJ)×3GJ =18 ∴GJ =√2
∴AF =AC −FC =3GJ −2GJ =GJ =BE
∵∠CAB +∠ABC =90° ， ∠ABC +∠EBM =180°−∠ABI =90° ∴∠CAB =∠EBM ，即 ∠FAN =∠EBM ∵四边形 BCFG 与四边形 CADE 是正方形
∴∠AFN =180°−∠CFN =90° ， ∠BEM =90° ∴{∠AFN =∠BEM =90°
AF =BE
∠FAN =∠EBM ∴△FAN ≌△EBM ∴S △FAN =S △EBM
∴S △ABC = 四边形 S CFNB +S △EBM
∵∠FCE =∠CEJ =∠EJF =∠JFC =90° ∴四边形 CFJE 是矩形
∴矩形 S CFJE = 四边形 S MBNJ + 四边形 S CFNB +S △EBM = 四边形 S MBNJ +S △ABC
∴四边形 S MBNJ = 矩形 S CFJE −S △ABC =JE ×CE −12AC ×BC =2GJ ×3GJ −12
×3GJ ×2GJ =6
故答案为：B.
10．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点坐标（6，0），B 点坐标（3，﹣3），动点P 从A 点出发，沿x 轴正方向运动，连接BP ，以BP 为直角边向下作等腰直角三角形BPC ，∠PBC ＝90°，连接OC ，当OC ＝10时，点P 的坐标为（ ）
A．（7，0）B．（8，0）C．（9，0）D．（10，0）
【答案】B
【解析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥OA于点D，延长DB交CE于点F，
∵B（3，﹣3），A（6，0），
∴OD＝DA＝BD＝3，
∵△PBC为等腰直角三角形，
∴PB＝BC，∠PBC＝90°，
∵∠PBD+∠CBF＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠PBD＝∠BCF，
∴△PDB≌△BFC（AAS），
∴DP＝BF，BD＝CF＝3，
∴CE＝EF+CF＝6，
∵OC＝10，
∴EO＝√OC2−CE2＝√102−62＝8，
∴DF＝8，
∴BF＝5，
∴DP＝5，
∴OP＝DP+OD＝8，
∴P（8，0）.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车.图中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（km）与时间（h）的函数关系的图象，则甲与乙的速度之差为，甲出发后经过小时追上乙.
【答案】1003
km/h ；
0.8
【解析】由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ， 甲的速度是：120÷（3-1）=60km/h ，
乙的速度是：80÷3=803
km/h ， ∴甲与乙的速度之差为60-803=1003
km/h ，
设甲出发后x 小时追上乙，
∴60x=80
3
（x+1），解得x=0.8，
故答案为：1003
km/h ，0.8.
12．如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，D 为BC 的中点，连接AD ，E 是AB 上的一点，P 是AD 上一点，连接EP 、BP ，AC =10，BC =12，则EP +BP 的最小值是 .
【答案】48
5
【解析】∵△ABC 是等腰三角形，AD 是BC 边的中线， ∴AD 垂直平分BC ，
∴点B 与点C 关于AD 对称， ∴BP =CP ，
过点C 作AB 的垂线，垂足就是点E ，CE 与AD 的交点即为点P ，（点到直线之间，垂距离最短）， 如图，此时，BP+EP 的值最小，且等于CE 的长，
∵D 为BC 的中点，BC=12，
∴CD=12
×12＝6， ∴AD=√AC 2−CD 2=8， ∵∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC=10，
∵S △ABC =12BC ⋅AD =1
2AB ⋅CE ，
∴CE=BC⋅AD AB =12×810=485
，
∴BP+EP 的最小值为48
5
，
故答案为：
485
.
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 上异于A ，B 的一点，AC≠BC.
（1）若D 为AB 中点，且 CD=2，则AB= .
（2）当CD= 1
2AB时，∠A=α ，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是.
【答案】（1）4
（2）0< α <90°
【解析】(1)∵△ABC为Rt△ABC，D为AB中点，
∴AB=2CD=4.
故答案为：4.
(2)∵CD=12AB ，AD=BD，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠CBD，
∴∠ACB=∠ACD+∠CBD=90°，
∴∠A为锐角，
即0< α <90°.
故答案为：0< α <90°.
14．如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB=.
【答案】80°
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，
在△BAP和△ACQ中，
{
AB=AC
∠BAP=∠ACQ
AP=CQ
，
∴△BAP≌△ACQ（SAS），
∴∠CAQ=∠ABP=20°，
∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.
故答案为：80°.
15．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN ＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标
为．
【答案】（2，0）或( √5，0)或（−√5，0）
【解析】如图，过点A作AC⊥OM，AD⊥ON，
令x=0，则y=3， 令y=0，则x=3， ∴M （0，3），N （3，0）， ∴OM=ON=3，
∴MN=3√2，∠M=45°， ∵AN ＝2AM ， ∴AM=√2， ∴AC=CM=1， ∴OC=2，
∴OA=√12+22=√5，
当点B 在x 轴正半轴时，OB=OA=√5，点B 1（√5，0）， 当点B 在x 轴负半轴时，OB=OA=√5，点B 2（-√5，0）， 当AB=OA 时，OD=√(√5)2−22=1，
∴OB=2OD=2， ∴点B 3（2，0），
∴点B 的坐标为（2，0）或（√5，0）或（-√5，0）. 16．如图，等腰△BAC 中，∠BAC ＝120°，BC ＝6，P 为射线BA 上的动点，M 为BC 上一动点，则PM+CP 的最小值为 ．
【答案】3√3
【解析】作点C 关于AB 的对称点D ，交BA 的延长线于点E ，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，交AB 于点P ，
则PM+CP=PM+DP=DM 的值最小， ∵AB=AC ，∠BAC ＝120°， ∴∠B=30°，
∴CE=12
BC=3，∠DCM=60°，
∴CD=2CE=6，∠D=30°， ∴CM=12
CD=3，
∴DM=√62−32=3√3， ∴PM+CP 的最小值为3√3. 故答案为：3√3.
三、解答题（本题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20、21题每题8分，第22、23、24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．目前，全国各地都在积极开展新冠肺炎疫苗接种工作，某生物公司接到批量生产疫苗任务，要求5天内加工完成22万支疫苗，该公司安排甲，乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工过程中停工一段时间维修设备，然后提高效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止，设甲，乙两车间各白生产疫苗y （万支）与甲车间加工时间x （天）之间的关系如图1所示；两车间未生产疫苗W （万支）与甲车间加工时间x （天）之间的关系如图2所示，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车间每天生产疫苗 万支，第一天甲、乙两车间共生产疫苗 万支，a ＝ ；
（2）当x ＝3时，求甲、乙车间生产的疫苗数（万支）之差y 1﹣y 2；
（3）若5.5万支疫苗恰好装满一辆货车，那么加工多长时间装满第一辆货车？再加工多长时间恰好装满第三辆货车？ 【答案】（1）2；3.5；1.5
（2）解：当 2≤x ≤5 时，设 y 2=kx +b ，过点 (2，1.5)，(5，12)
代入得： {2k +b =1.55k +b =12 ，解得： {
k =3.5b =−5.5
∴y 2=3.5x −5.5
y 1−y 2=2x −3.5x +5.5=−1.5x +5.5=1
（3）解：由图2得，当x=2时，生产的疫苗有22-16.5=5.5万只， 当2≤x≤5时，每天生产的疫苗有：16.5÷（5-2）=5.5万只， ∴加工2天装满第一辆货车，再加工1天恰好装满第三辆货车.
【解析】（1）由图1得，甲车间每天生产疫苗（22-12）÷5=2（万只），
由图2得，a=22-18.5-2×
1=1.5， ∴第一天甲、乙两车间共生产疫苗3.5万只， 故答案为：2；3.5；1.5；
18．12月，浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练.为配合演练顺利开展，某校需要购进A 、B 两款体温枪共100只.已知购进A 型体温枪花费1000元，B 型体温枪花费1500元，A 型体温枪的价格比B 型高50元，B 型体温枪的数量是A 型的两倍. （1）求每只A 型、B 型体温枪的价格；
（2）若购进B 型体温枪的数量不超过A 型体温枪的2倍，设购进A 型体温枪x 只，这100只体温枪的总费用为y 元.
①求y 关于x 的函数关系式； ②某校实际购买时，发现某店对A 型体温枪进行降价处理，比原价降低a 元出售（10<a <100，且a 为正整数），且限定一次性最多购买A 型体温枪50只，当a 满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小. 【答案】（1）解：设每只A 型温枪的价格为m 元，则每只B 型温枪的价格为（m-50）元， 依题意得：2×1000m =1500m−50
，
解得：m=200，
经检验，m=200是原方程的解，且符合题意， ∴m-50=150，
答：每只A 型温枪的价格为200元，则每只B 型温枪的价格为150元； （2）解：①设购进A 型体温枪x 只，则购进B 型体温枪（100-x ）只， 依题意得：y=200x+150（100-x ）=50x+15000，
∵购进B 型体温枪的数量不超过A 型体温枪的2倍， ∴100-x ≤2x ，且100-x >0， ∴1003
≤x <100，
∴y 关于x 的函数关系式为y=50x+15000（1003
≤x <100）；
②依题意得：y=（200-a ）x+150（100-x ）=（50-a ）x+15000（1003
≤x ≤50），
当10<a <50时，即50-a>0，y 随x 的增加而增加，
∴当x=34时，y 有最小值，最小值为y=（50-a ）×
34+15000=16700-34a ； ∴当正整数a=49时，最小值为y=16700-34×
49=15304； 当a=50时，y 的值为15000；
当50<a <100时，即50-a<0，y 随x 的增加而减少，
∴当x=50时，y 有最小值，最小值为y=（50-a ）×
50+15000=17500-50a ； ∵-50<0，
∴当正整数a=99，最小值为y=17500-50×
99=12550； ∵12500<15000<15304，
∴当正整数a=99时，该校购进这100只体温枪总费用最小.
19．某校八年级举行英语演讲比赛，购买A ，B 两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．
（1）设买A 笔记本n 本，买两种笔记本的总费为w 元，写出w （元）关于n （本）的函数关系式；
（2）若所购买A 笔记本的数量要不多于B 笔记本数量的 45 ，但又不少于B 笔记本数量的 1
5
，
购买这两种笔记本各多少时，费用最少？最少的费用是多少元？
（3）若学校根据实际除了A ，B 两种笔记本外，还需一种单价为10元的C 笔记本，若购买的总本数不变，C 笔记本的数量是B 笔记本的数量的2倍，A 笔记本的数量不少于B 笔记本的数量，试设计一种符合上述条件购买方案，且使所需费用最少． 【答案】（1）解：由题意可知：w ＝12n+8（30﹣n ）， ∴w ＝4n+240
（2）解：∵A 笔记本的数量要不多于B 笔记本数量的 45 ，但又不少于B 笔记本数量的 1
5
．
∴{
n ≤4
5(30−n)
n ≥15(30−n) ，解得5≤n≤ 403 ， ∵n 是整数，
∴5≤n≤13（n 是整数）． ∵w ＝4n+240中k ＝4＞0， ∴w 随n 的增大而增大，
∴当n ＝5时，w 取到最小值为260元．
（3）解：设B 笔记本数量为x ，则C 笔记本数量为2x ，A 笔记本数量为（30﹣3x ） ∴w ＝12（30﹣3x ）+8 x +20 x =360﹣8 x ，∴w 随x 的增大而减少 ∵A 笔记本的数量不少于B 笔记本的数量.
∴x≤30﹣3x ，∴x≤7.5，∵x 为整数，故当x=7时，w 最小为304元， 即A 笔记本9本，B 笔记本7本，C 笔记本14本时花费最少．
20．
（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC= 180°，求证：BC=CD；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC= FC
，再证明CB=CF，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.
（2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB，AC上的点，AD平分∠FDE，且∠FDE=120°.
求证：BE=CF.
【答案】（1）证明：琮琮同学：如图①a，在AB上取点F，使AF=AD，连接CF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠FAC，
在△ADC和△AFC中，
{
AD=AF
∠DAC=∠FAC
AC=AC
，
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴DC=FC，∠CDA=∠CFA，
又∵∠B+∠ADC=180°，∠CFE+∠AFC=180°，
∴∠B=∠CFE，
∴CB=CF，
又∵DC=FC，
∴CB=DC.
宸宸同学：如图①b，过点CG⊥AD交AD的延长线于G.
∵AC平分∠DAB，CG⊥AG，CE⊥AB，
∴CG=CE，
∵∠B+∠ADC=180°，∠CDG+∠ADC=180°，
∴∠CDG=∠B ，
在△CGD 和△CEB 中， {∠G =∠CEB ∠CGD =∠B CG =CE
， ∴△CGD ≌△CEB （AAS ）， ∴CB=CD ；
（2）证明：如图②，在DE 上截取DH=DF ，连接AH ，
∵AD 平分∠EDF ， ∴∠EDA=∠HDA ， 在△ADF 和△ADH 中，
{AD =AD
∠ADF =∠ADH DF =DH
，
∴△ADF ≌△ADH （SAS ）， ∴AH=AF ，∠AFD=∠AHD ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠BAC+∠EDF=180°， ∴∠AED+∠AFD=180°， 又∵∠AHD+∠AHE=180°， ∴∠AHE=∠AEH ， ∴AE=AH ， ∴AE=AF ，
∴AB-AE=AC-AF ， ∴BE=CF.
21．如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，6）．
（1）如图1，过A ，B 两点作直线AB ，求直线AB 的解析式； （2）如图2，点C 在x 轴负半轴上，C （﹣6，0），点P 为直线BC 上一点，若S △ABC ＝2S △ABP ，求满足条件的点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E 在直线BC 上，点F 在y 轴上，当△AEF 为一个等腰直角三角形时，请你直接写出E 点坐标．
【答案】（1）解：设直线AB 的解析式为y=kx+b ，
把点A （2，0），B （0，6）代入y=kx+b ，得{2k +b =0b =6
，
解得{k =−3b =6
，
∴直线AB 的解析式为y=-3x+6； （2）解： l BC ：y=x+6 ①当点P 在线段BC 上时， ∵S △ABC =2S △ABP ∴S △ABC =2S △ACP
∴y P ：y B =1：2
∵y B =6 ∴y P =3
∴P( − 3，3)
②当点P 在线段CB 延长线上时，
同理： S △ABC =23
S △ACP ， 则 y P ：y B =3：2
∴y P =9
∴P(3，9) （3）解：（-3，3）或（-4，2）或（-8，-2） 【解析】（3）设点E 的坐标为（m ，m+6）， 如图，当∠AFE=90°，AE=AF 时，
则△EFN ≌△AFO ， ∴FN=OA=2，EN=OF ， ∴-m=2+m+6， ∴m=-4， ∴m+6=2， ∴E （-4，2），
如图，当∠AEF=90°，AE=EF 时，
则△EFN ≌△AFO ， ∴EN=EM ， ∴-m=m+6， ∴m=-3， ∴m+6=3， ∴E （-3，3），
如图，当∠EAF=90°，AE=AF 时
则△EMA≌△AOF，
∴EM=OA，
∴-m-6=2，
∴m=-8，
∴m+6=-2，
∴E（-8，-2），
∴点E的坐标为（-4，2）或（-3，3）或（-8，-2）.
22．如图
（1）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC ＝180°，求证：BC＝CD；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.
（2）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、AC上的点，AD平分∠FDE，且∠FDE=120°.求证：BE=CF.
【答案】（1）解：在AB上取点F，使AF＝AD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠FAC，
∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC（公共边）
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴DC＝FC，
∠CDA＝∠CFA，
又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CFE+∠AFC＝180°，
∴∠B＝∠CFE，
∴CB ＝CF ， 又∵DC ＝FC ， ∴BC ＝CD ．
（2）证明：如图（2），在DE 上取点G ，使得DG=DF ，
∵AD 平分∠FDE ， 且∠FDE=120°
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD ∴△ADG ≌△ADF(SAS) ∴AG=AF ，∠AGD=∠AFD
∵∠AGD+∠ADG+∠GAD=∠AFD+∠ADF+∠DAF=180°
∴∠AFD+∠AED=180°而∠AGD+∠AGE=180°
∴∠AED =∠AGE ∴AG=AE =AF ， ∴AB －AE =AC －AF ∴BE=CF 23．如图，长方形ABCD ，点E 是AD 上的一点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△OBE ，且点O 在长方形ABCD 内部.已知AB =4，BC =4√2.
（1）如图1，若∠ABE =30°，求四边形ABOE 的面积.
（2）如图2，延长BO 交DC 于F ，连结EF ，将△DEF 沿EF 折叠，当点D 的对称点恰好为点O 时，求四边形ABFE 的面积.
（3）如图3，在（2）的条件下，延长EO 交BC 于点G ，连结FG ，将△CGF 沿GF 折叠，当点C 的对称点恰好为点O 时，求四边形BEFG 的面积. 【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是长方形，AB=4，BC =4√2 ∴∠A =∠D =∠C =90°，CD =AB =4，AD =BC =4√2 ∵将△ABE 沿BE 折叠后得到△OBE ∴△OBE ≌△ABE
在Rt △ABE 中，∠ABE =30°
∴AE= 1
2
BE
∴AB =√BE 2−AE 2=√3AE
∴AE =4×√33=4√
33
∴S △ABE =12AB ·AE =12
×4×4√33
=
8√33
∴四边形ABOE 的面积=S △ABE +S △OBE =2S △ABE =2×
8√33
=
16√33
；
（2）解：由（1）知△OBE ≌△ABE ，
∴OE = AE ， OB = AB = 4，
又∵将△DEF 沿EF 折叠，点D 的对称点恰好点O ， ∴△OEF ≌△DEF ， ∴OE = DE ，OF = DF ，
∴OE= AE= DE=12
AD=2√2，
设OF=DF=x ，则FC=DC-DF=4-x ，BF =BO ＋OF =4＋x ， 在Rt △BCF 中，根据勾股定理得BF 2=BC 2＋FC 2， ∴(4+x)2=(4√2)2+(4−x)2 解得x ＝2.
∴S 四边形ABFE =SRt △ABE +S △BEF = 12× AB×AE+ 12×OE× BF =12×4×2√2+12×2√2×（4+2） =4√2+6√2 =10√2.
∴四边形ABFE 的面积是10√2；
（3）解：由（2）知，△OEF ≌△DEF ∴OF = DF
∵将△CGF 沿GF 折叠，点C 的对称点恰好为点O ， ∴△CGF ≌△OGF
∴OF = FC ， ∠FOG = 90°，
∴DF = FC=12DC=12
AB=2，∠BOG =180°-90°= 90°，
设OG =a ，则CG =a
∵OB= 4，CB=4√2，CF =2，
在Rt △BOG 中，OG 2+BO 2=BG 2
a 2+42=(4√2−a)2
解得a =√2 即OG ＝√2
∴S 四边形BEFG ＝S △BEF ＋S △BFG =12×OE×BF+12×OG×BF =12×2√2×（4+2）+ 12×√2×（4+2） =9√2
∴四边形BEFG 的面积是9√2
24．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4.点D 是BC 的中点，点F 是直线AB 上一动点，连结DF .
（1）求线段BC 的长；
（2）当点E 在射线BC 上，且CE =2BC 时，连结FE ，若AF =3AB ，试判断△DEF 是否为等腰三角形，并说明理由；
（3）直线AB 上是否存在点F （F 不与AB 重合），使△ACF 的其中两边之比为1：√2？若存在，求出BF 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）解：∵△ABC 为等腰直角三角形，且AB=AC ，面积为4，
∴12
AB×AC=4， ∴AB=AC=2√2，
∴BC=√AB 2+AC 2=4， ∴线段BC 的长为4；
（2）解：△DEF 是等腰三角形，理由如下： 过点F 作FH ⊥BE 于点H ，
∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2√2，BC=4，∴∠ABC=∠BCA=45°，
∴△BHF为等腰直角三角形，且BH=FH，
∵AF=3AB=6√2，
∴BF=8√2，
∵BH2+FH2=BF2，即2BH2=（8√2）2，
∴BH=FH=8，
∵点D是BC的中点，
∴BD=DC=2，则DH=BH-BD=6，
∵DH2+FH2=DF2，即62+82=DF2，
∴DF=10，
∵CE=2BC=8，
∴DE=DC+CE=10，
∴DE= DF=10，
∴△DEF是等腰三角形；
（3）解：存在，理由如下：
∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2√2，BC=4，∴∠BAC=∠FAC=90°，
①当AC：CF=1：√2时，
∵AB=AC=2√2，
∴CF=4，AF=√CF2−AC2=2√2，
∴BF=AB+ AF=4√2；
②当AC：AF=1：√2时，
∵AB=AC=2√2，
∴AF=4，
∴BF=4+2√2或4-2√2；
③当AF：AC=1：√2时，
∵AB=AC=2√2，
∴AF=2，
∴BF=2+2√2或2√2-2；
综上，存在点F，使△ACF的其中两边之比为1：√2，BF的长为4√2或4+2√2或4-2√2或2+2√2或2√2-2.。