第一篇2-X射线衍射的几何原理
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o 数倍时，相邻原子面散射波干涉加强，因此，产生 θ θ 衍射的条件是： d
2d(hkl)·sinθ =n λ
dsinθ P Dept. of MSE, CQU
θ
R
Q
θ
d
17
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
λ
θ θ
o
θ θ
d d
Q P dsinθ λ/2
R
Dept. of MSE, CQU
⎡⎛ h ⎞ 2 ⎛ k ⎞ 2 ⎛ l ⎞ 2 ⎤ 2 d hkl ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ⎢⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
若晶体的三个基本矢量相互垂直，则有关系：
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
2 2 2 2
六方晶系
Dept. of MSE, CQU
10
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
2.2 布拉格定律
布拉格定律是X射线在晶体中产生衍射所必须满足 的基本条件，它反映了衍射方向与晶体结构之间的关 系。它是英国物理学家布拉格父子于1912年首先推导 出来的。
Dept. of MSE, CQU
X射线衍射的几何原理
Intensity (%)
(c) 体心四方 a=b=0.286nm,c=0.320nm
1,0,3 2,2,0 100 105 110
3,0,1,1,0 3 115
2 θ (ϒ©) 120
35 Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35
Dept. of MSE, CQU 9
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
正交晶系
d hkl =
1 ⎛h⎞ ⎛k ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠
2 2 2
立方晶系
d hkl =
d hkl =
a h2 + k 2 + l 2
1 4 ⎛ h + hk + k ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2 3⎝ a ⎠ ⎝c⎠
Dept. of MSE, CQU 6
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
布喇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点阵
Dept. of MSE, CQU
7
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
Dept. of MSE, CQU
8
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
晶面间距
晶面间距公式的推导：
d hkl = a b c cos α = cos β = cos γ h k l
2dhklsinθ = λ
式中hkl为衍射指标。
Dept. of MSE, CQU
26
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
衍射花样和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线 的方向是晶面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格 方程，可得： 立方晶系：
Sin θ =
θ θ
o
θ θ
d d
R dsinθ P
Q
布拉格定律的推导(多层原子面的反射)
Dept. of MSE, CQU
16
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
由O、P两原子产生的散射线的光程差为：
δ= RP + QP ; RP = QP =d sinθ δ= 2d sinθ
根据相干波的干涉原理，当光程差等于波长的整
0,1,1 1,0,1 1,1,0
(d) 体心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm
Dept. of MSE, CQU 14
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
X射线的衍射方向遵守光学镜面反射定律。
散射线、入射线与反射面的法线共面且在法线两侧，散 射线与反射面的夹角等于入射线与反射面的夹角。
θ
θ
Dept. of MSE, CQU
15
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶 胞大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的 品种和位置。
Dept. of MSE, CQU
28
材料X射线衍射与电子显微学
Intensity (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 2,0,0 (65.03,14.9) 2,1,1 (82.35,28.1) 1,1,0 (44.68,100.0)
P
Q
θ
A B a
β
布拉格定律的推导(一个原子面的反射)
Dept. of MSE, CQU 13
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
根据光的干涉原理，当光程差等于波长的整数 倍（nλ）时，在β角散射方向干涉加强。假定原子 面上所有原子的散射线同位相，即光程差δ=0，从 上式可得θ=β。 当入射角与散射角相等时，一层原子面上所有散 射波干涉将会加强。与可见光的反射定律类似，X 射线从一层原子面呈镜面反射的方向，就是散射线 干涉加强的方向。因此，常将这种散射称为镜面反 射。
Dept. of MSE, CQU 2
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
本章主要内容
2.1 晶体几何学简介； 2.2 布拉格定律； 2.3 倒易点阵； 2.4 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解
Dept. of MSE, CQU
3
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
2.1 晶体几何学简介
Dept. of MSE, CQU 19
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
（二）布拉格方程的讨论
• • • • 选择反射 产生衍射的极限条件 干涉面和干涉指数 衍射花样和晶体结构的关系
Dept. of MSE, CQU
20
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波 之间的干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子 面对入射线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几 何。 但是X射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同。一 束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，而原 子面对X射线的反射并不是任意的，只有当θ、λ、d三者之 间满足布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这种反射 称为选择反射。
晶面和晶向指数
Dept. of MSE, CQU
4
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
晶面指数确定方法： A、量出待定晶面在三个晶轴的截距，并用点阵周期a, b, c度量它们。 B、取三个截距系数的倒数 C、把它约简化为最简的整数h, k, l, 并用小括号括起来，就构成该晶面 的晶面指数（h k l）。
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
第二章 X射线衍射的几何原理
Dept. of MSE, CQU
1
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
本章导言
衍射的本质是晶体中各原子相干散射波叠加（合成）的结 果。 衍射波的两个基本特征——衍射线（束）在空间分布的方 位（衍射方向）和强度，与晶体内原子分布规律（晶体结 构）密切相关。利用X射线衍射可揭示物质的晶体结构。 X射线在晶体上衍射是这样一个过程： X射线照到晶体上，晶体作为光栅产生衍射花样，衍射 花样反映了光学显微镜所看不到的晶体结构的特征。 我们的目的就是利用衍射花样来推断晶体中质点的排 列规律。
dHKL=d(nh nk nl) = d(hkl)/n
Dept. of MSE, CQU
23
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
将布拉格方程中的n隐含在d中，可得到简化的布拉格方程：
d hkl 2 sinθ = λ n
令 d HKL
d hkl = sinθ , 有 n
2d HKLsinθ = λ
(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系
Dept. of MSE, CQU 29
材料X射线衍射与电子显微学
1,0,1 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0,0,2 2,0,0 1,1,2 2,0,2 2,1,1 1,1,0
11
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
• 布拉格方程的导出 • 布拉格方程的讨论
Dept. of MSE, CQU
12
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
（一）布拉格方程的导出
当X射线以θ角入射到原子面并以β角散射时，相距 为a的两原子散射X射线的光程差为：
δ = a（cosθ - cosβ）
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
干涉面和干涉指数
在实际工作中，为了方便，一般将晶面(hkl)的n级衍射 作为假想的晶面(nh nk nl)的一级衍射来考虑。 由于带有公因子n的平面(nh nk nl)是一组和(hkl)平行的 平面，且其面间距d(nh nk nl)和相邻两个晶面的间距d(hkl)的具有 以下关系：
X射线衍射的几何原理
(a) 体心立方 α−Fe a=b=c=0.2866 nm
3,1,0 2,2,0 (98.96,9.3) 2 θ (ϒ©) 100 105 110 115 120 (116.40,16.6)
Intensity (%) 1,1,0 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 2,0,0 2,2,0 3,1,0 2,2,2 2 θ (ϒ©) 120 2,1,1
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
晶向指数确定方法： A、过坐标原点找一条平行于待定晶向的行列。 B、在该行列中任选一个结点，量出它在三个坐标轴上的 坐标值（用a, b, c度量） C、将它们化为简单的整数u, v, w，并用方括号括起来， 便构成晶向指数[uvw]。
18
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
式中d(hkl)为晶面间距，θ 为入射线、反射线与反射 晶面之间的交角，称掠射角或布拉格角，而2θ 为入 射线与反射线（衍射线）之间的夹角，称衍射角，n 为整数，称反射级数，λ为入射线波长。这个公式把 衍射方向、平面点阵族的间距d(hkl) 和X射线的波长λ 联系起来了。 布拉格定律巧妙地将便于测量的宏观量θ 与微观 量d、λ 联系起来。通过θ的测定，在λ 已知的情况 下可以求得d，反之亦然。因此，布拉格定律是X射 线衍射分析中非常重要的定律。
2
2
λ
λ
2
4a 2
2
( H 2 + K 2 + L2）
2 2 2
正方晶系：
H +K L Sin θ = ( + 2） 2 4 a c
斜方晶系：
K 2 L2 Sin 2θ = ( 2 + 2 + 2 ） 4 a b c
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λ2 H 2
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
Dept. of MSE, CQU
21
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
产生衍射的极限条件
因为sin θ不能大于1，根据布拉格方程可得：
nλ = sinθ ≤ 1 ，即nλ ≤ 2d 2d
对衍射而言，n的最小值为1，所以在任何可观测 的衍射角下，产生衍射的条件为λ≤2d，这也就是 说，能够被晶体衍射的电磁波的波长必须不大于参加 反射的晶面中最大面间距的二倍，否则不能产生衍射 现象。
把(hkl)晶面的n级反射看成为与(hkl)晶面平行、面间距 为dHKL的(nh nk nl)晶面的一级反射。面间距为dHKL的晶面并 不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引 入的反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干涉面的 面指数称为干涉指数。
Dept. of MSE, CQU 24
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
Dept. of MSE, CQU
25
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
平面族指标(nh nk nl)改用衍射指标 HKL，衍射指标HKL不 加括号，晶面指标(hkl)带有括号；衍射指标不要求互质，可 以有公因子，晶面指标要互质，不能有公因子；在数值上衍 射指标为晶面指标的n倍。例如晶面(110)由于它和入射X射线 的取向不同，可以产生衍射指标为110、220、330、……等 衍射。 在X射线晶体学中，现在通用的布拉格定律的表达式为：
2d(hkl)·sinθ =n λ
dsinθ P Dept. of MSE, CQU
θ
R
Q
θ
d
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
λ
θ θ
o
θ θ
d d
Q P dsinθ λ/2
R
Dept. of MSE, CQU
⎡⎛ h ⎞ 2 ⎛ k ⎞ 2 ⎛ l ⎞ 2 ⎤ 2 d hkl ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ⎢⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
若晶体的三个基本矢量相互垂直，则有关系：
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
2 2 2 2
六方晶系
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10
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
2.2 布拉格定律
布拉格定律是X射线在晶体中产生衍射所必须满足 的基本条件，它反映了衍射方向与晶体结构之间的关 系。它是英国物理学家布拉格父子于1912年首先推导 出来的。
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X射线衍射的几何原理
Intensity (%)
(c) 体心四方 a=b=0.286nm,c=0.320nm
1,0,3 2,2,0 100 105 110
3,0,1,1,0 3 115
2 θ (ϒ©) 120
35 Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
正交晶系
d hkl =
1 ⎛h⎞ ⎛k ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠
2 2 2
立方晶系
d hkl =
d hkl =
a h2 + k 2 + l 2
1 4 ⎛ h + hk + k ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2 3⎝ a ⎠ ⎝c⎠
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X射线衍射的几何原理
布喇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点阵
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
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8
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
晶面间距
晶面间距公式的推导：
d hkl = a b c cos α = cos β = cos γ h k l
2dhklsinθ = λ
式中hkl为衍射指标。
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26
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
衍射花样和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线 的方向是晶面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格 方程，可得： 立方晶系：
Sin θ =
θ θ
o
θ θ
d d
R dsinθ P
Q
布拉格定律的推导(多层原子面的反射)
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16
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
由O、P两原子产生的散射线的光程差为：
δ= RP + QP ; RP = QP =d sinθ δ= 2d sinθ
根据相干波的干涉原理，当光程差等于波长的整
0,1,1 1,0,1 1,1,0
(d) 体心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
X射线的衍射方向遵守光学镜面反射定律。
散射线、入射线与反射面的法线共面且在法线两侧，散 射线与反射面的夹角等于入射线与反射面的夹角。
θ
θ
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15
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶 胞大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的 品种和位置。
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材料X射线衍射与电子显微学
Intensity (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 2,0,0 (65.03,14.9) 2,1,1 (82.35,28.1) 1,1,0 (44.68,100.0)
P
Q
θ
A B a
β
布拉格定律的推导(一个原子面的反射)
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
根据光的干涉原理，当光程差等于波长的整数 倍（nλ）时，在β角散射方向干涉加强。假定原子 面上所有原子的散射线同位相，即光程差δ=0，从 上式可得θ=β。 当入射角与散射角相等时，一层原子面上所有散 射波干涉将会加强。与可见光的反射定律类似，X 射线从一层原子面呈镜面反射的方向，就是散射线 干涉加强的方向。因此，常将这种散射称为镜面反 射。
Dept. of MSE, CQU 2
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
本章主要内容
2.1 晶体几何学简介； 2.2 布拉格定律； 2.3 倒易点阵； 2.4 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解
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3
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
2.1 晶体几何学简介
Dept. of MSE, CQU 19
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
（二）布拉格方程的讨论
• • • • 选择反射 产生衍射的极限条件 干涉面和干涉指数 衍射花样和晶体结构的关系
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波 之间的干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子 面对入射线的反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几 何。 但是X射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同。一 束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，而原 子面对X射线的反射并不是任意的，只有当θ、λ、d三者之 间满足布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这种反射 称为选择反射。
晶面和晶向指数
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4
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X射线衍射的几何原理
晶面指数确定方法： A、量出待定晶面在三个晶轴的截距，并用点阵周期a, b, c度量它们。 B、取三个截距系数的倒数 C、把它约简化为最简的整数h, k, l, 并用小括号括起来，就构成该晶面 的晶面指数（h k l）。
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
第二章 X射线衍射的几何原理
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1
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
本章导言
衍射的本质是晶体中各原子相干散射波叠加（合成）的结 果。 衍射波的两个基本特征——衍射线（束）在空间分布的方 位（衍射方向）和强度，与晶体内原子分布规律（晶体结 构）密切相关。利用X射线衍射可揭示物质的晶体结构。 X射线在晶体上衍射是这样一个过程： X射线照到晶体上，晶体作为光栅产生衍射花样，衍射 花样反映了光学显微镜所看不到的晶体结构的特征。 我们的目的就是利用衍射花样来推断晶体中质点的排 列规律。
dHKL=d(nh nk nl) = d(hkl)/n
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
将布拉格方程中的n隐含在d中，可得到简化的布拉格方程：
d hkl 2 sinθ = λ n
令 d HKL
d hkl = sinθ , 有 n
2d HKLsinθ = λ
(b) 体心立方 W a=b=c=0.3165 nm
X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系
Dept. of MSE, CQU 29
材料X射线衍射与电子显微学
1,0,1 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0,0,2 2,0,0 1,1,2 2,0,2 2,1,1 1,1,0
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
• 布拉格方程的导出 • 布拉格方程的讨论
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
（一）布拉格方程的导出
当X射线以θ角入射到原子面并以β角散射时，相距 为a的两原子散射X射线的光程差为：
δ = a（cosθ - cosβ）
Dept. of MSE, CQU 22
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
干涉面和干涉指数
在实际工作中，为了方便，一般将晶面(hkl)的n级衍射 作为假想的晶面(nh nk nl)的一级衍射来考虑。 由于带有公因子n的平面(nh nk nl)是一组和(hkl)平行的 平面，且其面间距d(nh nk nl)和相邻两个晶面的间距d(hkl)的具有 以下关系：
X射线衍射的几何原理
(a) 体心立方 α−Fe a=b=c=0.2866 nm
3,1,0 2,2,0 (98.96,9.3) 2 θ (ϒ©) 100 105 110 115 120 (116.40,16.6)
Intensity (%) 1,1,0 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 2,0,0 2,2,0 3,1,0 2,2,2 2 θ (ϒ©) 120 2,1,1
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X射线衍射的几何原理
晶向指数确定方法： A、过坐标原点找一条平行于待定晶向的行列。 B、在该行列中任选一个结点，量出它在三个坐标轴上的 坐标值（用a, b, c度量） C、将它们化为简单的整数u, v, w，并用方括号括起来， 便构成晶向指数[uvw]。
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
式中d(hkl)为晶面间距，θ 为入射线、反射线与反射 晶面之间的交角，称掠射角或布拉格角，而2θ 为入 射线与反射线（衍射线）之间的夹角，称衍射角，n 为整数，称反射级数，λ为入射线波长。这个公式把 衍射方向、平面点阵族的间距d(hkl) 和X射线的波长λ 联系起来了。 布拉格定律巧妙地将便于测量的宏观量θ 与微观 量d、λ 联系起来。通过θ的测定，在λ 已知的情况 下可以求得d，反之亦然。因此，布拉格定律是X射 线衍射分析中非常重要的定律。
2
2
λ
λ
2
4a 2
2
( H 2 + K 2 + L2）
2 2 2
正方晶系：
H +K L Sin θ = ( + 2） 2 4 a c
斜方晶系：
K 2 L2 Sin 2θ = ( 2 + 2 + 2 ） 4 a b c
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λ2 H 2
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
产生衍射的极限条件
因为sin θ不能大于1，根据布拉格方程可得：
nλ = sinθ ≤ 1 ，即nλ ≤ 2d 2d
对衍射而言，n的最小值为1，所以在任何可观测 的衍射角下，产生衍射的条件为λ≤2d，这也就是 说，能够被晶体衍射的电磁波的波长必须不大于参加 反射的晶面中最大面间距的二倍，否则不能产生衍射 现象。
把(hkl)晶面的n级反射看成为与(hkl)晶面平行、面间距 为dHKL的(nh nk nl)晶面的一级反射。面间距为dHKL的晶面并 不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引 入的反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干涉面的 面指数称为干涉指数。
Dept. of MSE, CQU 24
材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
Dept. of MSE, CQU
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材料X射线衍射与电子显微学
X射线衍射的几何原理
平面族指标(nh nk nl)改用衍射指标 HKL，衍射指标HKL不 加括号，晶面指标(hkl)带有括号；衍射指标不要求互质，可 以有公因子，晶面指标要互质，不能有公因子；在数值上衍 射指标为晶面指标的n倍。例如晶面(110)由于它和入射X射线 的取向不同，可以产生衍射指标为110、220、330、……等 衍射。 在X射线晶体学中，现在通用的布拉格定律的表达式为：