高考数学一轮复习 6.5 合情推理与演绎推理限时集训 理

限时集训(三十六) 合情推理与演绎推理
(限时：50分钟 满分：106分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)
1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2
＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2
＋1)是奇函数，以上推理( )
A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确
2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x 2≥3，
由此可以推广为x ＋p
x
n ≥n ＋1，取值p 等于( )
A ．n n
B ．n 2
C ．n
D ．n ＋1
3．(2013·杭州模拟)观察(x 2
)′＝2x ，(x 4
)′＝4x 3
，(cos x )′＝－ sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－
x )＝( )
A ．f (x )
B ．－f (x )
C ．g (x )
D ．－g (x )
4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a
b ”类比得到“
a·c b·c ＝a
b
”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝
f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N *，则f 2 013(x )＝( )
A ．sin x ＋cos x
B ．sin x －cos x
C ．－sin x ＋cos x
D ．－sin x －cos x
6．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )
A ．76
B ．80
C ．86
D ．92
7．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝
2S
a ＋
b ＋c
；
类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为
R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )
A.V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
B.
2V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
C.
3V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
D.
4V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )
A ．(7,5)
B ．(5,7)
C ．(2,10)
D ．(10,1)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 9．(2012·陕西高考)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …
照此规律，第五个不等式为________．
10．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB uuu r |·OA u u u r ＋|OA u u u r |·OB uuu r
＝0.
将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA u u u r ＋S △OCA ·OB uuu r
＋S △OBA ·OC u u u r
＝0.
将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．
11．考察下列一组等式：21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝16
3；…，
根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为________．
12．观察下列等式： (1＋x ＋x 2)1
＝1＋x ＋x 2
，
(1＋x ＋x 2)2
＝1＋2x ＋3x 2
＋2x 3
＋x 4
，
(1＋x ＋x 2)3
＝1＋3x ＋6x 2
＋7x 3
＋6x 4
＋3x 5
＋x 6
，
(1＋x ＋x 2)4
＝1＋4x ＋10x 2
＋16x 3
＋19x 4
＋16x 5
＋10x 6
＋4x 7
＋x 8
， …
由以上等式推测：对于n ∈N *
，若(1＋x ＋x 2)n
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 2n x 2n
，则a 2＝________.
13．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n ＋1(n ∈N *
)位回文数有________个．
14．如图，矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′夹在两条平行线l 1、l 2之间，且A ′B ′＝mAB ，则容易得到矩形ABCD 的面积S 1与矩形A ′B ′C ′D ′的面积S 2满足：S 2＝mS 1.由此类比，如图，夹在两条平行线l 1、l 2之间的两个平行封闭图形T 1、T 2，如果任意作一条与l 1平行的直线l ，l 分别与两个图形T 1、T 2的边界交于M 、N 、M ′、N ′，且M ′N ′＝mMN ，则T 1、T 2的
面积S 1、S 2满足________．椭圆y 2a 2＋x 2b
2＝1(a >b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2
是夹在直线y ＝a 和y ＝－a
之间的封闭图形，类比上面的结论，由圆的面积可得椭圆的面积为________．
三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．给出下面的数表序列：
表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 …
4 4 8 12
其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．
16．(2013·包头模拟)已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是
与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．
17．观察：①sin 210°＋cos 2
40°＋sin 10°cos 40°＝34；
②sin 26°＋cos 2
36°＋sin 6°cos 36°＝34
.
由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
答 案 [限时集训(三十六)]
1．C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.B 7.C 8.B 9．1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
10.V O －BCD ·OA u u u r ＋V O －ACD ·OB uuu r ＋V O －ABD ·OC u u u r ＋V O －ABC ·OD u u u r ＝0 11.n ＋1n
＋(n ＋1)＝
n ＋1
n
×(n ＋1)(n ∈N *
) 12.
n n ＋1
2
13．解析：从左右对称入手考虑．
(1)4位回文数第1、4位取1,2,3,4,5,6,7,8,9之一有C 1
9＝9种选法．第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90个，即4位回文数有90个．
(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n ＋1(n ∈N *
)位回文数有9×10n
个．
答案：90 9×10n
14．解析：如图，任取一条与x 轴平行的直线，设该直线与x 轴相距
h ，则这条直线被椭圆截得的弦长
l 1＝2b a 2
－h 2
a
，
被圆截得的弦长l 2＝2a 2－h 2
， 则l 1l 2＝b a ，即
S 椭圆S 圆＝b a
. 故S 椭圆＝b a
·πa 2
＝πab . 答案：S 2＝mS 1 πab 15．解：表4为
1 3 5 7 4 8 1
2 12 20 32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．
16．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是
双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点
P 的位置无关的定值．
证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，
所以n 2
＝b 2a
2m 2－b 2
.
同理：y 2
＝b 2a
2x 2－b 2
.
则k PM ·k PN ＝
y －n x －m ·y ＋n
x ＋m
＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2
(定值)． 17．解：猜想sin 2α＋cos 2
(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝34.
证明：左边＝sin 2
α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]＝ sin 2
α＋⎝
⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32cos α＋12sin α
＝sin 2
α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．
所以，猜想是正确的．。