数学---全国卷Ⅰ2017届高考压轴卷(理)

全国卷Ⅰ2017届高考压轴卷理科数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若集合2{|0},{|(0,1)},x M x x x N y y a a a R =-<==>≠表示实数集，则下列选项错误的是（ ） A ．M N M = B ．M N R = C ．R M C N =∅
D ．R C M N R =
2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则
1
2
z z =（ ） A ．
1251313i + B ．1251313i -+ C ．1251313i -- D ．1251313
i - 3.将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率P （A |B ）是（ ） A.
B.
C.
D.
4.曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面区域的面积为( )
A ．⎠
⎜⎛0
π2 (sin x －cos x )d x
B ．2⎠
⎜⎛0
π4 (sin x －cos x )d x
C ．⎠
⎜⎛0
π2 (cos x －sin x )d x
D ．2⎠
⎜⎛0
π4 (cos x －sin x )d x
5.按如图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )
A. 45
B. 47
C. 49
D. 51
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（ ）
A ．10000立方尺
B ．1 1000立方尺
C ．12000立方尺
D ．13000立方尺
7.设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若
3
1
84=S S ，则168S S 等于（ ）
A.
9
1
B.
10
3
C.
3
1 D.
8
1 8.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2=++，那么（ ）
A.AO OD =
B.2AO OD =
C.3AO OD =
D.2AO OD =
9.已知点P x y （,)满足41x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则||
AB 的最小值为（ ） A ．2
B
．C
．D ．4
10.已知12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若
212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30 ，则双曲线C 的离心率是（ ）
A.
B.2
C.
D. 3
11.数列{a n }的通项公式为a n =1
1(1)n n
++
，关于{a n }有如下命题： P 1：{a n }为先减后增数列；P 2：{a n }为递减数列；
P 3：*,n n N a e ∀∈>；P 4：*,n n N a e ∃∈<
其中正确的是（ ） A.P 1,P 3
B. P 1,P 4
C. P 2,P 3
D. P 2,P 4
12.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R . 设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是（ ）
A B. C. D.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)
13. (4
的展开式中3
3
x y 的系数为 .
14.已知等比数列}{n a 满足1129-+⋅=+n n n a a ，*N n ∈则数列}{n a 的前n 项和n S 为 ；
15.已知过点)1,1(-M 的直线l 与椭圆1
342
2=+y x 相交于B A ,两点，若点M 是AB 的中点，
则直线l 的方程为 .
16. 设数列{}n a 为等差数列，且1138
a π
=，若2()sin 22cos f x x x =+，记()n n b f a =，则数列{}n b 的前21项和为_________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
四边形ABCD 如图所示，已知2===CD BC AB ，32=AD . （1）求C A cos cos 3-的值；
（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别是1S 与2S ，求2
221S S +的最大值.
18.（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
19.（本小题满分12分）
如图1，等腰梯形ABCD 中，0
60,4,2=∠=∠==BCD ADC CD AB .取线段CD 中点E ，将
A D E ∆沿AE 折起，如图2所示.
（Ⅰ）当平面ADE 折到与底面ABCE 所成的二面角为0
90时，如图3所示，求此时二面角
C B
D A --平面角的余弦值.
（Ⅱ）在将ADE ∆开始折起到与ABE ∆重合的过程中，求直线DC 与平面ABCE 所成角的正切值的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标
原点,向量,满足.设圆的方程为
(I) 证明线段是圆的直径;
(II)当圆C 的圆心到直线x -2y =0的距离的最小值为时，求p 的值.
21.（本小题满分12分）
11(,)A x y 22(,)B x y 12(0)x x ≠2
2(0)y px p =>O OA OB
OA OB OA OB +=- C 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=AB C
已知函数()()()2ln 10a
f x x a x a
=++
>+． (I) 当a =1时，求证：()111
1
x f x e x +>++（其中e 为自然对数的底数）
(II) 设函数()f x 存在两个极值点，并记作12,x x ，若()()12+4f x f x >，求正数a 的取值范围；
请考生在（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知点P 的直角坐标是(x ，y )．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P 的极坐标是(ρ，θ)，点Q 的极坐标是(ρ，θ+0θ)，其中0θ是常数．设点Q 的平面直角坐标是(m ，n )． (I)用x ，y ，0θ表示m ，n ； (Ⅱ)若m ，n 满足mn =1，且0θ=
4
π
，求点P 的直角坐标(x ，y )满足的方程．
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知a ，b ，c >0，a +b +c =1．
求证：
(II)
1113
3131312
a b c
++≥
+++
.
参考答案
一、选择题
二、填空题
13. 6 14.
)12(3-n
15 . 0743=--y x 16 . 21
三、解答题
17.解：（1）在ABD ∆中，A A AD AB AD AB BD cos 3816cos 2222-=⋅-+=， 在BCD ∆中，C C CD BC CD BC BD cos 88cos 22
22-=⋅-+=， 所以1cos cos 3=-C A . （2）依题意A A AD AB S 22222
1cos 1212sin 4
1
-=⋅=
，C C CD BC S 22222
2cos 44sin 4
1
-=⋅=
， 所以C C C A S S 22222
221cos 4)1(cos 416cos 44cos 1212-+-=-+-=+
14)2
1
(cos 812cos 8cos 822++-=+--=C C C ，
因为4232<<-BD ，所以)16,3816(cos 882-∈=-BD C .
解得13cos 1-<<-C ，所以142
221≤+S S ，当2
1cos -
=C 时取等号，即2
221S S +的最大值为14.
18.解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10
50＝0.2，
p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝5
50
＝0.1.
由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝⎛⎭⎫9104＋4×⎝⎛⎭⎫9103×⎝⎛⎭
⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故1台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40<X <80时，1台发电机运行，
此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；
当X ≥80时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8；由此得Y 的分布列如下：
所以，E (Y )＝4 200×0.2＋③安装3台发电机的情形．
依题意，当40<X <80时，1台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，2台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，3台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下
所以，E (Y )＝3 400×0.2＋综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 19.解：（Ⅰ）在图3中取O AE 中点，建立直角坐标系.
（Ⅱ）在图2中作点于交F B D B D DF '
'
, .
20. (I)证明1:
整理得:
设M (x ,y )是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则
即 整理得: 故线段是圆的直径
22
,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 0OA OB ⋅=
12120x x y y ∴⋅+⋅=0MA MB ⋅=
1212()()()()0x x x x y y y y --+--=2
2
1212()()0x y x x x y y y +-+-+=AB
C
证明3:
整理得: (1)
以线段AB 为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得: 故线段是圆的直径
(II)解法1:设圆C 的圆心为C (x ,y ),则
又因
所以圆心的轨迹方程为 设圆心C 到直线x -2y =0的距离为d ,则
当y =p 时,d
. 22
,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 0OA OB ⋅=
12120x x y y ∴⋅+⋅=2222121212121
()()[()()]224
x x y y x y x x y y ++-
+-=-+-2
2
1212()()0x y x x x y y y +-+-+=AB C 121
22
2
x x x y y y +⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩22
1
1222,2(0)y px y px p ==> 22
12122
4y y x x p
∴=12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22
12122
4y y y y p ∴-⋅=12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠ 2124y y p ∴⋅=-2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +=
=+=++-221
(2)y p p
=+2
2
2y px p =-2
2221|
(2)2|
y p y d +-===22=
5=2p ∴=
设直线x -2y +m =0到直线x -2y =0的距离为
,则 因为x -2y +2=0与无公共点,所以当x -2y -2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x -2y =0的距离最小值为
将(2)代入(3)得
解法3: 设圆C 的圆心为C (x ,y ),则
圆心C 到直线x -2y =0的距离为d ,则
又因
25
5
2m =±222y px p =-222y px p =
-5
22
220(2)2(3)
x y y px p --=⎧⎨=-⎩ 22
2220y py p p -+-=2244(22)0p p p ∴∆=--=0
2.
p p >∴= 12122
2
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪
⎩12
12|
()|x x y y d +-+=22
1
1222,2(0)y px y px p ==> 22
12122
4y y x x p ∴=12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22
12122
4y y y y p
∴-⋅=
21.解：（Ⅰ）当1=a 时，1
2
)1ln()(+++=x x x f ， 不等式11e 1)(1
++
>
+x x f x 可化为1e 1
11)1ln(+>++
+x x x ，所以 要证不等式11e 1)(1
++
>+x x f x ，即证1e 111)1ln(+>++
+x x x ，即证x x x e
1
1ln >+， 设x x x h 1ln )(+
=，则221
11)(x
x x x x h -=-='， 在)1,0(上，h '（x ）＜0，h （x ）是减函数；在
)1∞+，（上，h '（x ）＞0，h （x ）是增函数． 所以1)1()(=≥h x h ，设x x e
1
)(=
ϕ，则)(x ϕ是减函数， 所以1)0()(=<ϕϕx ，所以)()(x h x <ϕ，即x
x x e 11ln >+， 所以当1=a 时，不等式1
1
e 1
)(1++
>
+x x f x 成立．
（Ⅱ）2
22)
)(1()
2(])(1[211)(a x x a a x a x a x x f ++-+=+-⨯++='，（*） 当2≥a 时，0>x ，∴0)
)(1()
2()(2
2>++-+='a x x a a x x f ，函数)(x f 在),0(+∞上是增函数； 当20<<a 时，由0)(='x f ，得0)2(2=-+a a x ，解得)2(1a a x --=（负值舍去），
)2(2a a x -=，当2≥a 时，0)(>'x f ，函数)(x f 无极值点；
要使函数)(x f 存在两个极值点，必有20<<a ，且极值点必为)2(1a a x --=，
)2(2a a x -=，又由函数定义域知，1->x ，则有1)2(->--a a ，
即1)2(<-a a ，化为0)1(2>-a ，所以1≠a ，
所以，函数)(x f 存在两个极值点时，正数a 的取值范围是)2,1()1,0( ．
由（*）式可知，⎩⎨
⎧-=⋅=+),
2(,
02121a a x x x x
,
21
2])1ln[()2(4])1ln[()()
2(2)1ln()
)(()(2)]1)(1ln[(2)1ln(2)1ln()()(2
222
2
2121212121211221221121+-+-=+-+-=++++++
⋅+++=++++++
++=+++++++=+a a a a a a a a x x a x x a x x a x x x x a x a x a x a x a x x a
x a
x a x a x x f x f
不等式4)()(21>+x f x f 化为021
2
])1ln[(2
>--+
-a a ， 令))2,1()1,0((1 ∈=-a t a ，所以)1,0()0,1( -∈t ， 令22
)ln()(2
-+
=t
t t g ，)1,0()0,1( -∈t ． 当)0,1(-∈t 时，22)ln(2)(-+-=t t t g ，02
,0)ln(<<-t
t ，所以0)(<t g ，不合题意； 当)1,0(∈t 时，22ln 2)(-+
=t t t g ，0)1(2)1(212)(2
2<-=-⨯+⨯='t t t t t g ，所以 )(t g 在)1,0(是减函数，所以021
2
1ln 2)1()(=-+=>g t g ，适合题意，即)2,1(∈a ．
综上，若4)()(21>+x f x f ，此时正数a 的取值范围是)2,1(．
22.解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x 和⎩
⎨⎧+=+=).sin(),
cos(00θθρθθρn m
即⎩⎨
⎧+=-=,
sin cos cos sin ,
sin sin cos cos 0000θθρθθρθθρθθρn m 所以⎩⎨⎧+=-=.cos sin ,sin cos 0000θθθθy x n y x m
（Ⅱ）由题意知,22
,m x y n x y ⎧=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
所以(
)()22222
x y x y -+=.整理得12222=-y x . 23.解：（1）证法一：
2
()()()()()3
a b c a b c a b b c c a =+++≤++++++++=
证法二：由柯西不等式得
:
2
222222(111]3
≤++++=
,
（2）证法一：
4(31)4,3143331a a a a ++≥=+∴≥-+
同理得44
33,333131b c
b c ≥-≥-++，
以上三式相加得，
111
4(
)93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++，
1113
3131312a b c ∴
++≥
+++．
证法二：由柯西不等式得:
2111
[(31)(31)(31)](
)313131
9
a b c a b c ++++++++++≥= 11133131312a b c ∴
++≥
+++．。