自伴子空间的谱理论

自伴子空间的谱理论
众所周知,在确定性条件下,奇异线性连续Hamilton系统生成的最小算子H0是一个对称算子,即稠定的Hermite算子,它的伴随算子等于其在相关的Hilbert 空间的相应的最大算子H.如果确定性条件不成立,H0是非稠定算子或者是多值算子,H是多值算子.最近已发现：对于一般的奇异线性离散Hamilton系统和一般的对称差分方程,即使确定性条件成立,其最小算子在相关Hilbert空间是非稠定算子,最大算子是多值的.因此算子的谱理论对于这些情况不适用.在一般的时间尺度下,不管确定性条件成立与否,线性Hamilton系统的最小算子的图在相关的乘积空间都是一个Hermite子空间.因此,为了研究非确定性条件下连续Hamiton系统谱理论,一般条件下离散Hamilton系统谱理论和一般时间尺度上Hamilton系统谱理论,均需要建立子空间谱理论。

但是,目前子空间谱理论中很多重要问题的研究还不完善.1961年,R.Arens [1]首先开始了对X×Y的线性关系(子空间)的研究,其中X和Y都是线性空问.当X=Y是一个Hilbert空间时,他把一个自伴子空间分解为一个多值部分和X的一个子空间上的一个自伴算子的图的正交和.这篇文章对以后的研究提供了一个新的课题.1973
年,Coddington[3]研究了Hermite子空间的自伴扩张.他成功地把对称算子的von Neumann自伴扩张理论推广到子空间上,并给出了Hermite子空间存在自伴子空间扩张的充分必要条件以及自伴子空间扩张的刻画.1976年,他研究了常微分子空间的自伴子空间和特征函数展开[6],并引入了子空间的谱族的概念.最近,史玉明[12]利用Coddington的结果建立了Hermite子空间的GKN理论.她给出了Hermite子空间的一些辛性质并引入了亏空间和亏指数概念,利用GKN集给出了具有相同正负亏指数的Hermite子空间的自伴子空间扩张的刻画.之后,史玉明
和孙华清利用子空间的GKN理论研究了二阶线性差分方程的自伴子空问扩张[13].在这篇文章中,她们指出二阶对称差分方程生成的最小算子是非稠定的Hermite算子,而生成的最大算子是多值的.她们引入了二阶差分方程生成的最小子空间、准最小子空间和最大子空间,并研究了它们的性质.另外,利用GKN理论她们还给出了最小子空间的所有自伴子空间扩张,同时给出了最小算子所有自伴算子扩张的刻画.更多关于非稠定Hermite算子或者Hermite子空间的结果见[2,4,5,7-11]以及它们的一些参考文献.本文利用已有的子空间理论,首先研究自伴子空间T和其算子部分Ts之间的关系.还讨论了算子和其图之间的关系.最后,利用T和Ts之间的各种关系及相应的算子理论研究子空间T的若干谱问题.本文共分三章.第一章介绍线性子空间的基本概念和基本理论.建立在一定条件下算子和其图的预解集、谱、点谱之间的关系和下方有界的关系,给出了子空间有Hermite子空间扩张和自伴子空间扩张的充要条件.第二章研究了自伴子空间的谱性质.利用子空间的约化子空间,研究了自伴子空间T和其算子部分Ts的预解集、谱、点谱、本质谱和离散谱之间的关系.因为对于算子的谱我们已经有很多好的结果,所以我们可以利用T和Ts的关系和非常完善的算子理论来研究子空间的谱的性质.通过给出自伴子空间的一些特殊的约化子空间：不连续子空间,连续子空间,奇异连续子空间,绝对连续子空间以及奇异子空间,引入了自伴子空间谱的另一种分类：连续谱,奇异连续谱,绝对连续谱和奇异谱.我们还建立了T 和Ts的这些约化空问之间的关系.在本章最后,我们研究了一个闭的Hermite子空间T的自伴扩张的谱,证明了：T的所有自伴子空间扩张有相同的本质谱.第三章研究了自伴子空间的强预解收敛.我们首先引入了自伴子空间的强预解收敛、依范数收敛、谱准确和谱包含的概念.然后,我们研究了强预解收敛的充分必要条
件及其性质,并讨论了依范数预解收敛的相关性质.最后,我们给出了自伴子空间谱包含和谱准确的充分条件.。