棠湖中学高2018级(高一下)期末数学试卷2

棠湖中学高2018级（高一下）期末数学试卷2
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）
1. 给出下列结论：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知直线l 过点A(1,1),B(−1,3)，则直线l 的倾斜角为( ) A. π4
B. 3π4
C. π
4或5π4 D. π
4或3π4
3. 在等比数列{a n }中，a n >0，若a 3⋅a 7=81且a 3=1，则a 6=( )
A. 16
B. 81
C. 3
D. 27 4. 若a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )
A. a 2<b 2
B. a 2b <ab 2
C. 1ab 2<1
a 2b
D. b a <a
b
5.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S 5=( )
A. 3115
16
B. 3215
16
C. 3315
16
D. 261
2
6. 如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则4
x +9
y
的最小值为( ) A. 25
2 B. 18
C. 9
D. 25
7. 设x ，y 满足约束条件{x ≥1
x −2y ≤22x +y ≤6，向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(2,y −m)，则满足a ⃗ ⊥b
⃗ 的实数m 的最大值( )
A. −26
5
B. −30
5
C. 2
D. −5
2
8. 直线l 1：m 2x +y +3=0和直线l 2：3mx +(m −2)y +m =0，若l 1//l 2，则m 的值为( ) A. −1 B. 0 C. 0或−1 D. 0或−1或3 9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA a
+
cosB b
=
√3sinB
，A =2π3
，则b +c 的取值范围
是( )
A. (√32
,1]
B. (3
2,√3]
C. [√3
2
,1]
D. [3
2,√3]
10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，H 是对角线B 1D 与平面A 1C 1B 的交点，给出下列四个结论：
①平面D 1AC//平面A 1C 1B ；②B 1D ⊥平面A 1C 1B ；③B 1H =1
4B 1D 1；④B 1D 与平面A 1C 1B 的交点H 是△A 1C 1B 的重心，其中正确结论的序号是( )
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
11. 在平面四边形ABCD中，AB=√2，BC=CD=DA=1，设△ABD、△BCD的
面积分别为S1、S2，则当S12+S22取最大值时，BD=()
A. √10
2
B. √3
C. √2
D. 1
12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(3
2
−x)=f(x)，f(−2)=−3，数列{a n}是
等差数列，若a2=3，a7=13，则f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a2018)=()
A. −2
B. −3
C. 2
D. 3
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(
如图)，∠ABC=45∘，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为______．
14. 已知数列和{a n}满足a n+2−a n+1=a n+1−a n，n∈N∗，且a5=π
2
，若函数
f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x
2
，记y n=f(a n)，则数列{y n}的前9项和为______．
15. 已知动直线l1：2x+3my−2=0过定点A，动直线l2：3mx−2y−6m+2=0过定点B，直线l1与l2交于点P，则△PAB的面积的最大值是______．
16. 在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a、b、c依次成等比数列，则sinA(1
tanA +1
tanB
)
的取值范围是______．
16.定义：关于x的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(1
b ,1
a
)，则称这两个不等式为对偶
不等式.如果不等式x2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(π
2
,π)，则θ=______．
三、解答题（本题共6个小题，17题10分，其余题12分，共70分）
17．设函数f(x)=mx2−mx−1．
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<−m+5恒成立，求m的取值范围．
18.已知三角形的三个顶点A(−5,0)，B(3,−3)，C(0,2)．
(Ⅰ)求线段AB的垂直平分线的方程；
(Ⅱ)求△ABC的面积．
19.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b−c
a−c =sin(B+C)
sinB+sinC
．
(1)求角B的大小；
(2)求cos(A−C)−2cos2C的最大值．
20.若正项数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，P(√S n,S n+1)点在曲线y=(x+1)2上.
(1)求数列{a n}的通项公式a n；
(2)设b n=1
a n⋅a n+1，T n表示数列{
b n}的前n项和，若T n≥1
3
m−1对n∈N+恒成立，求实数m的取值范围．
21.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上不同于A，B的点，过点C的直线VC垂直于⊙O所在平面.D，E，F分别是VA，VB，VC的中点，且BC=1，AC=2，VC=2.求证：
(Ⅰ)平面DEF⊥平面VBC；
(Ⅱ)求VO与平面ABC所成角的余弦值．
22. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，5a 和9a 的等差中项为13，且
25114a a a a ⋅=⋅.令1
1
n n n b a a +=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .
（Ⅰ）求n T ；
（Ⅱ）是否存在不同的正整数,m n ，使得2,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若332
n
n
a n a c =+，是否存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数
列？若存在，求出所有的,,m n t 的值；若不存在，请说明理由.
棠湖中学高2018级（高一下）期末数学试卷2 参考答案
一、选择题:1-5.ABDCB ； 6-10. DCCAD ； 11-12.AB
填空题:13.2+√22
； 14. 18； 15. 12； 16. (√5−12
,√5+12
)； 16.5π
6
11.解：在△ABD 中，BD 2
=AD 2
+AB 2
−2×AD ×AB ×cosA =1+2−2×1×√2×cosA =3−2√2cosA ．
在△BCD 中，BD 2=CD 2+CB 2
−2CD ⋅CBcosC =2−2cosC ，
∴cosC =√2cosA −1
2
．
S 12+S 22=1
4AB2⋅AD2⋅sin2A +1
4CB2⋅CD2⋅sin2C =1
2sin 2A +1
4sin 2C =−(cosA −√28
)2
+5
8，
∴当cosA =√28时，S 12+S 2
2取取最大值， 此时，BD =√AB2+AD2−2×AB ×AD ×cosA =√10
2
．
12.解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)，
又由f(x)满足f(32−x)=f(x)，则f(3
2−x)=−f(−x)，
则有f(3−x)=−f(3
2−x)=f(x)，即函数f(x)是周期为3的周期函数，
数列{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则d =a 7−a
2
7−2=2，则a n =2n −1，则a 1=1，a 3=5， 则f(a 1)=f(1)=f(−2)=−3，f(a 2)=f(3)=f(0)=0，f(a 3)=f(5)=f(−1)=−f(1)=3， 则有f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)=(−3)+0+(3)=0，
f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+⋯+f(a 2018)=f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+⋯…+f(2016)+f(2017)+f(2018)=672×[f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)]+f(2017)+f(2018)=−3；
16.解：∵△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵a ，b ，c 成等比数列，sin 2B =sinAsinC ，
设a ，b ，c 分别为a ，aq ，aq 2．则有{a
+aq 2>aq
a+aq>aq 2
aq +aq 2>a ⇒{q 2−q +1>0q 2−q−1<0
q 2+q −1>0
⇒√5−12<q <√5+1
2． sinA(1tanA +1tanB )=sinA(cosA sinA +cosB sinB )=sinA ⋅sin(A+B)sinAsinB =sinAsinC sinAsinB =c
b
=q ， ∴sinA(1tanA +1
tanB )的取值范围是：(√5−12,√5+12
).
16.解：不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式， 设不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0的对应方程两个根为a 、b ，
则不等式2x 2+4xsin2θ+1<0对应方程两个根为：1a 、 1
b 所以−2sin2θ=1
a
+1
b =
a+b ab
=
4√3cos2θ
2
即：tan2θ=−√3因为θ∈(π
2,π)，所以θ=
5π
6
，故答案为：5π
6 三、解答题：
17．解：(1)由题意，mx 2−mx −1<0对任意实数x 恒成立，
若m =0，显然−1<0成立；
若m ≠0，则{△=m 2+4m <0m<0
，解得−4<m <0．
所以−4<m ≤0．
(2)由题意，f(x)<−m +5，即m(x 2−x +1)<6
因为x 2−x +1>0对一切实数恒成立，所以m <6
x 2−x+1在x ∈[1,3]上恒成立． 因为函数y =x 2−x +1在x ∈[1,3]上的最大值为7，所以只需m <6
7即可．
所以m 的取值范围是{m|m <6
7}.
18.解：(Ⅰ)k AB =−3−03−(−5)=−38，线段AB 的中点坐标为(−1,−32)．所以线段AB 的垂直平分线斜率k =8
3． ∴线段AB 的垂直平分线方程为：y +3
2=8
3(x +1)，化为：16x −6y +7=0．
(Ⅱ)AB 所在直线方程为：3x +8y +15=0，点C 到直线AB 的距离为：d =√73|AB|=√73．
∴△ABC 的面积S =12×√73×31√73=31
2．
19.解：(1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b−c
a−c
=sin(B+C)sinB+sinC
．则：b−c a−c =sinA
sinB+sinC ，利用正弦定理得：b−c
a−c =a
b+c ，整理得：a 2+c 2−b 2=ac ，所以：cosB =a 2+c 2−b 2
2ac
=1
2，
由于：0<B <π，所以：B =π
3． (2由(1)得：A +C =2π
3
，所以：cos(A −C)−2cos 2C ，=cos(2π
3−2C)−(cos2C +1)， =
√3
2
sin2C −3
2cos2C −1，=√3sin(2C −π
3)−1，
由于：0<C <
2π
3
，所以−π
3<2C −π
3<π，当2C −π
3=π
2， 即C =5π
12时，cos(A −C)−2cos 2C 的最大值为√3−1．
20.解：(1)因为点P(√S n ,S n+1)在曲线y =(x +1)2上，
所以S n+1=(√S n +1)2，从而√S n+1−√S n =1，且√S 1=√a 1=1， 所以数列{√S n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以√S n =√S 1+(n −1)×1=n ，即S n =n 2，
当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， 当n =1时，a n =2×1−1=1也成立， 所以a n =2n −1(n ∈N ∗)；
(2)因为b n =1a n ⋅a n+1=12(12n−1−1
2n+1)，
∴T n =12(1−13+13−15+⋯+12n −1+12n +1)=12(1−12n +1)≥12(1−12×1+1)=1
3
∵T n ≥13m −1对n ∈N +恒成立，∴13m −1≤13
，∴m ≤4．
21.证明：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，…………………(1分) 又∵VC 垂直于⊙O 所在平面，AC 在平面⊙O 内， ∴AC ⊥VC ，…………………(2分)
∵BC ∩VC =C ，BC ⊂平面VBC ，VC ⊂平面VBC ， ∴AC ⊥平面VBC ，…………………(4分)
又∵D ，F 分别是VA ，VC 的中点，∴DF//AC ， ∴DF ⊥平面VDC ， 又∵DF ⊂平面DEF ，
∴平面DEF ⊥平面VBC. …………………(6分) 解：(Ⅱ)连接CO ，∵VC 垂直于⊙O 所在平面，
∴∠VOC 是VO 与平面ABC 所成角的平面角，…………………(8分) 在Rt △ACB 中，BC =1，AC =2，则AB =√5，OC =√5
2
，
在Rt △VOC 中，OC =√5
2
，VC =2，则VO =√21
2
，…………………(10分)
则cos∠VOC =(√52)2+(√21
2
)2−222×√52×
√212
=
√105
21
，…………………(11分) 则VO 与平面ABC 所成角的余弦值为√10521
.…………………(12分)
22. 解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得5925114
26
a a a a a a +=⎧⎨
⋅=⋅⎩， 即1111121226()(4)(13)a d a d a d a a d +=⎧⎨++=+⎩ 整理得116132a d d a +=⎧⎨=⎩，解得121
d a =⎧⎨
=⎩， 所以()11221n a n n =+-⨯=-，由111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫=
==- ⎪-+-+⎝⎭
，
11111112335212121
n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得22,,52121
m n m n
T T T m n =
==
++， 因为2,,m n T T T 成等比数列，所以2
2m n T T T =⋅，即2
221521m n m n ⎛⎫=⋅
⎪++⎝⎭
， 对上等式左右同时取倒数可得22441105
2m m n m n
+++=
即224152m m m n -++=，502n
>Q ，22
410m m m -++∴>，只需要2
410m m -++>，
所以(2m ∈，因为*m N ∈，所以m 可以取值1,2,3,4
讨论：①当1m =时，带入22
4152m m m n -++=，5
8
n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ②当2m =时，带入22
4152m m m n
-++=，2n =，满足*
n N ∈，但是不满足,m n 为不同整数的条件，所以此时也不存在.
③当3m =时，带入22
4152m m m n -++=，45
8n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ④当4m =时，带入22
415
2m m m n
-++=，40n =，满足*n N ∈，所以存在. 综上所述，存在4,40m n ==满足2,,m n T T T 成等比数列. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得212121
212121333,,323232
m n t m n t m n t c c c ------===+++，且2n m t =+，
因为,,m n t c c c 成等比数列，所以2
n m t c c c =⋅，
将21
21
212121213
3
3
,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++带入上式可得：2
21
2121
2121
21333323232n m t n m t ------⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭
将2n m t =+带入上式化简得：2121212333n m t ---⋅=+ 不妨设m n t <<，则2121212121212123333333n m t n m t n -------⋅=+⇔-=-，即()()21222122331331m n m n t n ----⋅-=⋅-
220n m ->Q 且*22n m N -∈
所以上式左端因式2231n m --不含因数3，同理上式右端因式2231t n --不含因数3. 而上式左端含有因数3的次数为21m -次，上式右端含有因数3的次数为21n -次
2121m n -≠-Q ，所以()()21222122331331m n m n t n ----⋅-≠⋅-，所以方程无解
综上所述，不存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列.
棠湖中学高2018级（高一下）期末数学试卷2
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）
1. 给出下列结论：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A
3. 已知直线l 过点A(1,1),B(−1,3)，则直线l 的倾斜角为( )
A. π
4 B. 3π4 C. π
4或5π4 D. π
4或3π4
【答案】B
解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0,π)．则tanθ=3−1−1−1=−1，∴θ=3π
4，故选：B ． 3. 在等比数列{a n }中，a n >0，若a 3⋅a 7=81且a 3=1，则a 6=( ) A. 16 B. 81 C. 3 D. 27 【答案】D
解：等比数列{a n }中，a n >0，∴q >0，
∵a 3⋅a 7=81且a 3=1，∴a 7=81，q 4
=a 7a 3
=81, ∴q =3，则a 6=a 3q 3=33=27．故选：D ． 4. 若a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )
A. a 2<b 2
B. a 2b <ab 2
C. 1ab 2<1a 2b
D. b a <a
b 【答案】C
解：A.取a =−3，b =1，则a 2<b 2不成立； B .ab >0时，则ab(a −b)>0，∴a 2b >ab 2；
C.∵a ，b 为非零实数，且a <b ，∴a a 2b 2<b a 2b 2，化为1ab 2<1a 2b ． D .取a =−2，b =1，则b a >a
b ． 综上可得：只有C 正确．故选：C ．
5.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S 5=( )
A. 311516
B. 321516
C. 3315
16 D. 2612 【答案】B
解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n 天打洞之和为2n −1
2−1
=2n −1，
同理，小老鼠每天打洞的距离1−(1
2)n
1−12
=2−12n−1，∴S n =2n −1+2−12n−1，∴S 5=25+1−124=3215
16．
故选：B ．
6. 如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则4
x +9
y 的最小值为( ) A. 25
2 B. 18
C. 9
D. 25
【答案】D
解：在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则x +y =1．
所以：4x +9y =(4x +9y )(x +y)=4+9+4y x +9x y ≥13+12=25(当且仅当x =4
5
，y =
310
等号成立)，
故选：D ．
7. 设x ，y 满足约束条件{x ≥1
x −2y ≤22x +y ≤6
，向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(2,y −m)，则
满足a ⃗ ⊥b ⃗ 的实数m 的最大值( )
A. −265
B. −305
C. 2
D. −5
2 【答案】C
解：由向量a ⃗ =(x,−1)，b ⃗ =(2,y −m)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ 得m =y −2x ，
根据约束条件画出可行域，
m =y −2x ，将m 最小值转化为y 轴上的截距，
当直线m =y −2x 经过点B 时，m 最大，由{2x +y =6x=1
，解得B(1,4)
实数m 的最大值为：4−2=2．故选：C ．
8. 直线l 1：m 2x +y +3=0和直线l 2：3mx +(m −2)y +m =0，若l 1//l 2，则m 的值为( ) A. −1 B. 0 C. 0或−1 D. 0或−1或3 【答案】C
解：由{m 2m 2(m −2)−3m =0，解得m =0，−1，3．经过验证：m =3时，两条直线重合，舍去． ∴m =0或−1．故选：C ．
9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA a +cosB b =√
3sinB ，A =2π
3
，则b +c 的取值范围是( ) A. (√3
2
,1]
B. (3
2,√3]
C. [√3
2
,1]
D. [3
2,√3]
【答案】A 解：∵
cosA a
+
cosB
b
=
2sinC √3sinB
，A =2π
3
，
∴由正弦定理，余弦定理可得：b 2+c 2−a 2
2abc
+
a 2+c 2−
b 2
2acb
=
2c √3b
，整理可得：a =√3
2
， ∴由正弦定理b
sinB =c
sinC =
√32√32
=1，可得b =sinB ，c =sinC =sin(π
3−B)，
∴b +c =sinB +sinC =sinB +sin(π
3−B)=1
2sinB +√3
2
cosB =sin(B +π
3)，
∵0<B <π
3，可得：π
3<B +π
3
<
2π3
，
∴b +c =sin(B +π3)∈(√3
2
,1]．故选：A ．
10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，H 是对角线B 1D 与平面A 1C 1B 的交点，给出下列四个结论：
①平面D 1AC//平面A 1C 1B ；②B 1D ⊥平面A 1C 1B ；③B 1H =1
4
B 1D 1；④B 1D 与平面A 1
C 1B 的交点H 是△A 1C 1B 的重心，其中正确结论的序号是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D
【解析】解：在平面D 1AC 和平面A 1C 1B 中，由AC//A 1C 1，AC ⊄平面A 1C 1B ，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ，可得AC//平面A 1C 1B ，同理可得D 1A//平面A 1C 1B ，AC ∩D 1A =A ，则平面D 1AC//平面A 1C 1B ，故①对；
连接B 1D 1，可得B 1D 1⊥A 1C 1，A 1C 1⊥D 1D ，则A 1C 1⊥平面D 1DB 1，即有A 1C 1⊥B 1D ， 同理可得BC 1⊥B 1D ，则B 1D ⊥平面A 1C 1B ，故②对；
设正方体的边长为1，面对角线长为√2，体对角线长为√3，由V A 1−B 1BC 1=13×1×12×1×1=1
6，
且V B 1−A 1C 1B =13B 1D ⋅S △BA 1C 1=1
3B 1H ⋅
√3
4
⋅2=
√3
6B 1
H ，可得B 1H =
√3
3
，则B 1H ≠
√2
4
，故③错； 由三棱锥B 1−A 1C 1B 为正三棱锥，可得H 为正三角形A 1C 1B 的中心，故④对． 故选：D ．
11. 在平面四边形ABCD 中，AB =√2，BC =CD =DA =1，设△ABD 、△BCD 的面积分别为S 1、S 2，则
当S 12+S 22取最大值时，BD =( )
A. √10
2
B. √3
C. √2
D. 1
【答案】A
【解析】解：在△ABD 中，BD 2=AD 2+AB 2−2×AD ×AB ×cosA =1+2−2×1×√2×cosA =3−2√2cosA ．
在△BCD 中，BD 2=CD 2+CB 2−2CD ⋅CBcosC =2−2cosC ，
∴cosC =√2cosA −1
2．
S 12+S 22=1
4AB2⋅AD2⋅sin2A +1
4CB2⋅CD2⋅sin2C =1
2sin 2A +1
4sin 2C =−(cosA −√28
)2
+5
8，
∴当cosA =√28时，S 12+S 2
2取取最大值，
此时，BD =√AB2+AD2−2×AB ×AD ×cosA =√10
2
．故选：A ．
12.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(3
2
−x)=f(x)，f(−2)=−3，数列{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+⋯+f(a 2018)=( ) A. −2 B. −3 C. 2 D. 3 【答案】B
解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)，
又由f(x)满足f(32−x)=f(x)，则f(3
2−x)=−f(−x)，
则有f(3−x)=−f(3
2−x)=f(x)，即函数f(x)是周期为3的周期函数， 数列{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则d =
a 7−a 27−2
=2，则a n =2n −1，则a 1=1，a 3=5，
则f(a 1)=f(1)=f(−2)=−3，f(a 2)=f(3)=f(0)=0，f(a 3)=f(5)=f(−1)=−f(1)=3， 则有f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)=(−3)+0+(3)=0，
f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+⋯+f(a 2018)=f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+⋯…+f(2016)+f(2017)+f(2018)=672×[f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)]+f(2017)+f(2018)=−3； 故选：B ．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC =45∘，AB =AD =1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为______．
【答案】2+√2
2
解：DC =ABsin 45∘=√22，BC =ABsin 45∘+AD =√2
2
+1，S 梯形ABCD =1
2(AD +
BC)DC =1
2
(2+√22)√2
2
=
√2
2+1
4
，
S =
4√
2S 梯形ABCD
=2+√2
2．故答案为：2+√2
2
14. 已知数列和{a n }满足a n+2−a n+1=a n+1−a n ，n ∈N ∗，且a 5=π
2，若函数f(x)=(sinx +cosx)2+
2cos 2x
2，记y n =f(a n )，则数列{y n }的前9项和为______．
【答案】18
解：数列和{a n }满足a n+2−a n+1=a n+1−a n ，所以：2a n+1=a n +a n+2，所以数列{a n }为等差数列．
由于：a 5=π
2，则：a 1+a 9=a 2+a 8=⋯=2a 5=π
函数f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x
2=2+sin2x +cosx ，所以：f(a 5)=2， 故：f(a 2)+f(a 8)=f(a 1)+f(a 9)=⋯=2f(a 5)=4，
故：数列{y n }的前9项和为：4+4+4+4+2=18．故答案为：18
15. 已知动直线l 1：2x +3my −2=0过定点A ，动直线l 2：3mx −2y −6m +2=0过定点B ，直线l 1与l 2交于点P ，则△PAB 的面积的最大值是______．
【答案】1
2
解：根据题意，对于直线l 1：2x +3my −2=0，变形可得−2(x −1)=3my ， 若动直线l 1：2x +3my −2=0过定点A ，则A(1,0)，
对于直线l 2：3mx −2y −6m +2=0，变形可得3m(x −2)=2(y −1)， 若动直线l 2：3mx −2y −6m +2=0过定点B ，则B(2,1)，
动直线l 1：2x +3my −2=0，动直线l 2：3mx −2y −6m +2=0，有2×(3m)+3m ×(−2)=0， 则动直线l 1与动直线l 2互相垂直，
又由直线l 1与l 2交于点P ，则P 在以AB 为直径的圆上，又由A(1,0)，B(2,1)，
则P 的轨迹方程为(x −32)2+(y −12)2=1
2，
分析可得：当PA =PB =√2
2×√2=1时，△PAB 的面积取得最大值，
此时△PAB 的面积的最大值1
2×PA ×PB =1
2，故答案为1
2．
16. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 依次成等比数列，则sinA(1tanA +1
tanB )
的取值范围是______． 【答案】(√5−1
2,√5+1
2
)
解：∵△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵a ，b ，c 成等比数列，sin 2B =sinAsinC ，
设a ，b ，c 分别为a ，aq ，aq 2．则有{a +aq 2>aq
a+aq>aq 2aq +aq 2>a ⇒{q 2−q +1>0q 2−q−1<0
q 2
+q −1>0
⇒√5−12<q <√5+1
2． sinA(1tanA +1tanB )=sinA(cosA sinA +cosB sinB )=sinA ⋅sin(A+B)sinAsinB =sinAsinC sinAsinB =c
b
=q ， ∴sinA(
1
tanA
+
1
tanB
)的取值范围是：(√5−12,√5+12
).
16.定义：关于x 的两个不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(1b ,1
a
)，则称这两个不等式为对偶
不等式.如果不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式，且θ∈(π
2,π)，则θ=______． 【答案】5π
6
解：不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0与不等式2x 2+4xsin2θ+1<0为对偶不等式， 设不等式x 2−4√3xcos2θ+2<0的对应方程两个根为a 、b ，
则不等式2x 2+4xsin2θ+1<0对应方程两个根为：1a 、 1
b
所以−2sin2θ=1
a
+1
b =
a+b ab
=
4√3cos2θ
2
即：tan2θ=−√3因为θ∈(π
2,π)，所以θ=
5π
6
，故答案为：5π
6 三、解答题（本题共6个小题，17题10分，其余题12分，共70分）
17．设函数f(x)=mx 2−mx −1．
(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f(x)<−m +5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)由题意，mx 2−mx −1<0对任意实数x 恒成立，
若m =0，显然−1<0成立；
若m ≠0，则{△=m 2+4m <0m<0
，解得−4<m <0． 所以−4<m ≤0．
(2)由题意，f(x)<−m +5，即m(x 2−x +1)<6 因为x 2−x +1>0对一切实数恒成立，所以m <6
x 2
−x+1
在x ∈[1,3]上恒成立．
因为函数y =x 2−x +1在x ∈[1,3]上的最大值为7，所以只需m <6
7即可．
所以m 的取值范围是{m|m <6
7}.
22. 已知三角形的三个顶点A(−5,0)，B(3,−3)，C(0,2)． (Ⅰ)求线段AB 的垂直平分线的方程； (Ⅱ)求△ABC 的面积．
解：(Ⅰ)k AB =−3−03−(−5)=−38，线段AB 的中点坐标为(−1,−32)．所以线段AB 的垂直平分线斜率k =8
3． ∴线段AB 的垂直平分线方程为：y +3
2=8
3(x +1)，化为：16x −6y +7=0． (Ⅱ)AB 所在直线方程为：3x +8y +15=0，点C 到直线AB 的距离为：d =73|AB|=√73．
∴△ABC 的面积S =1
2×√73√73=
312．
23. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b−c a−c
=
sin(B+C)sinB+sinC
．
(1)求角B 的大小；
(2)求cos(A −C)−2cos 2C 的最大值．
解：(1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b−c a−c =sin(B+C)sinB+sinC ．则：b−c a−c =sinA
sinB+sinC ，利用正弦定理得：b−c
a−c =a
b+c ，整理得：a 2+c 2−b 2=ac ，所以：cosB =a 2+c 2−b 2
2ac
=1
2，
由于：0<B <π，所以：B =π
3． (2由(1)得：A +C =2π
3
，所以：cos(A −C)−2cos 2C ，=cos(2π
3−2C)−(cos2C +1)， =
√3
2
sin2C −3
2cos2C −1，=√3sin(2C −π
3)−1，
由于：0<C <2π
3
，所以−π
3<2C −π
3<π，当2C −π
3=π
2， 即C =
5π12
时，cos(A −C)−2cos 2C 的最大值为√3−1．
24. 若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1=1，P(√S n ,S n+1)点在曲线y =(x +1)2上. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)设b n =1
a n ⋅a n+1
，T n 表示数列{b n }的前n 项和，若T n ≥1
3m −1对n ∈N +恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)因为点P(√S n ,S n+1)在曲线y =(x +1)2上，
所以S n+1=(√S n +1)2，从而√S n+1−√S n =1，且√S 1=√a 1=1， 所以数列{√S n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以√S n =√S 1+(n −1)×1=n ，即S n =n 2，
当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， 当n =1时，a n =2×1−1=1也成立， 所以a n =2n −1(n ∈N ∗)；
(2)因为b n =1a n ⋅a n+1=12(12n−1−1
2n+1)，
∴T n =12(1−13+13−15+⋯+12n −1+12n +1)=12(1−12n +1)≥12(1−12×1+1)=1
3
∵T n ≥13m −1对n ∈N +恒成立，∴13m −1≤1
3
，∴m ≤4．
21.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上不同于A ，B 的点，过点C 的直线VC 垂直于⊙O 所在平面.D ，E ，F 分别是VA ，VB ，VC 的中点，且BC =1，AC =2，VC =2.求证： (Ⅰ)平面DEF ⊥平面VBC ；
(Ⅱ)求VO 与平面ABC 所成角的余弦值．
证明：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，…………………(1分) 又∵VC 垂直于⊙O 所在平面，AC 在平面⊙O 内， ∴AC ⊥VC ，…………………(2分)
∵BC ∩VC =C ，BC ⊂平面VBC ，VC ⊂平面VBC ， ∴AC ⊥平面VBC ，…………………(4分)
又∵D ，F 分别是VA ，VC 的中点，∴DF//AC ， ∴DF ⊥平面VDC ， 又∵DF ⊂平面DEF ，
∴平面DEF ⊥平面VBC. …………………(6分) 解：(Ⅱ)连接CO ，∵VC 垂直于⊙O 所在平面，
∴∠VOC 是VO 与平面ABC 所成角的平面角，…………………(8分)
在Rt △ACB 中，BC =1，AC =2，则AB =√5，OC =√5
2
，
在Rt △VOC 中，OC =√5
2
，VC =2，则VO =√21
2，…………………(10分)
则cos∠VOC =
(√5
2
)2+(
√212
)2
−222×√52×
√212
=
√105
21
，…………………(11分) 则VO 与平面ABC 所成角的余弦值为√
10521
.…………………(12分)
22. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，5a 和9a 的等差中项为13，且25114a a a a ⋅=⋅.令1
1
n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .
（Ⅰ）求n T ；
（Ⅱ）是否存在不同的正整数,m n ，使得2,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若332
n
n
a n a c =+，是否存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数
列？若存在，求出所有的,,m n t 的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得5925114
26
a a a a a a +=⎧⎨
⋅=⋅⎩， 即1111121226()(4)(13)a d a d a d a a d +=⎧⎨++=+⎩ 整理得116132a d d a +=⎧⎨=⎩，解得121
d a =⎧⎨
=⎩，
所以()11221n a n n =+-⨯=-，由111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 111111123352121
n T n n ⎛⎫=-+-++-=
⎪-+⎝⎭L 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22,,52121
m n m n
T T T m n =
==
++， 因为2,,m n T T T 成等比数列，所以2
2m n T T T =⋅，即2
221521
m n
m n ⎛⎫=⋅
⎪++⎝⎭， 对上等式左右同时取倒数可得22
441105
2m m n m n
+++= 即224152m m m n -++=，5
02n
>Q ，22
41
0m m m
-++∴>，只需要2410m m -++>， 所以(2m ∈，因为*m N ∈，所以m 可以取值1,2,3,4
讨论：①当1m =时，带入22
4152m m m n -++=，58
n =，不满足*
n N ∈，所以此时不存在. ②当2m =时，带入22
415
2m m m n
-++=，2n =，满足*n N ∈，但是不满足,m n 为不同整数的条件，所以此时也不存在.
③当3m =时，带入22
4152m m m n -++=，45
8n =，不满足*n N ∈，所以此时不存在. ④当4m =时，带入22
4152m m m n
-++=，40n =，满足*
n N ∈，所以存在. 综上所述，存在4,40m n ==满足2,,m n T T T 成等比数列. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得212121
212121333,,323232
m n t m n t m n t c c c ------===+++，且2n m t =+，
因为,,m n t c c c 成等比数列，所以2
n m t c c c =⋅，
将212121212121333,,323232m n t m n t m n t c c c ------===+++带入上式可得：2
212121
2121
21333323232n m t n m t ------⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭
将2n m t =+带入上式化简得：2121212333n m t ---⋅=+
不妨设m n t <<，则2121212121212123333333n m t n m t n -------⋅=+⇔-=-，即()()
21222122331331m n m n t n ----⋅-=⋅-
220n m ->Q 且*22n m N -∈
所以上式左端因式2231n m --不含因数3，同理上式右端因式2231t n --不含因数3.
而上式左端含有因数3的次数为21m -次，上式右端含有因数3的次数为21n -次
2121m n -≠-Q ，所以()()21222122331331m n m n t n ----⋅-≠⋅-，所以方程无解
综上所述，不存在互不相等的正整数,,m n t ，使得,,m n t 成等差数列，且,,m n t c c c 成等比数列.。