密克定理是几何学中关于相交圆定理(20210219103725)

密克定理是几何学中关于相交圆的定理。

1838年，奥古斯特·密克表达并证明了数条相关定理。

许多有用的定理可由其推出。

定理陈述
三圆定理：设三个圆C1,C2,C3交于一点O，而M,N,P,分别是C1和
C2,C2和C3,C3和C1的另一交点。

设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。

那么B,N,C这三点共线。

逆定理：如果△ABC是三角形，M,N,P三点分别在边AB,BC,CA上，那么三角形△APM,△BMN,△CNP的外接圆交于一点O。

完全四线形定理：如果ABCDEF是完全四线形，那么三角形△EAD,△EBC,△FAB△FDC的外接圆交于一点O，称为密克点。

四圆定理：设C1,C2,C3,C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是
C3,C4的交点，A4和B4是C1和C2的交点。

那么A1,A2,A3,A4四点共圆当且仅当B1,B2,B3,B4四点共圆。

五圆定理：设ABCDE为任意五边形，五点,F,G,H,I,J分别是
EA和BC,AB和CD,BC和ED,CD和EA，DE和AB的交点，那么三角形△ABF,△BCG,△CDH,△DEI.△EAJ的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。

逆定理：设C1,C2,C3,C4C5五个圆的圆心都在圆上C，相邻的圆交于C上，那么把它们不在 C上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。

葛尔刚点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于F、D、E，那么AD、BE、CF三线共点，此点即为葛尔刚点
Newton'sTheorem
特指平面几何中的牛顿定理
牛顿线：和完全四边形四边相切的有心[1]圆锥曲线的心的轨迹是一条直线,是完全四边形三条对角线
中点所共的线。

〔涵盖了圆外切四边形的对角线中点连线过圆心的定理)
牛顿定理1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。

这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N证明：
取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q
牛顿定理 1
R,L,Q共线
QL/LR=EA/ABM,R,P共线RM/MP=CD/DEN,P,Q共线PN/NQ=BF/FC三式相乘
得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC由梅涅劳斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1
由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N 三点共证毕故牛顿定理1成立
牛顿定理2圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线
A
C 和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。

牛顿定理2图
显然，S△BEI=-S△BIC+S△CEI+S△BCE，而S△DEI=-S△ADE+S△AIE+S△AID。

注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△A ID=1/2*S
四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD
即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，
S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S
△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过
点I，故结论成立。

证毕。

牛顿定理3圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交
点重合。

证明:设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI‘=∠BFI’
因此易知AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'
故AI'/CI'=AH/CF.
同样可证:AI/CI=AE/CG
又AE=AH,CF=CG.
故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.
从而I,I' 重合.即直线AC,EG,FH交于一点.
同理可证:直线BD,EG,FH交于一点.因此直线AC,BD,EG,FH交于一点.证毕。

等角共轭点：描述一：三角形内一点P,过A做直线L1与AP关于角A的角平分线对称,同样过B,C分别做L2,L3.这三条直线交于P1,那么P1是P的等角共轭点；
描述二：设P、Q是三角形ABC内两点，∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA,
满足题设条件的两点P、Q称为△ABC的等角共轭点。

圆内接四边形与外切四边形
当四边形与其它的知识点综合在一起时，其内容丰富多彩。

在本节，我们主要介
绍圆内接四边形与外切四边形的内容。

对于圆内接四边形与外切四边形，显然有以下的性质：
1．圆内接凸四边形的对角互补；圆内接接凹四边形的对角相等。

2．圆内接凸四边形的一个外角等于其不相邻的内对角。

3．圆外切四边形的对边之和相等。

O'
O
命题1如图，证明
O(AB,
CD)
O(AB,CD)。

D
A
C
B
证明：根据交比的定义和圆的性质，得
4．托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和等于对角线之积。

证明一在BD上选一点E，使得∠BAC=∠EAD。

D
在ABC和AED中，
∵∠BAC=∠EAD，∠BCA=∠EDA
∴ΔABC∽ΔAED，
∴BC AC，即ED ADBC。

〔1〕
ED AD AC 在ABE和ACD中，
∵∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD
∴ΔABE∽ΔACD，
∴AB
BE，即BE ABCD。

〔2〕A
C C
D AC 〔1〕+〔2〕得
ADB
C ABCD
A C
BEEDBD，
A
C
即ABCD ADBC ACBD。

C
E A
B
D
X
C
A
B
A
证明二如图，因为X(BC,AD)+X(BA,CD)=1，即
B
D
C
由正弦定理得
E
即ABCD ADBC ACBD。

M
F
5．圆内接凸四边形的密克点在一条对边交点的连线上。

证明：如图，设M是密克点，连CM、EM、FM，那么
∠CME=∠CBA=∠BCA=∠CDF=180–∠CMF
所以E、M、F共线。

例圆内接四边形对边交点连线的平方等于由此二点向圆所作切线的平方和。

证明：如图，作四边形ABCD的密克点，即BCE和CDF的外接圆的交点M，那么
M在EF上。

从而有
例1如图,〔CD，PQ〕=–1。

证明：根据命题1知A(AB，CD)=B(AB，CD)，
即〔PQ，CD〕=〔QP，CD〕。

所以〔PQ，CD〕=–1。

本结论可表达为：过圆外一点P任作割线PCD，那么C、D、P的第四调和点在一条
定直线上。

命题2如图，PC，PD是切线，OP是圆的直径，过 Q任作一弦AB，求证：PO平
分∠APB。

证明：因为PC，PD是切线，所以PQQO PC2AQQB，
所以O、A、P、B四点共圆，所以
APO=∠ABO=∠BAO=∠BPO，
即PO平分∠APB。

例2过圆内一点P任作直线交圆于A、B两点，那么A、B、P的第四调和点Q在一条定直线上。

证明：如图，过H作HQ垂直于OP交AB于Q，那么根据
命题2知HO平分∠AHB，但HQ⊥HP，从而HQ也是∠AHB的平分线。

根据角平分线的性质知，AB，PQ〕=–1。

所以A、B、P的第四调和点在一条定直线上。

本结论可表达为：过圆内一点P任作割线PCD，那么C、D、P的第四调和点在一条
定直线上。

定义过一点P作直线交圆于A、B，那么A、B、P的第四调和点称为P〔关于圆〕的共轭点。

根据例1和例2知，我们有
定理点P的共轭点的轨迹lp是一条直线。

注：我们称lp是P的极线，而P称为lp的极点。

当点P在圆上时，规定P的极线为过P的切线，
而切线的极点就是切点。

当点P在圆外时，P的极线就是P的切点弦所在的直线。

例3设⊙O与直线l相离，过l上的点P作⊙O的切线PA、PB，那么切点A、B的
连线过定点。

证明：连AB，过O作
OH⊥l于H，且交AB于K。

A
O
∵O、A、P、H共圆，
K
B
∴∠OBK=∠OPA=∠OPB=∠OHB，
P H l
∴ΔOHB∽ΔOBK
2 2
∴OB=OK?OH，即R=OK?OH〔其中R是⊙O的半径〕，从而K是一个定点，即AB过一个定点。

问题探索：〔1〕本命题可表达为：共线点的极线共点。

2〕当l与圆相切时，结论是否仍成立？
3〕当l与相交时结论是否成立？
〔分析：过O作l的垂线，垂足为H，那么O、H、B、
P、A共圆。

如图，∠BHK=∠BPO=∠APO=∠ABO，
故∠OHB=∠OBK，从而OHB∽ΔOBK。

所以OHOBOBOK
，即OK为常数。

所以P的切点弦通过一个定点。

〕
〔4〕在〔3〕中，当P进入圆的内部时，情形会起什么变化？
例4过圆外一点H任作一条割线交圆于两点A、B，求证：A、B处的切线的交点
在一条定直线上。

证明：任作一条割线 HAB，交⊙O于A、B，过H作切线PHC，
C是切点，作CK⊥OH于K，那么B
A
H
K O
C
2 HK?OH=HC=HA?HB
∴O、K、B、A共圆，
∵O、A、P、B共圆，
∴O、K、B、A、P共圆，
∴OH⊥KP。

由此即得P在过K且垂直于OH的直线〔即H的切点弦〕上，所以所有的
P共线。

问题探索P
B
〔1〕本命题可表达为：共点线的极点共线。

H
O
K
〔2〕当H点在圆上时，结论是否成立？
A
C
〔3〕当H在圆内时，结论是否成立？
〔分析：如图，过H作OH的垂线交圆于C，作C处的切线
交OH的延长线于K，那么
KHHOHC2AHBH，
所以O、A、K、B、P共圆，故PK垂直于OH。

但K是固定点，所以P在一条定直线上。

〕
4〕当HAB与圆相离时，情形会起什么变化？定理共线点的极线共点，共点线的极点共线。

定理过圆的内接四边形一组对边的交点作圆的切线，那么两个切点，另一组对边
的交点，及对角线的交点，四点共线。

证明：如图，根据完全四边形的调和性可知P的极线就是QR，另一方面，P的极线就是P的切点弦XY。

所以Q、R、X、Y共线。

定理圆内接四边形一组对边的端点处切线的交点，对角线交点及另一组对边的
交点，四点共线，且它们互相调和分割。

证明：如图，因为Q的极线是PR，故Q与R是一对共轭点，同理P与R也是一对共轭点，故R的极线是PQ，即PQ的极点是R。

因为PAB的极点为T，PDC的极点为S，
PR的极点Q，PQ的极点R，而共点的极点共，所以Q、T、R、S共。

同理
有P、U、R、V共。

AD与PR的交点X，〔AD，QX〕=–1，从而在中心U的投影下有
TS，QR〕=〔AD，QX〕=–1。

P
由此定理可得，
A U D
麦克林定理外切四形的Q角，切点的，四共点S，且角
T R
和分割切点的。

例
B
练习A〔切点弦专题〕
C
V
1．⊙O与直l相离，l上的点Ｐ作⊙O的切ＰＡ、ＰＢ，切点Ａ、Ｂ
的定点。

2．⊙O外有n个共点Pi(i=1,2, ⋯⋯，n)，Pi作⊙O的切，切点Ａi，
Bi，直ＡiBi共点。

3．外一点任作一条割交于两点，两点的切的交点在一条定直上。

4．外一点P作的切PA、PB，切点A、B，AB、OP交于K。

K任作一
弦CD，OH平分∠CHD。

5．P外一点，任作的直径ＡiBi，PＡiBi的垂心在一条定直上。

6．H角ABC的垂心，由A向以BC直径的作切AP、AQ，切点P、Q，
求：P、H、Q三点共。

〔1996年，CMO〕
7．直m〔不心〕与⊙O相交，m在外的点作的两条切，切点A、B，AB与OK交于定点〔其中OK⊥m于K〕。

8．⊙O内任一点K作弦ＡiBi〔直径除外〕，再Ai、Bi分作的切交于Pi，所有Pi共。

9．设K是⊙O直径MN上异于O的一点，过K任作一弦ＡiBi，连ＡiM、BiN交于
Pi，那么所有Pi共线。

10．设K是圆内异于圆心的任一点，过K作两条不等的弦ＡiBi，CiDi，连AiCi、BiDi交于Pi，那么所有Pi共线。

11．设AB是圆O的直径，直线m过K且与AB垂直，Qi为m上任一点，连AQi、
BQi分别交圆于Di、Ci，那么CiDi共点。

12．设P是圆外定点，过P任作两条不相等的割线PDiAi、PCiBi。

设ＡiBi、CiDi
交于
Qi，那么所有Qi共线。

13．四边形ABCD内接于圆，其边AB和CD的延长线交于点P，AD与BC的延长
线
交于点Q，由Q作圆的两条切线QE、QF，切点为E、F，求证P、E、F三点共线。

14．设n为过圆心的一条直线。

过圆内异于圆心的任一点K，在直线n的同侧作
直线
AK、BK分别交圆O于A、B，使它们与直线n成等角，那么AB与n交于定点H。

15．过圆外一点H作割线HBA〔直径除外〕，试问OH上是否存在一点K，使∠
BKH=
AKO。

16．如图，A为平面上两半径不等的⊙O1和⊙O2的一个交点，两外公切线
P1P2，
Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2；M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点，求证：∠O1AO2=∠
M1AM2。

17．设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四个不同点，分别以AC、BD为直径的
两圆相交于X和Y，直线XY交BC于Z。

假设P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的
圆相交于C及M，直线BP与以BD为直径的圆相交于B及N。

证明：AM、DN、XY三线共点。

18．如图，设PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，割线PEC交AB于D，假设PE=2，CD=1，求DE的长。

19．直线AB与圆相切于B，弦CD经过AB的中点M，直线AC交圆于E，AD交圆于F，证明：EF//AB。

20．在直角ABC中AB为斜边，CH为斜边上的高，以AC为半径作⊙A。

过B作⊙A的任一割线交⊙A
于D、E，交CH于F〔D在B、F之间〕，又作∠ABG=∠ABD，G在⊙A上，G与D在AB异侧，求证：E、H、
G共线。

练习B
1．四边形的每双对边的中点连线及对角线中点连线互相平分。

2．假设四边形的两对角线互相垂直，那么一双对边的平方和等于另一双对边的和。

3．四边形对边中点连线的平方和，等于两对角线平方和的一半。

4．顺次连接简单四边形各边中点所成四边形的面积等于原四边形面积的一半。

5．在凸四边形ABCD中，设E、F、G、H各是四边AB、BC、CD、DA的中点，I、J分别是对角线AC、BD的中点。

作直线IO//BD，JO//AC，求证：SOHAE=SOEBF=SOFCG=SOGDH。

6．凸多边形的内角不能有多于三个的锐角。

7．凸四边形中，假设一双对边的平分线或平行或重合，那么他双对角相等；反之，
假设一双对角相等，那么另一双对角的平分线平行或重合。

8．设四边形ABCD有内切圆，那么ABC与CDA的内切圆相切，BCD与DAB
的内切圆也相切。

9．在圆内接四边形
22222 ABCD中，假设AC平分CD，那么AB+BC+CD+DA=2AC。

10．设四边形ABCD有内切圆或旁切圆⊙O，那么⊙AOB与⊙COD、⊙AOD与⊙BOC分别相切。

11．设四边形有一双对边相等，那么它双对边的中点连线与该双对边所在直线的交角相等。

12．设一直线与圆内接四边形一双对边所在直线交成相等的同侧内角，那么变与他双对边所在直线交成相等的同侧内角。

13．四点两两连成四个三角形，求证它们的内切圆中任两圆的公切线等于它两
圆的公切线，但这些公切线以落在各连线上面的为限。

14．既有内切圆又有外接圆的四边形其对边切点的连线必互相垂直。

15．设四边形无外接圆，两双对边的中垂线垂直相交，那么这两交点的连线垂直于两对角线中点的连线。

16．以一简单四边形的每边向外作正方形，求证对边上二形的中心连线垂直并
且相等。

17．高逡一圆内接四边形每双对边所在直线的交角的平分线，那么所作四线交成一个矩形。

18．圆上四点两两连成四个三角形，它们的内心是一个矩形的顶点。

19．在四边形ABCD中，设AD≠BC，内外分AB边于E、F，又内外分CD边于G、H，使
E
A F
A
G
D
H
D
A
D
，
E
B F
B
G
C
H
C
BC
求证：EG⊥FH。

20．设四边形ABCD内接于一圆，作弦AE及BF，假设AE//BD且BF//AC，那么EF//CD。

21．ABCD是圆内接四边形，过A、B任作一圆交直线AD、BC、AC、BD于E、F、
G、H，那么CD//EF//GH。

22．ABCD是圆内接四边形，过A、B任作一圆交直线AD、BC、AC、BD于E、F、G、H，设BE与AC，AF
与BD，BG与AD，AH与BC交于E′、F′、G′、H′，那么CD//E′F′//G′H′。

23．设四边形有一角是直角且对角线相等，那么对边的中垂线交点与该直角的顶点共
线。

24．在圆内接四边形中，设每边两端所引邻接边的长线相交，那么所得四交点与四边
形的对角线交点及外接圆心共线。

24．；圆上四点两两连成四个三角形，它们的内心、旁心合计十六点分配在八条直
线上，每线上四点，而这八线是两组互相垂直的平行线，每组含四线。

25．设四边形ABCD内接于圆O，且AC⊥BD，那么 OAB、OBC、OCD、ODA的垂心
共线。

26．圆内接四边形的一双对边〔所在直线〕交角的平分线，与他双对边〔所在直线〕
交角的平分线分别垂直，两垂足与两对角线的中点组成调和点列。

27．设自四边形的对角线的交点引直线平行于每边而与对边〔所在直线〕相交，那么
四交点共线。

28．在四边形ABCD中，A′、C′是AC上的两点，B′、D′是BD上的两点。

假设A′B′//AB，
B′C′//BC，C′D′//CD，那么D′A′//DA，且A′B′与CD，B′C′与DA，C′D′与AB，D′A′与BC的交点共线。

29．在四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，一直线交AB、BC、CD、DA于E、F、G、
H，连EO、FO、GO、HO，设依次各交CD、DA、AB、BC于E′、F′、G′、H′，求证这四交
点共线。

30．在四边形ABCD中，A′、C′是AC上的两点，B′、D′是BD上的两点。

假设A′B′与AB、B′C′与BC、C′D′与CD的交点共线，那么D′A′与DA的交点也在此线上，且A′B′与CD，B′C′与DA，
C′D′与AB，D′A′与BC的交点共线。

31．在一个四边形中，假设有一双对角的平分线与另一对角线共点，那么它双对角的平
分线也与另一对角线共点。

32．在二对角互相垂直的四边形中，过对角线交点向每边作长线，得四垂足，并设
所作垂线又与对边相交，得四交点，那么所得八点共圆。

33．假设一个四边形有等角共轭点，那么这双等角共轭点在各边〔所在直线〕上的射
影必共圆。

34．凸四边形各外角的平分线顺次相交，那么所得四交点共圆。

35．P是四边形ABCD的对角线交点，设⊙PAB与⊙PCD交于Q，⊙PAD与⊙PBC交于R，
那么P、Q、R三点与AC、BD的中点，五点共圆。

36．圆内接四边形两对角线的中点，在四边中点所连成的平行四边形各边〔所在直
线〕上的射影八点共圆。

37．设圆内接四边形的两对角线互相垂直，那么其交点在四边上的射影与四边的中点，
八点共圆。

38．在四边形ABCD中，AC⊥BD，A′、C′是AC上的两点，B′、D′是BD上的两点。

假设
A′B′⊥AB、B′C′⊥BC、C′D′⊥CD，那么D′A′⊥DA，且四垂足及A′B′与CD，B′C′与DA，C′D′与AB，D′A′与BC的交点，八点共圆。

39．平面上无三点共线的四点两两相连所的四个三角形，它们的九点圆共点。

40．一个完全四边形中包含三个四边形〔凸的、凹的、折的各一个〕，每个四边形
的对边都叫作完全四边形的对节。

通过完全四边形每双对节的中点及它们所在边的交点作圆，证明所得六圆共点。

41．设P、P′是四边形ABCD的等角共轭点，求证：
1〕四圆⊙PAB、⊙PBC、⊙PCD、⊙P′DA会于一点Q；
2〕四圆⊙P′AB、⊙P′BC、⊙P′CD、⊙PDA会于一点Q′；
（3〕Q与Q′也是四边形的等角共轭点。

42．设四边形ABCD内接于⊙O，P是AC与BD的交点，求证：
1〕四圆⊙OAB、⊙PBC、⊙OCD、⊙PDA共点；
2〕四圆⊙PAB、⊙OBC、⊙PCD、⊙ODA共点。

43．在一完全四角形中，依次除掉一双对边，然后通过余四边所成的完全四边形的
密克点及所除两边之一的两端作圆，证明所得六圆共点。

44．在一完全四角形中，求证以下八圆共点：
1〕通过共顶点三边的中点所作的圆，共四圆；
2〕通过每双对边的中点及在这两边上的对角点所作的圆，共三圆；
3〕通过每双对边的中垂线交点所作的圆。

45．在圆内接四边形ABCD中，设每双对边的和各m和n，两对角线的和为l，BCD、
CDA、DAB、ABC的内切圆直径分别为d1、d2、d3、d4。

求证：(l-m)(l-n)=d
1d3+d2 d4。

46．设ABCD是圆内接四边形，那么AC DAAB
B
C CD。

BD ABBC
C
D DA
47．圆内接四边形的四边长为a、b、c、d，试求两对角线的长。

48．设凸四边形ABCD内接于⊙O〔R〕，而AE是⊙O中平行于BD的弦，那么该四边形
AC BD CE
的面积为S 。

49．同时有外接圆和内切圆的四边形的面积告示于四边连乘积的平方根。

50．假设凸四边形的对边乘积之和等于对角线之积，那么此四边形必有外接圆。

51．完全四边形各边所成的四个三角形的垂心同在一条平行于西摩松线的直线〔此
直线称为完全四边形的垂心线〕上。

52．完全四边形的牛顿线垂直于西摩松线及垂心线。

53．完全四边形的密克点至每双对顶点的距离之积彼此相等。