数学《实数的完备性》讲义

第七章实数的完备性
1. 教学框架与内容
教学目标
①掌握实数集完备性的基本定理内容．
②掌握实数集完备性的基本定理等价性证明．
③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.
教学内容
①实数完备性基本定理内容及其之间的相互等价性．
②有界闭区间上连续函数性质的证明.
2. 重点和难点
①正确理解基本定理的含义及适用范围.
②基本定理等价性证明.
③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.
3. 研究性学习选题
● 完备性基本定理的应用, 以区间套定理和有限覆盖定理为例.
小组进行一次交流：叙述实数完备性基本定理的应用.
●举例用不同完备性定理证明同一命题, 体会不同完备性定理的奥妙之处. 进行一次研讨：举一例说明不同完备性定理的不同应用.
4. 综合性选题, 写读书笔记
■整理完备性定理等价性证明.
■整理每个完备性定理适用范围.
5. 评价方法
◎课后作业，计10分.
◎研究性学习布置的两个选题合计30分.
●完备性基本定理的应用（计15分）
●用不同完备性定理证明同一命题（计15分）
◎读书笔记计60分.
●完备性定理等价性证明总结（计30分）
●完备性定理适用范围总结（计30分）
§1 实数基本定理的陈述
一、确界原理
定理1 非空有上(下)界数集必有上(下)确界.
二、单调有界原理
定理2 单调有界数列必收敛.
例 1 确界原理⇒单调有界原理.
三、闭区间套定理
1、 区间套
设{[,]}n n a b 是一闭区间序列，若满足条件
1) 对任意n ，有11[,][,]n n n n a b a b ++⊂，即
11n n n n a a b b ++≤≤≤，
2) lim 0n n n b a →∞
-=，即n →∞时，区间长度趋于0， 则称该闭区间序列为一个(递缩)闭区间套，简称为区间套，区间套还可表示为
1221n n a a a b b b ≤≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤≤.
注 1 区间套{[,]}n n a b 涉及两个数列{},{}n n a b ，其中{}n a 递增，{}n b 递减且{}n a 有 上界1b , {}n b 有下界1a ，从而由单调有界原理{},{}n n a b 均收敛，不妨设n a a →，n b b →. 故a b ≤且由0n n a b -→有b a =.
2、区间套定理
定理3 若{[,]}n n a b 是一个区间套，则存在唯一R ξ∈，使得n N ∀∈，[,]n n a b ξ∈，即区间套必有唯一的公共点.
例 2 单调有界定理⇒区间套定理. (注意唯一性)
注 2 若区间套{[,]}n n a b ，n n b a -→0，则应有何结论……
推论 设ξ为区间套{[,]}n n a b 所确定的点，则对任给0ε>，存在N ，
使得n N >时， [,](,)n n a b U ξε⊂.
注 3 区间套定理中，区间套均为闭区间，而对开区间套未必成立，如11{(0,)}n n
∞
=. 例 设{(,)}n n a b 是一个严格开区间套，即
1221n n a a a b b b <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<⋅⋅⋅<<,
且lim 0n n n b a →∞
-=，证明: 存在唯一的R ξ∈，使得(,)n n a b ξ∈,n N ∀∈.
四、Cauchy 收敛准则
1、基本列 (Cauchy 列)
若数列{}n a 满足0ε∀>，存在N ∈N ，使得,m n N ≥时m n a a ε-<, 则称{}n a 为基本列或Cauchy 列.
注 3 {}n a 为Cauchy 列0,,,,n p n N n N p a a εε+⇔∀>∃∈N >∀∈N -<.
例 证明 1) 20.9sin0.90.90.9n n x =+为Cauchy 列 2) 22211112n a n
=++⋅⋅⋅+为Cauchy 列. 例 不用Cauchy 准则证明:
1) Cauchy 列必为有界列.
2) 若Cauchy 列有收敛子列,则其本身必收敛.
2、Cauchy 收敛准则
定理 4 数列{}n a 收敛⇔{}n a 为Cauchy 列
例3 区间套定理⇒Cauchy 收敛准则.
1、聚点
设S R ⊂为数集，ξ为定点(ξ可能属于S ，可能不属于S )，若ξ的任何 邻域内均含有S 的无穷多个点，则ξ称为S 的一个聚点.
例 1) 1{,}E n N n
=∈有唯一聚点0. 2) [0,1)的聚点集为[0,1].
3) [0,1)中的有理数的聚点集[0,1].
4) 有限点集无聚点.
2、聚点等价条件
ξ为S 的聚点
00,(,)S εξε⇔∀>≠∅(ξ的任何邻域内中有S 中异于ξ的点);
⇔S 中存在异于ξ的点列{}n a ，n a ξ→;
⇔S 中存在互不相同的点列{}n a ，n a ξ→.
例 设S 为有上界集，sup S S ∉，则{},sup n n a S a S ∃⊂→.
[sup S S ∉，则sup S 为S 的一个聚点]
定理5 (Weierstrass定理)实数中任一有界无限点集S至少有一个聚点. 例 4区间套定理⇒聚点定理.
推论有界数列必有收敛子列----致密性定理.
六、致密性定理
定理6有界数列必有收敛子列.
例 5致密性定理⇒Cauchy收敛准则.
七、(Heine Borel -)有限覆盖定理
1、开覆盖
设开区间族{(,),}G I a b λλλλ==∈∧(∧为一指标集)，设S 为一数集，若对任,x S λ∈∃∈∧，使x I λ∈，则称区间族G 覆盖了S ，或称区间族G 是数集S 的一个覆盖，记作(,)S a b λλλ∈∧⊂
.
若∧为有(无)限集，则称覆盖为有(无)限覆盖S .
若∑为的∧子集，且{(,),}a b λλλ∈∑也覆盖S ，则称{(,),}a b λλλ∈∑为G 的一个子覆盖. 特别地，若∑是有限集, 则称为G 的一个有限子覆盖.
例 1) {(,),(0,1)}22
x x G x x x =-+∈覆盖了区间(0,1)，但其不能覆盖[0,1]？ 2) 若f 在(,)a b 上连续，则0ε∀>，对每一个(,)x a b ∈都存在正数 (,)0x x δδε=>，使得当'(,)(,)x x x x U x x x δδδ∈=-+有(')()f x f x ε-<， 从而开区间族{(,x G x x δ=-),(,)}x x a b δ+∈就为(,)a b 上的一个无限开覆盖.
一般称(,)x I x x x x δδ∈⋃-+为I 上的一个自然覆盖.
2、有限覆盖定理
定理7 设G 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖，则可从G 中选中有限子覆盖来覆盖[,]a b .
例 6 闭区间套定理⇒有限覆盖定理.
§2 完备性定理等价性证明
确界原理 ?⇐ Cauchy 收敛准则 ⇐ 致密性定理
⇓ ⇑ ⇑
单调有界定理 ⇒ 区间套定理 ⇒ 聚点定理
⇓ ?⇑
有限覆盖定理 ⇒
例 7 Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理.
例 8 有限覆盖定理⇒聚点定理.
例 9 聚点定理⇒区间套定理.
例 10 Cauchy 收敛准则 ⇒ 有界单调定理.
实数完备性命题都可以用于确定某个具有某种性质的点.
1、 单调有界定理与Cauchy 收敛准则通常用于判断数列的收敛性. (即收敛数列的极限点).
2、 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点.
3、 致密性定理是同聚点原理一般将数列过渡到子列
(可要求子列具有某种收敛性).
4、 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点性质(局部性质).方法是 假设I 具有某种性质P ，对分I ，得到两个子区间，可要求其一必须仍满足性质P ，如此可得到区间套{}n I 及公共点α，由α的任一邻域必包含某n I ，则得到的任一邻域具有性质P .
5、 有限覆盖定理主要在于把局部性质扩展成整体性质。

方法是 设有界闭区间A 的每个点有邻域具有性质P ，所有邻域∑集自然覆盖A ，因而有有限个邻域覆盖A ，当性质P 可以从有限个集扩展到并集上，A 即有性质P .
例 11用七个实数完备性定理分别证明:
若f在[,]
a b上有界.
a b上每一点局部有界, 则f在[,]
§3 闭区间上连续函数性质证明
一、有界性定理
定理1若函数f在[,]
a b上有界.
a b上连续，则f在[,]
1) 用区间套定理.
2) 用致密性定理.
3) 用有限覆盖定理.
二、最值性定理
定理2若函数f在[,]
a b上必有最大值和最小值.
a b上连续，则f在[,]
1) 用确界原理.
2) 用致密性定理.
三、介值性定理
ξ∈，定理3(零点定理)设f在[,]
f a f b<，则存在(,)
a b上连续，且()()0
a b
使得()0
fξ=.
1) 用区间套定理.
2) 用确界原理.
3) 用有限覆盖定理.
四、一致连续性
定理4若f在[,]
a b上一致连续.
a b上连续，则f在[,]
1) 用致密性定理.
2) 用有限覆盖定理.
例 1 设f 在[,]a b 上严格增，()f a a >，()f b b <，证明：在(,)a b 上存在x ， 使得 ()f x x =.
例 2 证明：{}n x 为有界数列⇔{}n x 的任一子列都存在收敛子列.
例 3 设f 在[,]a b 上连续，又有{}[,]n x a b ⊂，使得lim ()n n f x A →∞=，证明： 存在0[,]x a b ∈，使得0()f x A =.
例 4 设f 定义在(,)a b 上，若对(,)a b 上任一收敛数列{}n x 极限lim ()n n f x →∞都存在， 则f 在(,)a b 上一致连续.
例 5 设f 在[,)a +∞上连续，且有渐近线，即存在数b 与c , 使得 lim ()()0x f x bx c →+∞-+=, 则f 在[,)a +∞上一致连续.
1. 设f为R上连续的周期函数, 证明: f在R上有最大值与最小值.
2. 设I为有限区间, 证明:若f在I上一致连续, 则f在I上有界. 并举例说明
此结论当I为无限区间时不一定成立.
3．证明:
x x
x f
sin )
(=在)
,0(+∞上一致连续.
4．试用有限覆盖定理证明根的存在定理.
5．证明: 在)
,
(b
a上的连续函数f为一致连续的充要条件是
)0
(+
a
f与)0
(-
b
f都存在.。