复变函数课件6-2分式线性映射

够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
分式线性映射的积分
定义
应用
分式线性映射的积分是指在复平面上 的一条曲线上的积分，表示该映射在 曲线上的累积效果。
分式线性映射的积分在研究函数的性 质、曲线和曲面的几何形状等方面有 重要应用。
计算方法
分式线性映射的积分可以通过定积分 的方法计算，具体计算过程涉及到复 平面上的曲线、定积分等概念。
解答3
对于题目3，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 2z + 2} = frac{1}{(z - 1)^2 + 1} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 1 + i}right)$，然后根据留数的定义，得到在 $z = 1 + i$和$z = 1 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
旋转
将复平面上的点逆时针旋转 $theta$ 角度，对应的分式线性映射为 $f(z) = e^{i theta} z$。
02
分式线性映射的导数和积分
分式线性映射的导数
定义
分式线性映射的导数是指在复平面上的每一点处，该映射对复平 面上任意一点的变化率。
计算方法
分式线性映射的导数可以通过求极限的方法计算，具体计算过程涉 及到复平面上的点、向量、极限等概念。
运算规则
分式线性映射由形如 $f(z) = frac{az + b}{cz + d}$ 的函数表示，其中 $a, b, c, d$ 是复数，并且 $ad - bc neq 0$。
分式线性映射的性质
线性性质
分式线性映射满足线性性质，即对于任意两个复数 $z_1, z_2$ 和任意实数 $k$，有 $f(k z_1 + z_2) = k f(z_1) + f(z_2)$。
推广到非线性映射
将分式线性映射的非线性特性进一步发挥，以实 现更复杂的非线性变换。
推广到离散化形式
将分式线性映射离散化，以处理离散数据和数字 信号的变换。
分式线性映射扩展和推广的例子
分式线性映射在图像处理中的应用
通过扩展和推广分式线性映射，可以实现图像的缩放、旋转和平移等几何变换，以及图像增强和去噪等处理。
连续性和可微性
分式线性映射在复平面上通常是连续的，并且在除去有限 个点之外是可微的。
保角性
分式线性映射保持角度不变，即如果 $z_1$ 和 $z_2$ 之间的角度 为 $theta$，那么 $f(z_1)$ 和 $f(z_2)$ 之间的角度也为 $theta$
。
分式线性映射的例子
平移
将复平面上的点 $z$ 向左或向右平移一个单位，对应的分式线性映射为 $f(z) = z + 1$ 或 $f(z) = z - 1$。
分式线性映射的导数和积分的例子
例子1
考虑函数$f(z) = frac{z^2}{z - 1}$， 求其在点$z = 1$处的导数。
例子2
考虑函数$f(z) = frac{1}{z}$，求其在 曲线$|z| = 1$上的积分。
03
分式线性映射的应用
分式线性映射在几何学中的应用
分式线性映射可以用于研究几何图形 之间的变换关系，例如平面上的相似 变换、仿射变换等。
分式线性映射在工程学中的应用
在电路分析中，分式线性映射可以用 于描述电路中电压和电流的分布和变 化，帮助工程师理解和设计电路。
在图像处理中，分式线性映射可以用 于图像的缩放、旋转和平移等操作， 实现图像的变换和编辑。
04
分式线性映射的扩展和推广
分式线性映射的扩展
定义域的扩展
01
将分式线性映射的定义域从有限区域扩展到无限区域，使其能
THANKS
感谢观看
复变函数课件6-2分式线性映射
contents
目录
• 分式线性映射的定义和性质 • 分式线性映射的导数和积分 • 分式线性映射的应用 • 分式线性映射的扩展和推广 • 分式线性映射的习题和解答
01
分式线性映射的定义和性质
分式线性映射的定义
定义
分式线性映射是复平面上的一个变换 ，由一个复数域上的非零复数和复平 面上的一个点通过特定的运算规则构 成。
设$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3}$，求$f(z)$在$z = 2 + i$和 $z = 2 - i$的留数。
设$f(z) = frac{1}{z^2 - 2z + 2}$，求$f(z)$在$z = 1 + i$和 $z = 1 - i$的留数。
分式线性映射习题和解答的例子
例题
设$f(z) = frac{sin z}{z^3}$，求$f(z)$在 原点处的留数。
VS
分析
首先化简$f(z) = frac{sin z}{z^3} = frac{1}{z^2} times frac{sin z}{z}$，然后 根据留数的定义，得到在原点处的留数为 $lim_{z to 0} frac{sin z}{z} = 1$。
分式线性映射可以帮助理解几何学中 的一些基本概念，如距离、角度、面 积等在变换下的表现形式。
分式线性映射在物理学中的应用
在量子力学中，波函数通常通过分式线性变换进行描述，分式线性映射可以用于理解波函数的性质和 行为。
在光学中，分式线性映射可以用于描述光在不同介质之间的传播和变换，例如折射和反射等现象。