高考数学专题03导数与应用-高考数学试题分项版解析(解析版).docx

专题3 导数与应用
1. 【2014高考安徽卷文第15题】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：
)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切
过”曲线C .
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y
x =
②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2
)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =
3. 【2014高考湖南卷文第9题】若1201x x <<<，则（ ）
A.2121ln ln x
x
e e x x ->-
B.2121ln ln x x
e e x x -<-
C.1221x
x
x e x e >
D.1221x
x
x e x e <
①②解得1,
2,
a b =-⎧⎨
=-⎩所以3a b +=-．
【考点】导数与切线斜率．
5. 【2014高考江西卷文第10题】在同意直角坐标系中，函数22322()
2a
y ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能的是（ ）
6. 【2014高考江西卷文第11题】若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______. 【答案】(,)e e 【解析】
试题分析：因为ln 1y x '=+，设切点(,)a b ，则ln 12,,k a a e =+==又ln ,b a a e ==(,).P e e 考点：利用导数求切点
7. 【2014高考辽宁卷文第12题】当[2,1]x ∈-时，不等式32
430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[5,3]--
B ．9[6,]8
-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 【答案】C 【解析】
试题分析：不等式3
2
430ax x x -++≥变形为3
2
43ax x x ≥--．当0x =时，03≥-，故实数a 的取值
8. 【2014高考全国1卷文第12题】已知函数32
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，
则a 的取值范围是（ ）
()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-
9. 【2014高考全国2卷文第11题】若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）
（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞
10. 【2014高考上海卷文第9题】设
,0, ()1
,
0,
x a x
f x
x x
x
-+≤
⎧
⎪
=⎨
+>
⎪⎩
若(0)
f是()
f x的最小值，则a的取值范围是.
12. 【2014高考北京卷文第20题】已知函数3
()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；
（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；
（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 【答案】2(3,1)--;(3)详见解析.
【解析】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出x ，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果.
同零点”， '
()g x =2
1212x x -=12(1)x x -，
()g x 与'()g x 的情况如下：
x
(,0)-∞
0 (0,1)
1 (1,)+∞
'()g x
+ 0 -
+ ()g x
t+3
1t +
所以，(0)3g t =+是()g x 的极大值，(1)1g t =+是()g x 的极小值，
当(0)30g t =+≤，即3t ≤-时，此时()g x 在区间(,1]-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以
()g x 至多有2个零点，
当(1)10g t =+≥，1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和[0,)+∞上分别至多有1个零点，所以
()g x 至多有2个零点.
当(0)0g >且(1)0g <，即31t -<<-时，因为(1)70g t -=-<，(2)110g t =+>，
所以()g x 分别为区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和[1,)+∞上恰有1个零点.
综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是(3,1)--.
13. 【2014高考大纲卷文第21题】函数f(x)=a x3+3x2+3x(a≠0). （1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用. 14. 【2014高考福建卷文第22题】已知函数
()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线
()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.
（1）求a 的值及函数
()f x 的极值；
（2）证明：当0x >时，2
x x
e <
（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有x
x ce <
（3）思路一：对任意给定的正数c ，取01x c
=
， 根据2x x e <.得到当0x x >时，2
1x e x x c
>>
. 思路二：令1
(0)k k c
=
>，转化得到只需ln ln x x k >+成立. 分01k <≤，1k >，应用导数研究()ln ln h x x x k =--的单调性. 思路三：就①1c ≥，②01c <<，加以讨论. 试题解析：解法一：
②若01c <<，
令()x
h x ce x =-，则'
()1x
h x ce =-， 令'
()0h x =得1ln x c
=. 当1ln
x c >时，'
()0h x >，()h x 单调递增. 取02
2ln x c =，
22ln
0222()2ln
2(ln )c
h x ce
c c c
=-=-， 易知
22
ln 0c c
->，又()h x 在0(,)x +∞内单调递增， 所以当0(,)x x ∈+∞时，恒有0()()0h x h x >>，即x
x ce <.
综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x
x ce <.
考点：导数的计算及导数的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.
15. 【2014高考广东卷文第21题】已知函数()()3
2113
f x x x ax a R =+++∈. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0a <时，试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭U ，使得()012f x f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
（2）()32
32
000011111111233222f x f x x ax a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅++⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
3
23200011113222x x a x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-+-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
20000001111113224222x x x x x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=
-+++-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ 2
0000111236122x x x x a ⎛⎫⎛
⎫=-+++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()200011414712122x x x a ⎛⎫=
-+++ ⎪⎝⎭
， 若存在0110,,122x ⎛
⎫⎛⎫∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭U ，使得()012f x f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
【考点定位】本题以三次函数为考查形式，考查利用导数求函数的单调区间，从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题，并考查了利用作差法求解不等式的问题，综合性强，属于难题.
16. 【2014高考湖北卷文第21题】π为圆周率，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数x
x
x f ln )(=
的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3
π这6个数中的最大数与最小数；
（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3
π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
【答案】（1）单调增区间为),0(e ，单调减区间为),(+∞e ；（2）最大数为π3，最小数为e 3；（3）e 3，3e ，
e π，πe ，3π，π3.
【解析】
试题分析：（1）先求函数)(x f 的定义域，用导数法求函数)(x f 的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函
17. 【2014高考湖南卷文第21题】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.
（1）求
()f x 的单调区间；
（2）记i x 为
()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有
2221211123
n x x x +++<L . 【答案】(1) 单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈,
单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)对函数()f x 求导得到导函数()()'0f x x >,求()'f x 大于0和小于0的解集得到单调减区间
和单调增区间,但是必须注意正余弦的周期性和原函数的定义域()0,+∞
.
的,故()11n n x n ππ+<<+,因此, 当1n =时,
2211423
x π=<; 当2n =时,
()222121112413
x x π+<+<; 当3n ≥时,
()22222221231111111+4121n x x x x n π⎡⎤
+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
L L
()()222221*********
+51221n x x x x n n π⎡⎤⇒
+++<+++⎢⎥⨯--⎣⎦
L L 2222
21231111111
1+51221n x x x x n n π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒
+++<+-++- ⎪ ⎪⎢⎥--⎝
⎭⎝⎭⎣⎦L L 221162613n ππ⎛⎫=-<< ⎪-⎝⎭, 综上所述,对一切的*n N ∈,
222121112
3
n x x x +++<L . 【考点定位】导数 单调性 放缩法 裂项求和 18. 【2014高考江苏第19题】已知函数()x
x
f x e e -=+，其中e 是自然对数的底数.
（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()1x
mf x e
m -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）已知正数a 满足：存在0(1,)x ∈+∞，使得3000()(3)f x a x x <-+成立，试比较1a e -与1
e a -的大小，并
证明你的结论.
个幂的大小比较，我们同样适当变形，要比较它们的大小，就是要比较1a -与(1)ln e a -的大小，为此研
19. 【2014高考江西文第18题】 已知函数x a ax x x f )44()(2
2++=，其中0<a .
（1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间; （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值.
，min ()min{(1),(4)},f x f f =由于(1)8,f ≠所以2(4)2(6416)8,f a a =++=且(4)(1),f f <解得10a =-或
6a =-(舍)，当10a =-时，()f x 在(1,4)上单调递减，满足题意，综上10a =-.
试题解析：（1）定义域：
[0,),+∞而 22
22
()(84)222f x x a x x
x
x
'=++=
=
，
当4-=a 时，()f x x
'=
，由()0f x '=得2
5x =
或2x =，列表： x
2(0,)5 25
2
(,2)5 2 (2,)+∞ ()f x '
+
-
+
20. 【2014高考辽宁文第21题】已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，
1sin 2()()
11sin x x
g x x x ππ
-=-+-+.
证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2
x π
∈，使0()0f x =；
（Ⅱ）存在唯一1(
,)2
x π
π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+>.
．因此存在唯一的1(
,)2
x π
π∈，使得1()0g x =．由于10x t π=-，00x t <，所以01x x π+>．
【考点定位】１、函数的零点；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．
21. 【2014高考全国1文第21题】设函数()()21ln 12
a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0
（1）求b;
（2）若存在01,x ≥使得()01
a f x a <-，求a 的取值范围。

22. 【2014高考全国2文第21题】已知函数
32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.
（Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.
23【2014高考山东文第20题】设函数.,1
1ln )(为常数其中a x x x a x f +-+= （1）若0=a ，求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；
（2）讨论函数)(x f 的单调性.
则
1(1)21
a a
x
-+++
=，
2
(1)21
a a
x
-+-+
=，
由1121a a x a +-+=- 221210a a a ++-+=>，
24. 【2014高考陕西文第21题】设函数()ln ,m f x x m R x
=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；
（2）讨论函数()'()3
x g x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a
->><-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）当23m >
时，函数()g x 无零点；当23
m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点；（3）1[,)4+∞. 【解析】
试题分析：（1）当m e =时，()ln e f x x x
=+，易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，求出导函数()f x '，利用()f x '判定函数()f x 在定义区间内的单调性，并求出()f x 的极小值；
（2）由函数21()()(0)33x m x g x f x x x x '=-=-->，令()0g x =，得31(0)3
m x x x =-+>，
由图知：
25. 【2014高考四川文第21题】已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =L 为自然对数的底数。

（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；
（Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，证明：21e a -<<.
【答案】（Ⅰ）当12a ≤
时， ()(0)1g x g b ≥=-；当122e a <≤时， ()22ln(2)g x a a a b ≥--； 当2
e a >时， ()2g x e a b ≥--.（Ⅱ）a 的范围为(0,1). 【解析】
当2
e a >时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. （Ⅱ）设0x 为()
f x 在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知， ()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负.
故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x .
同理()g x 在区间0(,1)x 内存在零点2x .
所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）知，当12a ≤
时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2e a ≥
时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以122
e a <<.
此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增， 因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有
26. 【2014高考天津文第19题】已知函数232()(0),3
f x x ax a x R =-
>∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；
（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围
解(1)由已知有2()22(0).f x x ax a '=->令()0f x '=，解得0x =或1x a =
，列表如下： x (,0)-∞ 0 1(0,)a 1a 1(,)a
+∞ ()f x ' -
0 + 0 - ()f x ] 0 Z 213a
]
27. 【2014高考浙江文第21题】已知函数()33||(0)f x x x a a =+->，若()f x 在[1,1]-上的最小值记为()g a .
（1）求()g a ；
（2）证明：当[1,1]x ∈-时，恒有()()4f x g a ≤+.
【答案】（1）⎩⎨⎧≥+-<<=1
,3210,)(3a a a a a g ；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）因为11≤≤-x ，对实数a 分类讨论，①10<<a ，②1≥a ，分别用导数法求函数)(x f 单
调区间，从而确定()g a 的值，再用分段函数表示()g a ；（2）构造函数)()()(x g x f x h -=，对实数a 分类
故4)()(+≤a g x f ，
综上所述，当]1,1[-∈x 时恒有4)()(+≤a g x f .
考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.
28. 【2014高考重庆文第19题】已知函数2
3ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 2
1=
. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间与极值.。