2017-2018年广西桂林十八中高一(下)期中数学试卷和答案

2017-2018学年广西桂林十八中高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}
2．（5分）sin（）=（）
A．B．C．D．
3．（5分）函数的定义域是（）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）
C．（2，3）∪（3，+∞）D．（3，4）∪（4，+∞）
4．（5分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
5．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为24，30，则输出的a（）
A．2B．4C．6D．8
6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）
A．1B．C．D．2
7．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个
单位，所得函数的一条对称轴为（）
A．B．C．D．x=π
8．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与
的夹角为（）
A．πB．C．D．
9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A．2B．C．6D．
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）
A．1B．C．D．
11．（5分）函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（b x）和f（c x）的大小关系是（）
A．f（b x）≤f（c x）
B．f（b x）≥f（c x）
C．f（b x）＞f（c x）
D．大小关系随x的不同而不同
12．（5分）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，
若•≥•，则λ的取值范围是（）
A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）111正视图侧视图
俯视图
13．（5分）cos20°•cos10°﹣sin20°sin10°=．
14．（5分）设，是两个不共线的向量，且向量=2与向量=+是共线向量，则实数λ=．
15．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为，则b取值范围为．
16．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x
﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是．
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）
17．（10分）已知tanα=2，求
（1）
（2）
18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF ⊥PA？请说明理由．
19．（12分）已知向量，．
（1）若，求x的值；
（2）记，求f（x）的单调递增区间．
20．（12分）已知函数的最小正周期为π，且点为f（x）图象上的一个最低点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数，求g（x）的值域．
21．（12分）已知圆E过圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0与直线y=x的交点，且圆E上任意一点关于直线y=2x﹣2的对称点仍在圆E上．
（1）求圆E的标准方程；
（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线l与圆E交于B，C两点（异于点A），且点H（2，0）满足AH⊥l，，求直线l的方程．
22．（12分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．
（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；
（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（注：区间[p，q]的长度q﹣p）
2017-2018学年广西桂林十八中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}
【解答】解：由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，
则集合B={x|1＜x＜3}，
又集合A={1，2，3}，
则A∩B=（2），
故选：B．
2．（5分）sin（）=（）
A．B．C．D．
【解答】解：因为sin（）=﹣sin=﹣sin（6π+）=﹣sin=﹣．故选：B．
3．（5分）函数的定义域是（）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）
C．（2，3）∪（3，+∞）D．（3，4）∪（4，+∞）
【解答】解：要使原函数有意义，则，即x＞3且x≠4．
∴函数的定义域是（3，4）∪（4，+∞）．
故选：D．
4．（5分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x=cos（2x+）
所以函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是：T==π
故选：B．
5．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为24，30，则输出的a（）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=24，b=30
不满足a＞b，可得b=30﹣24=6，
满足a＞b，可得a=24﹣6=18，
满足a＞b，可得a=18﹣6=12，
满足a＞b，可得a=12﹣6=6，
此时，满足a=b=6，退出循环，输出a的值为6，
故选：C．
6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）
A．1B．C．D．2
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：
其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形
∴PB=1，AB=1，AD=1，
∴BD=，PD==．
PC═
该几何体最长棱的棱长为：
故选：C．
7．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个
单位，所得函数的一条对称轴为（）
A．B．C．D．x=π
【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos（x﹣）的图象；
再向右平移个单位，可得y=cos（x﹣﹣）=sin x 的图象．
令x=kπ+，求得x=2kπ+π，k∈Z，
令k=0，可得函数的一条对称轴为x=π，
故选：D．
8．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与
的夹角为（）
A．πB．C．D．
【解答】解：设与的夹角为θ，∵（﹣）⊥（3+2），||=||，
∴（﹣）•（3+2）=3﹣﹣2=3•﹣•||cosθ﹣2 =0，
∴cosθ=，∴θ=，
故选：D．
9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A．2B．C．6D．
【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心C（2，1）在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，
∴2+a﹣1=0，解得a=﹣1，
∴A（﹣4，﹣1），
∵过点A（﹣4，﹣1）作圆C的一条切线，切点为B，
∴|AC|==，
r==2，
∴|AB|==6．
故选：C．
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）
A．1B．C．D．
【解答】解：f（x）是R上的偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增；
∴f（32a﹣1）=f（﹣32a﹣1）；
∴由得；
∴；
∴；
∴；
解得；
∴a的最大值为．
故选：D．
11．（5分）函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（b x）和f（c x）的大小关系是（）
A．f（b x）≤f（c x）
B．f（b x）≥f（c x）
C．f（b x）＞f（c x）
D．大小关系随x的不同而不同
【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），
∴f（x）图象的对称轴为直线x=1，由此得b=2．
又f（0）=3，
∴c=3．
∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，
∴f（3x）≥f（2x）．
若x＜0，则3x＜2x＜1，
∴f（3x）＞f（2x）．
∴f（3x）≥f（2x）．
故选：A．
12．（5分）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，
若•≥•，则λ的取值范围是（）
A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，
∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：
C（0，0），A（1，0），B（0，1），，
∵=λ，
∴λ∈[0，1]
，，．
•≥•，
∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．
2λ2﹣4λ+1≤0，
解得：，
∵λ∈[0，1]
∴λ∈[，1]
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）111正视图侧视图
俯视图
13．（5分）cos20°•cos10°﹣sin20°sin10°=．
【解答】解：cos20°•cos10°﹣sin20°sin10°=cos（20°+10°）=cos30°=．
故答案为：．
14．（5分）设，是两个不共线的向量，且向量=2与向量=+是共线向量，则实数λ=﹣．
【解答】解：设存在实数m使得，
则=m（）=m+mλ，
由平面向量基本定理，这样的表示是唯一的，
∴m=2，mλ=﹣1，解得λ=﹣．
故答案为：﹣．
15．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为，则b取值范围为[﹣2，2] ．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，
∴圆心坐标为（2，2），半径为3，
要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，
则圆心到直线的距离d=≤，
∴﹣2≤b≤2，
∴b的取值范围是[﹣2，2]，
故答案为[﹣2，2]．
16．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x ﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的
实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范
围是．
【解答】解：∵，
∴f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=，
则当x=0时，函数取得极小值0，当x=时，函数取得极大值
故关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3时，实数m的取值范围是
令f（x）=，则x=，或x=
不妨令x1＜x2＜x3时
则＜x1＜0，x2+x3=1
∴x1+x2+x3的取值范围是
故答案为：，
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）
17．（10分）已知tanα=2，求
（1）
（2）
【解答】解：（1）∵tanα=2，∴原式=
．
（2）∵tanα=2，∴原式=．
18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF ⊥PA？请说明理由．
【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）
∵E为PC的中点，
∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）
又∵AB∥CD且AB=CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AQ．…（4分）
又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD．…（5分）
（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面PCD，
∴DP是PA在平面PCD中的射影，
∴PC=DC，PF=DF，
∴CF⊥DP，
∴CF⊥PA．
19．（12分）已知向量，．
（1）若，求x的值；
（2）记，求f（x）的单调递增区间．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由得，，即：，
所以，．…（6分）
（2）=，
由：，得：，
可得：f（x）的单调递增区间为．……（12分）20．（12分）已知函数的最小正周期为π，且点为f（x）图象上的一个最低点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数，求g（x）的值域．
【解答】解：（1）根据f（x）=Asin（2ωx+φ）的最小正周期为π，
可得，
再根据f（x）图象上一个最低点为，
可得A=2；
又，
∴，
即，
再由，得，
∴；…（6分）
（2）化简g（x）=2sin（2x+）﹣4sin2x
=sin2x+cos2x﹣2（1﹣cos2x）
=2sin（2x+）﹣2，
当时，，
故当，即时，函数g（x）取得最大值为2，
当，即时，函数g（x）取得最小值为，
故函数g（x）的值域为．
21．（12分）已知圆E过圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0与直线y=x的交点，且圆E上任意一点关于直线y=2x﹣2的对称点仍在圆E上．
（1）求圆E的标准方程；
（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线l与圆E交于B，C两点（异于点A），且点H（2，0）满足AH⊥l，，求直线l的方程．
【解答】（1）解法一：由，
解得两交点分别为P（﹣1，﹣1），Q（2，2），
PQ的中点为（，），斜率为1，
则直线PQ的垂直平分线方程为，即y=﹣x+1，
由联立解得圆心E（1，0），
半径，
所以得到圆E的标准方程为（x﹣1）2+y2=5；
解法二：设圆E的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4+λ（x﹣y）=0，
即为x2+y2+（2+λ）x﹣（4+λ）y﹣4=0，
由条件知圆心在直线y=2x﹣2上，
故，解得λ=﹣4．
于是所求圆E的标准方程为（x﹣1）2+y2=5；
（2）由题知A（0，2），H（2，0），k AH=﹣1，
所以直线l的斜率为1，
设直线l的方程为y=x+m，B（x1，y1），C（x2，y2），
由，得2x2+2（m﹣1）x+m2﹣4=0，
故x1+x2=1﹣m，，（*）
又
=（x1﹣2）x2+（x1+m）（x2+m﹣2）=2x1x2+（m﹣2）（x1+x2）+m（m﹣2）=0，将（*）代入得m2+m﹣6=0，解得m=2或m=﹣3，
当m=2时，直线l：y=x+2过点A，不合题意；
当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3，经检验直线l与圆E相交，
故所求直线l的方程为y=x﹣3．
22．（12分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．
（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；
（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（注：区间[p，q]的长度q﹣p）
【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，
故f（x）在区间[﹣1，1]递增，
∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，
故有，即，解得：0≤a≤8，
故所求实数a的范围是[0，8]；
（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，
a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，
下面求g（x），x∈[1，2]的值域，
令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，
①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；
②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，
要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，
只需，解得：m≥7；
③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，
要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，
只需，解得：m≤﹣，
综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；
（3）由题意得，解得：t＜，
①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，
∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，
即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；
②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，
∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；
③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，
∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，
即t2=6，解得：t=或t=﹣，
故此时不存在常数t满足题意，
综上，存在常数t满足题意，
t=﹣4﹣3或t=﹣．。