高中数学讲义-极坐标与参数方程

极坐标与参数方程
一、教学目标
本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。

深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。

二、考纲解读
极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。

在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。

由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。

三、知识点回顾
（一）曲线的参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即
⎩
⎨
⎧==)()
(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：
1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：
α
αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）
其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．
根据t 的几何意义，有以下结论．
○
1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A
和t B
，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．
○
2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2
B
A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
θ
θsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）
3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：
θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或
θ
θ
sin cos a y b x ==）
中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程
为参数）ααα(.
sin ,
cos 00⎩⎨
⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：
θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θ
θ
ec a y b x s tg ==）
5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：
pt
y pt x 222== （t 为参数，p ＞0）
直线的参数方程和参数的几何意义
过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨
⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。

这样建立的坐标系叫做极坐标系。

2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对
ρ
θ
x
M
O
图1
应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θ
ρcos a
-= ⑷θρsin a =
⑸θ
ρsin a
-= ⑹)cos(ϕθρ-=a
4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -=
ρθ0
ϕ
θ=0
ϕ
x
O M 图1
（ ， ）ρ
θ
θ
ρcos a =
a
O
M
图2
ρ
θ
θ
ρcos a -
=a O
M
图3
ρ
θ
θ
ρsin a
=
O
M
图4
a
ρ
θ
θ
ρsin a -
=O
M
图5
a ρθ)
,(ϕa )
cos(ϕθρ-=
a O
M p
N 图6
（ ， ）
a
⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a
5、极坐标与
直角坐标互化公式：
四、例题讲解
1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ，以分点M （x ，y ）分21M M 所成的比λ
为参数，写出参数方程。

αρθ
θρcos =x θρsin =y 222ρ=+y x )0(tan ≠=x x
y θ⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧y
y
x O M H N ( , )（直极互化 图）
θ
ρcos 2a =ρ
θ
a
x
O
M
图2
ρ
θ
θ
ρsin 2a =a
x
O
M
图4
ρ
θ
θ
ρsin 2a -=a x
O M
图5ρ
θ
θ
ρcos 2a -=a
x
O
M
图3
ρθ
a
=ρa x
O
M
图1
ρ
θ
)
,(ϕa )
cos(2ϕθρ-=a a
x
O M
图6
2、直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角是 A ．
6
π B ．
3
π C ．
6
5π D ．
3
2π 3、方程⎩
⎨
⎧+=+-=αα
sin 3cos 1t y t x （t 为非零常数，α为参数）表示的曲线是 ( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
4、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θ
θsin 4cos 5y x （θ为参数），则椭圆上一点 P (25
，32-)的离
心角可以是 A ．
3
π B ．32π C ．34π D ．35π
5、把弹道曲线的参数方程
⎪⎩
⎪
⎨⎧-⋅=⋅=,
21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程． 6、将下列数方程化成普通方程．
①⎩⎨⎧==t y t x 222，②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ，③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ，④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-=+=)
1()1(t t b y t t a x ，⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ．
○
6)0,(.sin ,
cos >>⎩⎨⎧==b a b y a x 为参数ααα ○7⎩⎨⎧==θ
θsin cos 2y x
7、直线3x －2y ＋6=0，令y = tx ＋6（t 为参数）．求直线的参数方程．
8、已知圆锥曲线方程是⎩
⎨⎧-+-=++=5sin 461
cos 532
ϕϕt y t x （1） 若t 为参数，ϕ为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离； （2） 若ϕ为参数，t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。

9、在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大．
10、在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ，使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短（或最长）．
11、已知直线；l ：⎩
⎨⎧+=--=t y t x 4231与双曲线（y-2）2-x 2
=1相交于A 、B 两点，P 点坐标P(-1，
2)。

求：
（1）|PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离。

12、已知A （2,0）,点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动，且有π3
2=∠BAC 求ABC ∆重心G 的轨迹
方程。

13、已知椭圆
18
322
2=+y x 和圆x 2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值，并求出此最大值。

14、已知直线l 过定点P(-2,0),与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点。

（1）若P 为线
段AB 的中点，求直线l 的方程；（2）若l 绕P 点转动，求AB 的中点M 的方程.
15、椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上是否存在点P ，使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切
线互相垂直？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

16、在同一极坐标系中与极坐标M （－2, 40°）表示同一点的极坐标是（ ）
（A ）（－2, 220°） （B ）(－2, 140°) （C ）(2,－140°) （D ）(2,－40°)
17、已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (4，0°), B (－4,－120°), C (23＋2, 30°)，
则△ABC 为( )。

（A ）正三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）直角非等腰三角形 （D ）等腰非直角三角形
18、在直角坐标系中，已知点M (－2，1)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，当极角在(－π，π] 内时，M 点的极坐标为（ ）
（A ）（5，π－argtg(－
21)） （B ）（－5，argtg(－21) （C ）（－5，π－argtg 21） （D ）（5，－π＋argtg 2
1
）
19、把点)4
,3(),6,5(π
π--B A 的极坐标化为直角坐标。

20、把点)0,2(),3,0(),1,3(P N M ---的直角坐标化为极坐标。

21、已知正三角形ABC 中，顶点A 、B 的极坐标分别为)2
,3(),0,1(π
B A ，试求顶点
C 的极坐标。

22、化圆的直角方程x 2+y 2-2ax=0为极坐标方程。

23、化圆锥曲线的极坐标方程θ
ρcos e i ep
-=为直角坐标方程。

24、讨论下列问题：
（1）在极坐标系里，过点M （4，30°）而平行于极轴的直线 的方程是（ ）
（A ）θρsin ＝2 （B ）θρsin ＝－2 （C ）2cos =θρ （D ）2cos -=θρ
（2）在极坐标系中，已知两点M 1(4，arcsin 3
1
)，M 2(－6，－π－arccos(－322))，则线
段M 1M 2的中点极坐标为（ ） （A ）(－1，arccos 3
2
2) （B ）(1,
arcsin 3
1
)
（C ）(－1，arccos(－322)) （D ）(1,－arcsin 3
1
)
（3）已知P 点的极坐标是(1,π)，则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）。

（A ）ρ=1 （B ）ρ＝cos θ （C ）ρcos θ=－1 （D ）ρcos θ=1 （4）若ρ>0,则下列极坐标方程中，表示直线的是（ ）。

（A ）θ=3
π
（B ）cos θ=23 (0≤θ≤π) （C ）tg θ=1 （D ）sin θ=1(0
≤θ≤π)
（5） 若点A (－4,
67π)与B 关于直线θ=3
π
对称，在ρ>0, －π≤θ<π条件下，B 的极坐标是 。

（6）直线ρcos(θ－4
π
)=1与极轴所成的角是 。

（7）直线ρcos(θ－α)=1与直线ρsin(θ－α)=1的位置关系是 。

（8）直线y =kx ＋1 (k <0且k ≠－2
1)与曲线ρ2
sin θ－ρsin2θ＝0的公共点的个数是（ ）。

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 25、讨论下列问题；
（1）圆的半径是1，圆心的极坐标是(1, 0)，则这个圆的极坐标方程是（ ）。

（A ）ρ＝cos θ （B ）ρ＝sin θ （C ）ρ＝2cos θ （D ）ρ＝2sin θ （2）极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是（ ）。

（A ）2 （B ）2 （C ）1 （D ）
2
2
（3）在极坐标系中和圆ρ=4sin θ相切的一条直线方程是（ ）
（A ）ρsin θ=2 （B ）ρcos θ=2 （C ）ρsin θ=4 （D ）ρcos θ=4 （4）圆ρ＝D cos θ－E sin θ与极轴相切的充分必要条件是（ ）
（A ）D ·E ＝0 （B ）D 2
＋E 2
＝0 （C ）D ＝0，E ≠0 （D ）D ≠0，E ＝0 （5）圆
=ρ23sin θ－2cos θ的圆心的极坐标为 。

（6） 若圆的极坐标方程为ρ=6cos θ，则这个圆的面积是 。

（7）若圆的极坐标方程为ρ=4sin θ，则这个圆的直角坐标方程为 。

（8）设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心的极坐标为(－4, 0)，则这个圆的极坐标方程为 。

26、当a 、b 、c 满足什么条件时，直线θ
θρsin cos 1
b a +=
与圆θρcos 2c =相切？
27、试把极坐标方程
cos 62sin 32cos =-+θθρθρm 化为直角坐标方程，并就m 值的变化
讨论曲线的形状。

28、过抛物线y 2=2px 的焦点F 且倾角为θ的弦长|AB|，并证明：
|
|1
||1FB FA +为常数学。

29、设椭圆左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右端点分别为A 、A ’,过F1作一条长度等于椭圆短轴长的
弦MN,设MN 的倾角为α.（1）若椭圆的长、短轴的长分别为2a,2b,求证：
;cos 2b a a +=
α
（2）若|AA ’|=6,|F 1F 2|=24,求α.
30、求椭圆12
2
2
2=+b y a x 的过一个焦点且互相垂直的焦半径为直角边的直角三角形面积的最小值。

五、参考答案
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