速度与加速度的直角坐标表示法

2
d2z dt 2
2
cos(a
，i)
ax
， cos(a
，j)
ay
， cos(a
，k)
az
a
a
a
例4-3
曲柄连杆机构在工程中有非常广泛的应用，这种机构能将转动转换为 平动，如压气机、往复式水泵、锻压机等；或将平动转换为转动，如 蒸汽机、内燃机等。如图4-12所示的曲柄连杆机构中，曲柄 OA以匀
v dr dx i dy j dz k dt dt dt dt
但速度矢量也可表示为
v vxi vy j vzk
式中： vx， vy ， vz —— v在坐标轴 x ， y ， z 上
的投影。
由此我们得到，用直角坐标表示的速度为
vx
dx
dt
vy
dy
dt
vz
dz dt
这就表明：动点的速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各对
瞬间的位置为
x OC CB r cos l cos
式中， t 。由直角三角形OAC 及 ACB 得到
r sin l sin 或 sin r sin
l
于是
cos
1
r l
2
sin
2
因此滑块 B 的运动方程为
x r cost l
1
r l
2
sin
2
t
以 0 和 代入上式，可知滑块的行程或冲程为 2r 。
应坐标对于时间的一阶导数。
速度的大小及方向余弦为
v
vx2
v
2 y
vz2
dx dt
2
dy dt
2
dz dt
2
cos(v
，i)
vx v
，
cos(v
，j)
vy v
，
cos(v
，k)
vz v
二、点的加速度的直角坐标表示法
加速度是速度对于时间的导数，所以加速度 a 在坐标轴上的
投影 ax ，ay ，az 应分别等于速度 v在坐标轴上的投影 vx ，vy ，vz
对于时间的导数，即
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dv y dt
d2 y
dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
这就表明：动点的加速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的
各对应坐标对于时间的二阶导数。
加速度的大小及方向余弦为
a
ax2
a
2 y
az2
d2x dt 2
2
d2 y dt 2
角速度 绕O 轴转动，由于连杆 AB 的带动，滑块 B 沿着直线导槽做
往复直线运动。已知 OA r ，AB l ，且 l r ，求滑块 B 的运动方程、 速度及加速度。
图4-12
解
滑块 B 的运动是往复直线运动，轨迹沿 OB 直线，可用直角坐标法
建立运动方程。取轴 O 为原点，选坐标系 Oxy ，则滑块 B 在任一
v
vx
dx dt
r
sin
t
1 2
r l
sin
2t
加速度为
a
ax
dv dt
r 2
cos
t
r l
cos
2t
理论力学
述展开式从第三项起以后的所有各高阶项均可略去，于是
cos
1
1 2
r l
2
sin2
1
1 2
r l
2
1
cos 2 2
1
1 4
r l
2
1 4
r l
2
cos 2
代入运动方程后，便得工程中常用的滑块的近似运动方程
x
l
1
1 4
r l
2
r
cos
t
1 4
r l
cos
2t
故滑块的速度为
为了使运算简单，用二项式定理将 cos 展开，得
cos
1
1 2
r l
Hale Waihona Puke 2 sin2 1 2
1 2
1
1 2
r l
4
sin4
1
1 2
r l
2
sin
2
1 8
r l
4
sin
4
r / l 一般均小于1，如当 r / l 1/ 4 时，则 1/ 8(r / l)8 1/ 2 048 ，上
理论力学
速度与加速度的直角坐标表示法
一、点的速度的直角坐标表示法
动点的直角坐标的运动方程为
x y
f1 (t) f2 (t)
z f3 (t)
由图4-3知，矢径 r可写成
r xi yj zk
图4-3
式中： i ，j ，k ——沿直角坐标轴正向的单位矢量。
第三节已经证明，动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数， 因此动点的速度可写为