人教部编版七年级数学上册第4章《余角和补角》课件
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导引：已知∠1＋∠2＝180°，说明 ∠2是∠1的补角．根据同角(或 等角)的补角相等，找出图中 ∠1的其他补角和∠2的其他补 角的补角，便可确定与∠2相等的角．
解：如图②，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠3＝∠2. 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2. 因为∠2＋∠5＝180°， ∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2相等的角 有∠3，∠4，∠6.
和∠BOE也互为余角.
1 (中考•株洲)已知∠α＝35°，那么∠α的余角等 于( B ) A．35° B．55° C．65° D．145°
2 (中考•金华)已知∠α＝35°，那么∠α的补角的度 数是( C ) A．55° B．65° C．145° D．165°
3 下列说法正确的是( C ) A．两个锐角一定互余 B．锐角和钝角一定互补 C．互余且相等的两角一定是45° D．同一角的余角与它的补角一定相等
第四章 几何图形初步
4.3 角
第4课时 余角和补角的性质
知识点 1 余角和补角的定义
如果两个角的和等于90º(直角)，就说这两个 角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.
如果两个角的和等于180º(平角)，就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
探究1（1）在一副三角板中，每块都有一个角是90°， 那么其余两个角的和是多少？
知识点 3 方 位 角
1.定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方 向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位 角．
注意事项：方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西， 如南偏东30°.但与南北方向夹角为45°时，常简称 为东北、东南、西北、西南，如南偏东45°，即为东 南方向．
例4 如图(1)，货轮O在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东 40°、南偏西10°、西北（即北偏西45°） 方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的方法， 画出表示客轮B、 货轮C和 海岛D方向的射线.
和∠BOC， 图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O， B在同一条直线上，
所以 ∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= 1 ∠AOC+ 1∠BOC= 1 (∠AOC
2
2
2
+∠BOC)= 90°.
所以，∠COD和∠COE互为余角，
同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD
画法：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一 边，画40°的角，使它 的另一边OB落在东与 北之间.射线OB的方向就是北偏东40° (图(2))， 即客轮B所在的方向. 请你在图(2)上画出表示 货轮C和海岛D方向的 射线.
2.余角的性质：同角的余角相等，即：若∠A＋∠B ＝90°，∠A＋∠C＝90°，则∠B＝∠C.等角的余 角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝ 90°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.
例3 如图①，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别 相交于点E，F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与 ∠2相等的角，并说明理由．
知识点 2 余角、补角的性质
思考 ∠1与∠2， ∠3都互为补角， ∠2与∠3的大小
有什么关系？ 答：∠1与∠2， ∠3都互为补角，
那么∠2 =180°- ∠1， ∠3 = 180°-∠1， 所以 ∠2=∠3.
归纳
同角（等角）的补角相等. 对于余角也有类似的性质： 同角（等角）的余角相等.
1.补角的性质：同角的补角相等，即：若∠A＋∠B ＝180°，∠A＋∠C＝180°，则∠B＝∠C.等角的 补角相等，即：若∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝ 180°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.
导引：主要紧扣锐角、钝角、余角、补角的特征进行判断， 除①②不正确外，其他说法都正确．
总结
由于互余的两个角之和为90°，所以这两个角 都为锐角；互补的两个角之和为180°，所以这两 个角为一个锐角一个钝角或两个角都为直角．
例2 如图，点A，O， B在同一条直线 上，
射线OD和射线OE分别平分∠AOC
要点精析： (1)互余，互补必须是两个角之间的关系． (2)当互补的两个角有公共顶点和公共边时，又称这
两个角互为邻补角(简称邻补角)．如图 所示，∠AOC和∠BOC互为邻补角． (3)互补的角不一定互为邻补角，但互为邻补角的角 一定互为补角． (4)互余或互补的角只与数量有关，与位置无关．
例1 下列说法正确的有 ( B ) ①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角； ②直角没有补角； ③钝角没有余角，钝角的补角是锐角； ④直角的补角还是直角； ⑤一个角的补角与它的余角的差为90°； ⑥两个角相等，它们的补角也相等． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是( C )
A．同角的余角相等
B．等角的余角相等
C．同角的补角相等
D．等角的补角相等
3 如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠AOC＝ ∠BOD，这是根据( B ) A．直角都相等 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．互为余角的两个角相等
4 如图所示，点O在直线AE上，OB平分∠AOC，∠BOD ＝90°，则∠DOE和∠COB的 关系是( A ) A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角
总结
“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的 补角相等”的实质是等量代换，只不过在特定的背 景下使用起来更便捷罢了．
1 若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则∠α与∠γ的
关系是( C )
A．互余
B．互补
C．相等
D．∠α＝90°＋∠γ
2 如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，
（2）已知∠1=36°，∠2=54°，那么∠1+∠2=？ 探究2（1）观察如图所示的两个角，你能猜想∠1+
∠2等于多少度？ （2）如果∠1=144°，∠2=36°，那么∠1+∠2=？
分类 名称 互余
互补
图形
数学语言
性质
若∠1＋∠2＝ 90°，就说∠1 同角(等角) 是∠2的余角， 的余角相 或∠1与∠2互为 等 余角 若∠3＋∠4＝ 180°，则说∠3 同角(等角) 是∠4的补角， 的补角相 或∠3与∠4互为 等 补角
解：如图②，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠3＝∠2. 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2. 因为∠2＋∠5＝180°， ∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2相等的角 有∠3，∠4，∠6.
和∠BOE也互为余角.
1 (中考•株洲)已知∠α＝35°，那么∠α的余角等 于( B ) A．35° B．55° C．65° D．145°
2 (中考•金华)已知∠α＝35°，那么∠α的补角的度 数是( C ) A．55° B．65° C．145° D．165°
3 下列说法正确的是( C ) A．两个锐角一定互余 B．锐角和钝角一定互补 C．互余且相等的两角一定是45° D．同一角的余角与它的补角一定相等
第四章 几何图形初步
4.3 角
第4课时 余角和补角的性质
知识点 1 余角和补角的定义
如果两个角的和等于90º(直角)，就说这两个 角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.
如果两个角的和等于180º(平角)，就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
探究1（1）在一副三角板中，每块都有一个角是90°， 那么其余两个角的和是多少？
知识点 3 方 位 角
1.定义：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方 向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位 角．
注意事项：方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西， 如南偏东30°.但与南北方向夹角为45°时，常简称 为东北、东南、西北、西南，如南偏东45°，即为东 南方向．
例4 如图(1)，货轮O在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东 40°、南偏西10°、西北（即北偏西45°） 方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位的方法， 画出表示客轮B、 货轮C和 海岛D方向的射线.
和∠BOC， 图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O， B在同一条直线上，
所以 ∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= 1 ∠AOC+ 1∠BOC= 1 (∠AOC
2
2
2
+∠BOC)= 90°.
所以，∠COD和∠COE互为余角，
同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD
画法：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一 边，画40°的角，使它 的另一边OB落在东与 北之间.射线OB的方向就是北偏东40° (图(2))， 即客轮B所在的方向. 请你在图(2)上画出表示 货轮C和海岛D方向的 射线.
2.余角的性质：同角的余角相等，即：若∠A＋∠B ＝90°，∠A＋∠C＝90°，则∠B＝∠C.等角的余 角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝ 90°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.
例3 如图①，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别 相交于点E，F，∠1＋∠2＝180°.找出图中与 ∠2相等的角，并说明理由．
知识点 2 余角、补角的性质
思考 ∠1与∠2， ∠3都互为补角， ∠2与∠3的大小
有什么关系？ 答：∠1与∠2， ∠3都互为补角，
那么∠2 =180°- ∠1， ∠3 = 180°-∠1， 所以 ∠2=∠3.
归纳
同角（等角）的补角相等. 对于余角也有类似的性质： 同角（等角）的余角相等.
1.补角的性质：同角的补角相等，即：若∠A＋∠B ＝180°，∠A＋∠C＝180°，则∠B＝∠C.等角的 补角相等，即：若∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝ 180°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.
导引：主要紧扣锐角、钝角、余角、补角的特征进行判断， 除①②不正确外，其他说法都正确．
总结
由于互余的两个角之和为90°，所以这两个角 都为锐角；互补的两个角之和为180°，所以这两 个角为一个锐角一个钝角或两个角都为直角．
例2 如图，点A，O， B在同一条直线 上，
射线OD和射线OE分别平分∠AOC
要点精析： (1)互余，互补必须是两个角之间的关系． (2)当互补的两个角有公共顶点和公共边时，又称这
两个角互为邻补角(简称邻补角)．如图 所示，∠AOC和∠BOC互为邻补角． (3)互补的角不一定互为邻补角，但互为邻补角的角 一定互为补角． (4)互余或互补的角只与数量有关，与位置无关．
例1 下列说法正确的有 ( B ) ①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角； ②直角没有补角； ③钝角没有余角，钝角的补角是锐角； ④直角的补角还是直角； ⑤一个角的补角与它的余角的差为90°； ⑥两个角相等，它们的补角也相等． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是( C )
A．同角的余角相等
B．等角的余角相等
C．同角的补角相等
D．等角的补角相等
3 如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠AOC＝ ∠BOD，这是根据( B ) A．直角都相等 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．互为余角的两个角相等
4 如图所示，点O在直线AE上，OB平分∠AOC，∠BOD ＝90°，则∠DOE和∠COB的 关系是( A ) A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角
总结
“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的 补角相等”的实质是等量代换，只不过在特定的背 景下使用起来更便捷罢了．
1 若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则∠α与∠γ的
关系是( C )
A．互余
B．互补
C．相等
D．∠α＝90°＋∠γ
2 如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，
（2）已知∠1=36°，∠2=54°，那么∠1+∠2=？ 探究2（1）观察如图所示的两个角，你能猜想∠1+
∠2等于多少度？ （2）如果∠1=144°，∠2=36°，那么∠1+∠2=？
分类 名称 互余
互补
图形
数学语言
性质
若∠1＋∠2＝ 90°，就说∠1 同角(等角) 是∠2的余角， 的余角相 或∠1与∠2互为 等 余角 若∠3＋∠4＝ 180°，则说∠3 同角(等角) 是∠4的补角， 的补角相 或∠3与∠4互为 等 补角