(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题
1．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则
c c a b
> C ．若a b >，则a c b c +>+
D ．若a b >，则a c b c ->-
2．若存在实数x 使得不等式2
113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3317,
22⎛⎡⎫
+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪
⎝⎦⎣⎭
B ．(][) ,21,-∞-+∞
C ．[]1,2
D ．(]
[),12,-∞+∞
3．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2
134m m a b
+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-
B ．[]2,6-
C ．[]6,2-
D ．[]
3,4-
4．若不等式()()
2
||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
5．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．11a b
<
B ．ac bc ≥
C ．2
0c a b >-
D ．()2
0a b c -≥
6．已知log e a π=，ln e
b π
=，2
e ln
c π
=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
7．若
1
12
a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <
D ．c c a b <
8．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >
D ．若a b >， 则22ac bc >
9．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11
x y x y
->- B ．cos cos 0x y -< C ．
110x y
-> D ．ln x +ln y >0
10．不等式5310x x -++≥的解集是( )
A ．[-5,7]
B ．[-4,6]
C ．(]
[),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞
11．已知,a b ∈R ，且2
a b
P +=，22
2
a b Q +=
，则P ，Q 的关系是（ ） A ．P Q ≥
B ．P Q >
C ．P Q ≤
D ．P Q <
12．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >
B ．
11a b
< C ．a b >
D ．a b e e >
二、填空题
13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________．
15．若不等式2
240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.
16．已知函数，若关于的不等式的解集为
，则实数的取值范围是_______．
17．若
11
0a b
>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 18．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________
19．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为_____________．
20．若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角
形函数，下面四个函数：①()()2
0f x x x =>；②())0f x x x =
>；
③()sin 02f x x x π⎛⎫
=<< ⎪⎝
⎭
；④()cos 02f x x x π⎛⎫
=<<
⎪⎝
⎭
为保三角形函数的序号为___________．
三、解答题
21．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-． （Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；
（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 22．函数()212f x x x =-++.
（1）求函数()f x 的最小值；
（2）若()f x 的最小值为M ，()220,0a b M a b +=>>，求证：14
1213
a b +≥++. 23．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111
x y xy xy x y
++
≤++； （2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 24．已知()13f x x x =++-．
（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 25．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；
（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知0a >，0b >，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1. （1）求2a b +的值；
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若
2,1,1a b c ===，则
c c
a b
<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.
2．D
解析：D 【分析】
由题意可转化为()
2
min
311
a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等
式，求a 的取值范围. 【详解】
若存在实数x 使得不等式2
113x x a a +--≤-成立，
可知()
2
min
311
a a x x -≥+--
当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，
当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<， 当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=， 所以11x x +--的最小值为-2， 所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】
本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.
3．C
解析：C 【分析】
由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得1
12ab
，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：
两个正实数a ，b 满足3a ，
1
2
，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab
∴，∴
1
12ab
． ∴不等式21
34m m a b +
+恒成立，即234a b m m ab
++恒成立， 即
21
4m m ab
+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．
4．D
解析：D 【分析】
可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解.
【详解】
当220x x -≥时，即[]02x ,∈
时，||0x a b --≤恒成立，
所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立
所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，
综上，2a b += 故选：D 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题
5．D
解析：D 【分析】
利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】
由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则
11
a b
>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c
,则2
0c a b
=-，故本选项不成立；
D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】
本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.
6．B
解析：B 【分析】
因为1b c +=，分别与中间量
1
2做比较，作差法得到12
b c <<，再由211
log e log e 22
a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.
【详解】
解：因为1b c +=，分别与中间量1
2做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e
b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，
432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ
⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211
log e log e 22a ππ==>，
()11
2ln ln 20ln ln a c ππππ-=
--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 【点睛】 本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当1
12
a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当
1
12
a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，
所以log log 0b a c c >>，因1
12
a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当
1
12
a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；
对于D ：当1
12
a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】
本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.
8．D
解析：D 【分析】
根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.
9．A
解析：A 【分析】
结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析： 对于选项A ，0x y ->，
110y x x y xy
--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3
cos cos cos 2cos 1002
x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，
110y x
x y xy
--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】
本题考查了不等式的性质，属于基础题.
10．D
解析：D 【分析】
零点分段后分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】 分类讨论：
当5x ≥时，不等式即：5310x x -++≥，解得：6x ≥； 当35x -<<时，不等式即5310x x ---≥，此时不等式无解； 当3x ≤-时，不等式即：5310x x -+--≥，解得：4x ≤-； 综上可得，不等式的解集为(][
),46,-∞-⋃+∞. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．C
解析：C 【解析】
分析：因为P 2
﹣Q 2
=﹣
2
()4
a b -≤0，所以P 2≤Q 2，则P≤Q ，
详解：因为a ，b ∈R ，且P=2a b +，，
所以P 2
=2224a b ab ++，Q 2=22
2
a b +，
则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣
222a b +=2224
ab a b --=﹣2()
4a b -≤0， 当且仅当a=b 时取等成立，
所以P 2﹣Q 2≤0，即P 2≤Q 2，所以P≤Q ， 故选：C ．
点睛：比较大小的常用方法 （1）作差法：
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. （2）作商法：
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.
（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系. （4）借助第三量比较法
12．D
解析：D 【解析】
分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.
详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时22
11
,
,a b a b a b
<，所以A 、B 、C 不正确；
因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.
点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
二、填空题
13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值 解析：()1,7-
【分析】
先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】
由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈， 则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.
14．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与
解析：【分析】
只有不等号左边有c ，当||c 为定值时，相当于存在c 的一个方向使得不等式成立． 适当选取c 使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边． 【详解】
当||c 为定值时，|()|c a b -+当且仅当c 与a b +同向时取最小值， 此时|()|||||||c a b c a b a b -+=-+-，
所以||
||||c a b a b ++-．
因为||||1a b ==，所以2222()()2()4a b a b a b ++-=+=，
所以22222(||||)()()2||||2[()()]8a b a b a b a b a b a b a b a b ++-=++-++-++-= 所以||
||||22c a b a b ++-，当且仅当a b ⊥且c 与a b +同向时取等号．
故答案为 【点睛】
本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．
15．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查 解析：3m ≤
【分析】
构造函数()2
24f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形
式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围． 【详解】
构造函数()2
24f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.
当2x ≤时，()()2
2
24133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立； 当2x >时，()()22
2415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，
则()()24f x f >=.
所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤． 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．
16．【解析】试题分析：由题意得对任意总成立即对任意总成立而当且仅当时取=则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值 解析：()
2,π-+∞
【解析】
试题分析：由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立，即a x x
π
>+对任意0x <总
成立，而
2x x
π
π+
≤-，当且仅当x π=-时取“=”，则实数的取值范围是()
2,π-+∞
考点：基本不等式求最值
17．①③【分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①正确；但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确；即故③正确；当时当时故④不正确；故答案为：①③【点
解析：①③ 【分析】
由条件可知0b a >>，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正确. 【详解】
11
00a b a b
>>⇒<<，则33a b <正确，故①正确；()()()()()()
33213333log 1log 211
log 3log 3log 2log 1log 2log 1a b b a a b a b +++-+-=-=++++，
()()33log 20,log 10a b +>+>，但不确定1b +和2a +的大小关系，所以
()()33log 1log 2b a +-+的正负不确定，故②不正确；
0b a >>，0>，(()22b a b a -=+---，
20a =-=<
<③正确； 当1,2a b ==时，33220a b ab +-> 当2,3a b ==时，33220a b ab +-<，故④不正确；
故答案为：①③
【点睛】
方法点睛：1.利用不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判断.
2.作差（或作商）比较法，先作差（商），变形整理，判断符号（或与1比较），最后判断大小；
3.特殊值验证的方法，运用赋值法排除选项.
18．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不 解析：(],3-∞-
【分析】 由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小
值，从而可求出实数m 的取值范围.
【详解】 由题意得()min 12m x x ≤+--， 由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-， 因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
19．【分析】由等式x+4y ﹣xy ＝0变形得将代数式x+y 与代数式相乘并展开利用基本不等式可求出x+y 的最小值从而可求出m 的取值范围【详解】由于x+4y ﹣xy ＝0即x+4y ＝xy 等式两边同时除以xy 得由基
解析：9m ≤
【分析】
由等式x +4y ﹣xy ＝0，变形得411x y +=，将代数式x +y 与代数式41x y
+相乘并展开，利用基本不等式可求出x +y 的最小值，从而可求出m 的取值范围．
【详解】
由于x +4y ﹣xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得，411x y
+=，
由基本不等式可得()414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=
⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y
=，即当x ＝2y=6时，等号成立， 所以，x +y 的最小值为9．
因此，m ≤9．
故答案为m ≤9．
【点睛】
本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．
20．②③【分析】欲判断函数是不是保三角形函数只需要任给三角形设它的三边长分别为则不妨设判断是否满足任意两数之和大于第三个数即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形设它的三边长分别为则不妨设①可作为 解析：②③
【分析】
欲判断函数()f x 是不是保三角形函数，只需要任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，判断()()()f a f b f c ，，是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可
【详解】
任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，
①()()2
0f x x x =>，335，，可作为一个三角形的三边长，但222335+<，则不存在三角形以222335，，为三边长，故此函数不是保三角形函数
②())0f x x =>，b c a +>>>())
0f x x =>是保三角形函数 ③()02f x sinx x π⎛
⎫
=<< ⎪⎝⎭，02a b c π
>+>>，
()()()sin sin sin f a f b a b c f c +=+>=
()02f x sinx x π⎛⎫∴=<< ⎪⎝
⎭是保三角形函数 ④()02f x cosx x π⎛⎫=<< ⎪⎝
⎭，当512a b π==，12c π=时，55 121212
cos cos cos πππ+<，故此函数不是保三角形函数
综上所述，为保三角形函数的是②③
【点睛】
要想判断()f x 是保三角形函数，要经过严密的论证说明()f x 满足保三角形函数的概念，但要判断()f x 不是保三角形函数，仅需要举出一个反例即可
三、解答题
21．（Ⅰ）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-
⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（Ⅱ）15. 【分析】
（1）两边平方，再利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；
（2）转化为min (3633)x x a ++-≥对于任意x ∈R 恒成立，利用绝对值三角不等式求出min (3633)15x x ++-=，进而可得答案．
【详解】
（Ⅰ）由()()f x g x >，得363x x +>-，平方得()()22363x x +>-， 得2842270x x ++>，即()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （Ⅱ）若()()3f x g x a +≥恒成立，即3639x x a ++-≥恒成立. 只需min (3633)x x a ++-≥即可. 而()3639363915x x x x ++-≥+--=，所以15a ≤
故实数a 的最大值为15.
【点睛】
不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可)；③ ()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立
22．（1）
52
；（2）证明见解析. 【分析】 （1）采用零点分段的方法将定义域分为三段：(],2-∞-、12,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，由此求解出每一段定义域对应的()f x 的值域，由此确定出()f x 的最小值；
（2）由（1）确定出M 的值，采用常数代换的方法将14213
a b +++变形并利用基本不等
式完成证明.
【详解】
解：（1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩
， 当2x -≤时，()5f x ≥； 当122x -<<时，()552f x <<； 当12
x ≥时，()52f x ≥. 所以()f x 的最小值为
52. （2）由（1）知52
M =，即25a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以()()141142132139213a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()4211359213a b a b +⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭
1519⎛ ≥+= ⎝ 当且仅当()253221a b b a +=⎧⎨+=+⎩
，即1a =，3b =时，等号成立， 所以141231
a b +≥++. 【点睛】
本题考查绝对值函数的最值以及运用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）求解双绝对值函数的最值常用的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明或者求解最值时，要注意说明取等号的条件.
23．（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】
（1）根据题意，首先对原不等式进行变形，()()2
1xy x y x y xy ++≤++，再做差，通过变形、整理化简，利用已知条件判断可得结论，从而不等式得到证明；
（2）首先换元，设log ,log a b b x c y ==，利用换底公式转化为关于,x y 的式子，即为
111x y xy xy x y
++≤++，借助（1）的结论，可得证明． 【详解】
证明：（1）由于1≥x ，1y ≥， 则111x y xy xy x y
++≤++()()21xy x y x y xy ⇔++≤++， 将上式中的右边式子减左边式子得：
()()21x y xy xy x y ⎡⎤++-++⎡⎤⎣
⎦⎣⎦ ()()()()111xy xy x y xy =+--+-
()()11xy xy x y =---+
()()()111xy x y =---，
又由1≥x ，1y ≥，则1xy ≥；
即()()()1110xy x y ---≥，
从而不等式得到证明．
（2）设log ,log a b b x c y ==，则1,1x y ≥≥， 由换底公式可得：111log ,log ,log ,log b c a c a b c xy a x y xy
====， 于是要证明的不等式可转化为111x y xy xy x y ++
≤++， 其中log 1,log 1a b b x c y =≥=≥，
由（1）的结论可得，要证明的不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（2）证明在变形后用到（1）的结论．属于中档题.
24．（1）24；（2）4433a -
≤≤. 【分析】
（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.
（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.
【详解】
（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩
，
如图所示：
直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，
令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，
只须()min 211f x a a ≥++-，
而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，
故4211a a ≥++-．
①由122114
a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114
a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨
++-≤⎩，得413a <≤， 故4433
a -≤≤．
【点睛】
本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
25．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞
【分析】
(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，
2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
，求其最大值即可. 【详解】
解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤
-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，， 当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)
(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则
max 23[()]a f x x -≥-， 令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
， 则max 1()12g x g ⎛⎫==
⎪⎝⎭
，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞ 【点睛】
考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题. 26．（1）22a b +=（2）92t ≤
【分析】
（1）用分段函数表示()f x ，分析单调性，得到min ()122
b b f x f a ⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭，即得解
（2）原式转化为2a b t ab
+≤
，结合22a b +=，252a b a b ab b a +=++利用均值不等式即得解
【详解】 （1）令0x a +=得x a =-，令20x b -=得2b x =
， ∵0a >0b >，∴2
b a -<， 则3,(),23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+≤-⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩
， ∴()f x 在,2b ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在,2b ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴min ()122
b b f x f a ⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭，22a b +=； （2）∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab +≤
恒成立， ∵22a b +=，∴112
a b +=， ∴1212255922222
a b a b a b a b ab b a b a b a +++=+=+=++≥+=，（当且仅当a b =时取等号） ∴2a b ab +的最小值为92
， ∴92
t ≤
. 【点睛】 本题考查了绝对值函数的最值问题和均值不等式的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题。