【配套K12】[学习]福建省晋江市永春县第一中学2016-2017学年高二数学3月月考试题 理

福建省晋江市永春县第一中学2016-2017学年高二数学3月月考试题
理
考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分
第I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1．复数
4312i
i
++的实部是（ ） A ．－2 B ．2 C ．3 D ．4
2．复数12,z z 分别对应复平面内的点12,M M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +，则2
2
12z z +等于（ ）
A ．10
B ．25
C ．100
D ．200
3．函数()x
x y 2
ln =
单调递增区间是（ ）
A ．（0，2）
B ．（1，2e ）
C ．),2(+∞
D ．),(2
+∞e
4．已知函数3
)(x tx x f -=，当()1,0∈x 时，)(x f 有最大值，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．10<<t
B ．30<<t
C ．3>t
D ．3<t 5．曲线x
e y 2=在点(
)4
,2e
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A ．4
2
9e B ． 4
9e
C ．
4
4
9e D ．
44
3e 6．
)(22
2x d x x ⎰
-等于( )
A ．
2
π B ．
4
π
C ．π
D ．π2
7．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时)()(x f x f x >'，且0)3(=f ，则不等式
0)(≥x f 的解集为（ ）
A ．][)+∞⋃-∞-,33,(
B ．[]3,3-
C ．][]3,03,(⋃-∞-
D ．[][)+∞⋃-,30,3
8．若函数13)(223++++=a bx ax x x f 在1-=x 处取得极值1，则=+b a （ ）
A ．－7
B ．－2或－7
C ．4或11
D ．11 9．曲线1)(3+=x x f 与直线9,2,0===y y x 围成的图形的面积为（ ）
A ．
415 B ．419 C ．437 D ．454
10．已知函数32
1()(2)13
f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小
值，且12012x x <<<<．则b a z 2+=的最小值为（ ）
A ．
516 B ．34 C ．7
16
D ．6 11．若存在过点(1,0)的直线3y x =与曲线和94
152
-+=x ax y 都相切，则a 等于( ) A ．1- B ．421 C ．4
7
- D ．7
12．给定区间D ，对于函数()f x 与()g x 及任意12,x x D ∈（其中12x x >），若不等式
1212()()()()f x f x g x g x ->-恒成立，则称函数()f x 相对于函数()g x 在区间D 上是“渐先
函数”。

已知函数x x f ln )(=相对于函数x ax x g +=2
2
1)(在区间()+∞,1是渐先函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．210≤<a
B ．4
1-≤a C ． 041<≤-a D ．2
1≥a
第II 卷
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

13．曲线x x y ln 2
-=上的点到直线2-=x y 的距离的最小值为 ．
14．已知=='-∈-=00,2)(),2
,2(,sin 1cos )(x x f x x x x f 且π
π ．
15．一物体在力10,02
()34,2
x F x x x ≤≤⎧=⎨
+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，
从x =0处运动到x =4（单位：m ）处，则力()F x 所做的功为 _ __．
16．已知函数()()x x f x e x ae =-恰有两个极值点，则a 的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在．．答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．。

17．（本小题满分12分）
已知函数32()1f x x ax =++图象在点(1,)B b 处的切线的斜率为-3。

（1）求,a b 的值；
（2）若函数k x f x g -=)()(有且仅有两个零点，求实数k 的值。

18．（本小题满分12分）
已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>,点P （a 36,a 6
6）在椭圆上。

（I ）求椭圆C 的离心率。

（II ）若6=
a ，
问是否存在直线l 与直线OP 平行且与直线OP 的距离为5，使得直线l 与椭圆有公共点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

19．（本小题满分12分）
利用导函数在研究函数中的应用，证明下列不等式： （1）当R x ∈时，011
≥+⋅+x e
x ；
（2）当02x π
<<时，3
tan 3
x x x >+。

20．（本小题满分12分）
有甲、乙两个工厂，甲位于一直线河岸的岸边A 处，乙位于离甲所在河岸的km 40的B 处，乙到河岸的垂足D 与A 相距km 50，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米a 3元和a 5元，问供水站C 应建在何处才能使水管费用最省？
21．已知函数()f x 满足满足1
2
1()(1)(0)2
x f x f e
f x x -'=-+
； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2
1()2
f x x ax b ≥++对R x ∈恒成立，求(1)a b +的最大值。

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直角坐标系的坐标原点与极坐标系的极点重合，直角坐标系的x 轴正半轴与极坐标系的极轴重合，设曲线C ：12cos 2=θρ上某一点P ，21,F F 为曲线C 的两个焦点， （1）若212PF PF =，求21cos PF F
∠ （2）过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线C 相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知)(,1)(R a ax x f ∈+=，不等式3)(≤x f 的解集为{}
12≤≤-x x （1）求a 的值；
（2）若k x f x f ≤-)2
(2)(恒成立，求k 的取值范围．
永春一中高二年月考数学（理）科试卷参考答案 （2017.03）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2 14．
6
π 15．46 16．1
(0)2，
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．。

17．（1）由已知得 323)1(-=+='a f ，且b a f =++=11)1( 解得1,3-=-=b a
（2）)2(363)(2-=-='x x x x x f ，
令0)(='x f 得2,0==x x ，在2,0==x x 附近左右)(x f '及)(x f 的性质如下表：
结合图象可知当31-==k k 或时，函数)(x g 有且仅有两个零点。

18．（1）由已知得16322
2=+b
a ，)(222
222c a b a -==，222c a = 故2
2=
e （2）由已知得椭圆13
6:2
2=+y x C ， 且)1,2(P ，直线02:=-y x OP 设存在满足题意的直线02:=+-t y x l
由直线l 与OP 距离为5得
5,55
==t t
把t y x -=2代入13
622=+y x 得 (),62222=+-y t y 即064622=-+-t ty y ，
由直线l 与椭圆有公共点，令0≥∆得182
≤t ，但1852
>
所以不存在满足题意的直线l 。

19．（1）令1)(1+⋅=+x e x x f ，则111)1()(+++⋅+=+⋅='x x x e x e e x x f ∵当1-=x 时0)(='x f ，当1-<x 时0)(<'x f ，当1->x 时0)(>'x f ∴当1-=x 时[]0)1()(min =-=f x f ， ∴当R x ∈时，011
≥+⋅+x e
x
（2）令3
tan )(3x x x x f --=（02x π<<）
则0tan 1cos 1
)(2222
>-=--=
'x x x x
x f 故函数)(x f 在)2
,
0(π
单调递增
从而0)0()(=>f x f ，即当02x π
<<时，3
tan 3
x x x >+
20．设供水站C 建在D 与A 之间距离D xkm 处，水管总费用y 元 则500,405)50(322≤≤++-=x x a x a y
()2
2
2
160016003516002253x a x x x x a
a y ++-=
++-='
令0='y 得30=x
且当30<x 时0<'y ；当30>x 时0>'y ∴当30=x 时，a y 2560min =
答：供水站C 应建在D 与A 之间距离D km 30处，水管总费用最省。

21．（1）∵x f e
f x f x +-'='-)0()1()(1
，∴1)0()1()1(0+-'='f e f f
即1)0(=f ，2
1
2
1)1()(x x e f x f x +
-'=-，∴1)1()0(-'=e f f ，∴e f =')1( ∴22
1)(x x e x f x
+
-= 令()()1x
g x f x e x '==-+
()10x g x e '=+>∴()g x 在定义域单调递增
(0)0
g=∴当0
x>时()0
g x>,即()0
f x
'>;
当0
x<时()0
g x<,即()0
f x
'<;
∴()
f x的增区间为()
0,+∞，减区间为(),0
-∞
（2）由已知得0
)
1(≥
-
+
-b
x
a
e x对R
x∈恒成立
令b
x
a
e
x
g x-
+
-
=)
1(
)
(，则)
1(
)
(a
e
x
g x+
-
=
'
①若0
1≤
+a，即1
-
≤
a时，0
)
(>
'x
g恒成立，)
(x
g在R上单调递增这显然不合题意；
②若0
1>
+a，即1
-
>
a时，令0
)
(=
'x
g得)
1
ln(a
x+
=
且当)
1
ln(a
x+
<时0
)
(<
'x
g，当)
1
ln(a
x+
>时0
)
(>
'x
g
[]b
a
a
a
x
g-
+
⋅
+
-
+
=)
1
ln(
)
1(
)
1(
)
(
min
由已知得)
1
ln(
)
1(
)
1(a
a
a
b+
⋅
+
-
+
≤，又∵0
1>
+a
∴[])
1
ln(
1
)
1(
)
1(2a
a
b
a+
-
+
≤
+
令u
a=
+
1，则[]u
u
b
a ln
1
)
1(2-
≤
+，0
>
u
[])
ln
2
1(
)
ln
1(2u
u
u
u
y-
=
'
-
='
令0
=
'y得2
1
e
u=，当2
1
e
u<时0
>'y；当2
1
e
u>时0
<'y
∴当2
1
e
u=时b
a)
1(+取得最大值
2
e
22．（1）由1
2
cos
2=
θ
ρ得()1
sin
cos2
2
2=
-θ
θ
ρ，即1
2
2=
-y
x
由P在双曲线1
2
2=
-y
x上得2
2
1
=
-PF
PF,2
2
2
1
=
F
F
又
2
1
2PF
PF=，故2
,4
2
1
=
=PF
PF
在三角形
2
1
PF
F中，由余弦定理得
4
3
2
cos
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
=
⋅
-
+
=
∠
PF
PF
F
F
PF
PF
PF
F
(2)设直线的参数方程为为参数）t t y t x (21233⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=，把上式代入122=-y x 得 016362=+-t t ，设B A ,对应21,t t ，则16,362121==+t t t t
()11242
122121=-+=
-=t t t t t t AB
23．（1）由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.
又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以 当a ≤0时，不合题意． 当a ＞0时，－4a ≤ x ≤2
a
，得
a ＝2.
（2）记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2， 则h (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1， x ≤－1，
－4x －3， －1＜x ＜－12，
－1， x ≥－1
2
，
所以|h (x )|≤1，因此k ≥1．。